综合试卷

一.选择题（每题５分，共２０分） １．以下说法不正确的是：（ ）

Ａ．数列单调且有界是数列极限存在的充分非必要条件； Ｂ．开区间上连续函数可能取到最大值与最小值；

Ｃ．若f(x)处处可导，则limf(x)或limf(x)不一定存在；

xxＤ．两间断函数的和必间断；

21xsin,x0２．设f(x)＝，要使f(x)在x0处连续且可导，则（ ） xln(abx),x0Ａ．a1，b0； Ｂ．a1，b1； Ｃ．a0，b1； Ｄ．a,b不存在；

21x1,x0，则x0是f(x)的（ ） ３．设f(x)＝ 21x11,x0 Ａ．可去间断点； Ｂ．跳跃间断点； Ｃ．无穷间断点； Ｄ．连续间断点；

４．设f(x)＝

1(n)，则f(x)应为（ ） 2x3x2Ａ.(1)nn!1111n1； Ｂ．； (1)n!n1n1n1n1(x1)(x1)(x2)(x2)C.(1)nn!

1111n1 ； Ｄ．； (1)n!nnnn(x1)(x1)(x2)(x2)二.填空题（每题５分，共２０分）

１．设f(x)＝232，则当x0时，f(x)是x的 （高阶，低阶，同阶，等

价）无穷小；

２．lim(sinnxxn12sinn22sinnn2)＝ ；

３．已知f(3)2，则limh0f(3h)f(3)＝ ；

2h

４．d[ln(x1x2)]＝ d1x2；

三、求极限（每题６分，共２４分） 1.lim(x1112)limx(x1x)； ； ２．

x1x1x3

３．lim(12x)x03sinx； ４．limx0sinxtanx(1x1)(1sinx1)32；

四、求导数（每题６分，共２４分） １．设f(x)是可微函数，y

y２．设函数yy(x)有方程exye所确定，求y(0)；

f(tanx)，求y；

tan[f(x)]

x３．设y，求y；

1x

xd2yxln1t2４．设 ，求； 2dxt)yarctan(

五、（６分）求曲线x2y22x3y20的切线，使该切线平行于直线2xy10．

六、（６分）设f(x)在[a,b]上连续，证明：至少存在一点[a,b]，使得f()f(a)f(b)．

2

2003-2004学年第一学期高等数学A单元测验

（微分中值定理与导数应用）

一、选择题（每题5分，共20分）

1.设在[0,1]上,f''(x)0,则f'(0),f'(1),f(1)f(0)或f(0)f(1)几个数的大小顺序为( )

（A） f'(1)f'(0)f(1)f(0) （B） f'(1)f(1)f(0)f'(0) （C）f(1)f(0)f'(1)f'(0) （D） f'(1)f(0)f(1)f'(0)

）上是：2、函数yln(x1x2)在（，( )

（A） 处处单调减少 （B）具有最小值 （C）处处单调增加 （D）具有最大值 3、函数y1x(eex)的极小值点是( ) 2（A） 0 （B）-1 （C）1 （D）不存在

4、设f'(x0)f''(x0)0,f'''(x0)0,则下列正确的是：( ) （A） f'(x0)是f'(x)的极大值， （B）f(x0)是f(x)的极大值， （C）f(x0)是f(x)的极小值， （D）(x0,f(x0))是曲线yf(x)的拐点

二、填空题（每空5分，共20分） 1、函数y12ex22拐点 为，其渐进线为 .

2、已知f(x)连续且可导，f(0)=f(0)1,则limx0'f(sinx)1 .

lnf(x)ln(1ex) . 3、.极限limxx

三、求极限（每题6分，共24分） (1)lim

tanxxsinx (2)lim

tan3xxxx2axbxcxxx2bx3b)，8,求a,b (3)lim(（a0,b0,c0） (4) 已知limxax0xa3

1(1x)1x[e],x0f(x)四、函数在x=0是否连续 ；（10分） 12e,x0

五 、描绘函数y4x 的图像。 （10分） 21x

六、要造圆柱油罐，体积为V，问半径r和高h等于多少时，才能使油罐的表面积最小？此

时底半径和高之比是多少？ （10分）

七．证明题：（6分）

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，连接点(a,f(a))与(b,f(b))直线交曲线

yf(x)于点(c,f(c))（a2003-2004学年第一学期高等数学A单元测验（不定积分）

一、试解下列各题（每题5分，共25分）

1、2、3、

； axdx= （a＞0，a≠1）

ctgxdx= ；

11lnx2xdx = ；

4、1sinxdx= ；

xcosx5、若f(x)dx= arcsin2x+c，则f(x)= 。



二、试解下列各题（每题5分，共25分）

1、如果df(x)=dg(x)，则下列各式中不一定成立的是（ ）

 A、f(x)= g(x) B、f(x)= g'(x)

