对非齐次偏微分方程的求解 齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题

对非齐次偏微分方程的求解

齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题

（一）冲量定理法

（二）傅立叶级数法

齐次边界条件下非齐次场位方程的混合问题

（一）方程和边界条件同时齐次化

非齐次方程的求解思路

• 用分解原理得出对应的齐次问题

• 解出齐次问题

• 求出任意非齐次特解

• 叠加成非齐次解

方法一

冲量定理法

1

前提条件：除了方程为非齐次的外，其它定解条件都是齐次的(初始条件均取零值)。

基本思路：利用叠加原理将受迫振动的问题转化为（无穷多个）自由振动问题的叠加.

utta2uxxf(x,t)ux00,uxl0ut0(x),utt0(x)

试设

uu1u2

22u22u2t2ax2fx,t,u2(x,0)u(x,0)0,0,2tu(0,t)0,u2(l,t)0， 222u12u1t2ax2,u1(x,0)u(x,0)(x),(x),1tu1(0,t)0,u1(l,t)0.

物理意义：

在时间 0 — t 内，可以把非齐次项（单位质量所受的持续作用力）看成许多前后相继（无穷多个）的“瞬时”力引起的物理过程的线性叠加。

222,t2a2tx0,ttf(x,)d,tx00,xl022v2v,t2a2txv0,vttf(x,),tv0,v0xlx0

相应的，我们也可以把位移u(x,t)也表示为

2

ux,t)t2(0v(x,t;)d，

则v(x,t;)d就应当是瞬时力所产生的位移.更进一步说，v(x,t,)就是定解问题

2222a,t2v22vtx20,ttf(x,t2ax2,tt)d,vt0,vttf(x,),x00,xl0 vx00,vxl0

的解.非齐次项只存在于时刻，其全部效果只是使得弦在时刻获得一个瞬时速度.

那么由偏微分方程的积分

02vt2dta202v0x2dt000f(x,)(t)d

推导出

v(x,t,)tt0f(x,)

令 t1t

则定解问题就可以写成这种形式（t0简写成t）

2v22vt2ax2,t1vt100,vt1t0f(x,),1vx00,vxl0

3

在运算过程中，十分需要注意的是，瞬时力的重复计算，不能把瞬时力既算入定解方程的其次项内，又算入初速度内！

总结一下，在上面的过程中，冲量定理就把求解非齐次方程、齐次边界条件以及齐次初条件的定解问题转化成了对齐次方程、齐次边界条件的定解问题的求解，最后将其叠加

vn1Bnann(x,t1)n()sinlt1sinlx

v(x,t)n1Bnannn()sinltsinlx

l其中

Bn()2na0f(,)sinnl d

uttna2(x,t)0v(x,t;)dBn()sinn10l(t)sinnlxduna1(x,t)(CncosltDnannsinlt)sinn1lx(n1,2,3,)

uu1u2

例题1

求定解问题

2u22ut2ax2A0sint， 0xl， t0，

4

ux00， uxl0， t0，

ut00u， tt00， 0xl,

其中，a、A0、均为已知常数

解：用冲量定理法进行求解，此时的v(x,t;)应当满足定解问题

2v22vt2ax2， 0xl， t，

vx00， vxl0， t，

vt0v， ttA0sin， 0xl，

即可得出定解问题的一般解

v(x,t;)n1Cnnnnsinla(t)Dncosla(t)sinlx

根据题意条件可得

Dn0，

C2n2AnnaA0sinl0sinlxdx0l(n)2a1(1)nsin

5

所以，综上可得

u(x,t)v(x,t;)d0t

t4A0l12n12n12sinx•sinsina(t)d20a(2n1)lln0

4A0l22a112n1sinx222(2n1)ln0(2n1)a(l)

2n1(2n1)asin(l)sinatl 方法二：

傅立叶级数法

前提条件：齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题，必须是齐次的边界条件 中心思想：首先要想办法找到一组本证函数Xn(x),n1,2,3,，如果这组函数是完备的，

那么就可以将u(x,t)以及原非齐次方程的非齐次项f(x,t)，都按照本征函数展开

简单选法：对本征函数的选法最简单的是，选择Xn(x),n1,2,3,为相应齐次定解问题

的本征函数，即要满足由齐次偏微分方程和齐次边界条件.

分离变量法得出的结果提示:把所求的解本身展开为傅里叶级数

6

u(x,t)Tn(t)Xn(x)n

基本函数族 Xn(x) 为该定解问题的齐次方程在所给齐次边界条件下的本征函数

注意：傅里叶系数Tn(t)不是常数，是时间 t 的函数。 设 u(x,t)Vx,tWx,t

22V2Vt2ax2f(x,t),0xl,t0,t0,V(0,t)V(l,t)0,V(x,0)V(x,0)0,0xl,t22W2Wt2ax2W(0,t)W(l,t)0,W(x,0)W(x,0)(x),(x)t

W(x,t)的解可以直接由分离变量法求得

W(x,t)(Cncosn1nanantDnsint)sinx(n1,2,3,)lll

由于Vn(t)是一元函数，满足常微分方程，比求偏微分方程简单，因此只需设法求出Vn(t)即可.

