倾斜角与斜率 优秀教案

教学目标：

（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念， （2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

（3）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

（4）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严

谨的科学态度和求简的数学精神． 教学重点、难点：直线斜率的概念和公式 教学用具：计算机

教学方法：启发引导法，讨论法 教学过程：

（一）直线方程的概念

如图1，对于一次函数y2x1，和它的图像——直线l有下面关系：

（1）有序数对（0，1）满足函数y2x1，则直线上就有一点A，它的坐标是（0，1）．

（2）反过来，直线上点B（1，3），则有序实数对（1，3）就满足y2x1．

图1

A（0，1） O x y B（1，3） y=2x+1 一般地，满足函数式ykxb的每一对x，y的值，都是直线上的点的坐标（x，y）； 反之，直线上每一点的坐标（x，都满足函数式ykxb，因此，一次函数ykxby）的图象是一条直线，它是以满足ykxb的每一对x，y的值为坐标的点构成的．

从方程的角度看，函数ykxb也可以看作是二元一次方程ykxb0，这样满足一次函数ykxb的每一对x，y的值“变成了”二元一次方程ykxb0的解，使方程和直线建立了联系．

定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．

以上定义改用集合表述：x，y的二元一次方程的解为坐标的集合，记作F．若（1）

CF（2）FC，则CF．

问：你能用充要条件叙述吗？ 答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……． （二）直线的倾斜角 【问题1】

请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．

yx1；y2x1；yx1

过定点，方向不同． 如何确定一条直线？ 两点确定一条直线．

还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？

y 1 x x学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说

图2

倾斜程度． 【导入】

今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向． 【问题2】

在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．

学生：展开讨论．

学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导．

通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念． 【板书】

定义：一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做直线l的倾斜角． （教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）x轴的正方向，（3）最小正角．） 特别地，当l与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．

由此定义，角的范围如何？

0°≤α＜180°或0≤α＜π 如图3

图3

至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的． （三）直线的斜率 【问题3】

下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：

直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？ 学生：在练习本上画出直线，写出方程．

yOx图4

30° -- y＝

3 x 345° -- y＝x 135°-- y＝x

（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．） 【演示动画】

观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中x系数变化的关系

(1) 直线变化→α变化→ykx中的x系数k变化 （同时注意tgα的变化）． (2) ykx中的x系数k变化→直线变化→α变化 （同时注意tgα的变化）． 教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与x的系数的关系：倾斜角不同，方程中x的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！ 【板书】

定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作k，即

ktga．

这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于x轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于x轴（正方向）倾斜程度的量——斜率．

指出下列直线的倾斜角和斜率：

(1) y＝-3x (2) y＝xtg60° (3) y＝xtg(-30°)

学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)

画图，指出倾斜角和斜率． 结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．

图3

注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．

α＝0° -- k＝0 0°＜α＜90° -- k＞0 α＝90° -- k不存在 90°＜α＜180°-- k＜0

（四）直线过两点斜率公式的推导 【问题4】

如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义k＝tgα求出直线的斜率；

如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？

即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直线P1P2的斜率． 思路分析：

首先由学生提出思路，教师启发、引导： 运用正切定义，解决问题．

(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标．） (2)角α是“标准位置”吗？（不是．）

OP．(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量P） 1P2，使P1与原点重合，得到新向量

(4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1） (5)直线的斜率是多少？k＝tgα=

y2y1（x1≠x2）

x2x1(6)如果P1 和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）．

y y P2 P2

P PP P

O x O x

图5

评价：注意公式中x1≠x2，即直线P1 P2不垂直x轴．因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角． 【练习】

(1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tgα？ (2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？

(3)直线yxtg(-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？ (4)求经过两点C(0，0)、D(-1，3)直线的倾斜角和斜率．

(5)课本练习第2、4题．

教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）． 【总结】

教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决．再看下边的问题： (1)直线倾斜角的概念要注意什么？ (2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？

(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？

学生边讨论边总结：

(1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，当α=90°时，tgα不存在．

(3)k＝

y2y1（x1x2），没有．

x2x1【作业】

1．课本习题第3、4、5题． 2．思考题

（1）方程xy1是单位圆的方程吗？

（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？ （3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？

（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？ 板书设计 直线的倾斜角和斜率 一、直线方程 二、直线的倾斜角

三、直线的斜率 四、斜率公式 练习 小结 作业 22