22V2Vt2ax2f(x,t),0xl,t0,t0,V(0,t)V(l,t)0,V(x,0)V(x,0)0,0xl,t

解： ①相应的齐次问题的固有函数

7

Xnn(x)sinlx

②设

Vvnn(t)sinn1lx

○3代入定解问题中

vn(t)sinn22n2nlxal2vn(t)sinlxn1n1f(x,t) 

x1a2n22nl2vn(t)sinnlfnn(t)sinn1lx

f(x,t)fn(t)sinnlxn1

fln(t)2l0f(x,t)sinnlxdx

再根据本征函数的正交性，就可以得到Vn(t)所满足的常微分方程

v(t)a2n22nl2vn(t)fn(t)0

将代入初始条件

V(x,0)vnV(x,0)n(0)sin(0)sinnn1lx0 tvnx0n1l

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根据本征函数的正交性，得

vn(0)0 vn(0)0

运用求解非齐次常微分方程的常数变易法解出vn(t).

例题1

求下列定解问题

u22utax2sint0xl,t0u(0,t)u(l,xt)0,t0xu(x,0)0,0xl

解：先解对应的齐次问题

u22utax20xl,t0u(0,t)u(l,t)xx0,t0u(x,0)0,0xl

设 u(x,t)X(x)T(t)

代入

TXa2TX 9

T令 a2TXX

XX0， Ta2T0

XX00xl代入边界条件 X(0)0,X(l)0

当

20 XAexBex AB0 X0

当 0 XAxB

XB0

当

20 XAsinxBcosx 22nnnl,n1,2,3,

XnBnncoslx,n1,2,3,

2u2utax2sint0xl,t0u(0,t)xu(l,t)0,t0xu(x,0)0,0xl

10

XnBncosnlx,n0,1,2,3,

uvnn(t)cosn0lx

22vn(t)a2n2vnn(t)cosxsintn0ll u(x,0)vnn(0)cosn0lx0

vn(0)0

当 n0

v0(t)sint

v10(t)costC

v0(t)11cost

当 n0

v2n2n(t)a2l2vn(t)0

22vn(t)Cea2nl2t

11

vn(t)0

1得

u1cost

方法三：方程和边界条件同时齐次化

基本思路：根据叠加原理，非齐次方程的通解可分解为齐次方程的解与非齐次方程的特解之和。 将偏微分方程和边界条件同时齐次化。

u(x,t)v(x,t)(x,t)，

关键注意点：在处理非齐次方程变齐次化的同时，保证原有方程的齐次边界条件不变。解方程求得的特解v(x,t).满足适用于形式比较简单的方程f(x,t)

解：通常，首先求出原非齐次方程的一个特解v(x,t)

22u2uaf(x,t)22tx.

试设 u(x,t)v(x,t)(x,t)， 则(x,t)便是对应齐次偏微分方程的解,

222a022x即 t

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为便于用分离变量法求解，让 (x,t)满足下列条件

(x,t)x00, (x,t)xl0.

所以，我们要寻求的特解v(x,t)还应满足齐次边界条件,

v(x,t)x00, v(x,t)xl0。

一旦求得了这样的特解，就可以求出(x,t)的一般解

(x,t)(CnnsinlatDnnncosn1lat)sinlx，

所以

u(x,t)v(x,t)(Cnnnnsinn1latDncoslat)sinlx，

代入初始条件，

Dnnsinlxv(x,t)t0n1，

利用本证函数的正交归一性，定出叠加系数

Clv(x,t)nn2na0tx0sinlxdx，

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2lnDnv(x,0)sinxdxl0l.

这种解法便是方程和边界条件同时齐次化.

下面通过例题1来应用一下这种求解非齐次偏微分方程的方法

例题3

求定解问题

2u2t2Psinta2ux2， 0xl，ux00， uxl0， t0，

ut00u， tt00， 0xl，其中a，A0及均为已知常数.

解：设

u(x,t)v(x,t)(x,t)，

根据题意，将齐次化函数v(x,t)化为t0，

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v(x,t)f(x)sint.

使得v(x,t)满足非齐次方程及齐次边界条件，

22v2vPsintat2x2， 0xl t0，

vx00， vxl0， t0，

也就是选择f(x)，使得

2f(x)a2f''(x)P，

f(0)0， f(l)0 .

则这个非齐次常微分方程的通解为

f(x)P2MsinaxNcosax.

代入齐次边界条件可以得出

NPP2，

M2tanl2a.

于是

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f(x)Pl21cosaxtan2asinax

cos((xl)a)P221cos(l2a).

这样就能导出(x,t)所满足的定解问题，

222t2ax2， 0xl， t0，

x00, xl0， t0

0t0， tt0f(x)， 0xl，

它的一般解为

(x,t)Cnnnsinn1latDnncoslatsinlx，利用上面的初始条件就可以定出

Dn0，

C2lnna0f(x)sinnlxdx

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可以看出，只有当n0时，Cn才不为0，即

4Pl3(x,t)2a

112n12n1•sinxsinat222lln0(2n1)[(2n1)a](l)

和

lPcos(x2)a4Pl3sint2u(x,t)21cos(l2a)a

112n12n1•sinxsinat222lln0(2n1)[(2n1)a](l)

特殊情形：强迫力的角频率正好是弦的某些固有频率，定的非负整数时，弦在强迫力的作用下会发生共振现象。

(2k1)al，k为某个确

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