 C、df(x)= dg(x) D、df'(x)dx= dg'(x)dx

2、如果f'(x)=g'(x)，则 ）

A、f(x)=g(x) B、f(x)= g(x)+1 C、[f(x)dx]′= [g(x)dx]′ D、f'(x)dx=g'(x)dx

3、如果

f(x)dx= F(x)+c，则exxxf(ex)dx =（ ）

x A、F(e)+c B、- F(e)+c C、F(e)+c D、ex F(ex)+c

4、设f'(x)= 1+x，则f(x)=（ ）+c

2x2exxx

A、lnx（2+ lnx） B、x+ C、x+ e D、e +

2225、下列等式中，正确的是（ ） A、d

f(x)dx=f(x) B、

ddxf(x)dx=f(x)dx

C、

ddxf(x)dx=f(x)+c D、df(x)dx =f(x)dx

三、试解下列各题（每题6分，共30分）

1、xsin2xdx 2、

 3、

5、x2e2xdx

3secxdx 4、dxexex

dx sin2xcosx

四、已知f'(sinx)=1+x，求f(x)。 （7分）

五、设xf(x)dx= e-x +c，求

n六、试证：sinxdx=-

f(x)dx。 （7分）

11n1sinxcosx+n1sinn2xdx (n3,为正整数)。（6分） nn

2003-2004学年第一学期高等数学A单元测验（定积分）

一、填空题（每题5分，共20分） 1、1xarcsinx1x21dx ；

bb2、设f(x)为连续函数,则af(x)dxf(abx)dx ；

a3、limx0e1t22cosxdxx ；

x314、设f(x)连续

0f(t)dxx,则f(7) 。

二、选择题（每题5分，共20分）

1.已知F(x)f(x)，则f(ta)dt(axx)

A.F(x)F(a)B.F(t)F(a)C.F(xa)F(2a)D.F(ta)F(a)2.设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)0,则方程f(t)dtaxb1dt0在开区间f(t)

(a,b)内的根有() A、0个 B、1个 C、2个 D、无穷多个

sinx3、设M2cos4xdx,N2(sin3xcos4x)dx,P2(x2sin3xcos4x)dx,21x 222则有()A、N4、设在区间[a,b]上，f(x)0，f(x)0，f(x)0，令b1S1f(x)dx，S2f(b)(ba)，S3[f(a)f(b)](ba)，则(a2 A、S1< S2< S3 B、S2< S1< S3 C、S3< S1< S2 D、S2< S3< S1

)

三、计算题（每题5分，共20分）

1、1sinxdx 2.0ln20ex1dx

xxf(t)dt 3.(xx)edx 4.设f(x)连续,求lim2x0xaa2x

四、（8分）设f(x)连续,且f(x)x2

五、（8分）设f(x)有一个原函数

六、（8分）设f(x)连续,证明

七、（8分）在第一象限求曲线yx1上一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴

所围面积最小，并求此最小面积。

八、（8分）有一等腰梯形闸门，它的二条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与

水面相齐，计算闸门一侧所受的水压力。

210f(x)dx,求f(x)

sinx,求xf(x)dx x2x0f(t)(xt)dt(f(u)du)dt。

00xt2003-2004学年第一学期高等数学A期中考试试题

一、选择题（每小题5分）

1. 设f(x)为定义在(a,b)内的初等函数，则下列命题正确的是 [ ] A. f(x)在(a,b)内必定可导； B. f(x)在(a,b)内必定可微分； C. f(x)在(a,b)内必定连续； D. f(x)在(a,b)内必定有界。 2. 函数y2x2lnx的单调减少区间是 [ ] A. (,0) B. (

11,) C. 不存在 D. (0, )

223. 直线4xy60与曲线yx43相切，则切点的坐标是 [ ] A. (1,2) B.(2,1) C.(1,2) D.(2,1) 4. 设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且limh0f(x02h)f(x0)1,则f(x0)[ ]

h11 C. 1 D.

22135. 设f(x)，则 x1为f(x)的 [ ] 31x1xA．2 B. A. 连续点； B. 无穷间断点； C. 跳跃间断点； D. 可去间断点。

二、填空题（每小题5分） 1. lim(13x)= . x01x 2. 设函数f(x)(1x)arctanx，则dy(0) . 3．设函数f(x)ln(1x2),则f(1) . 4．函数f(x)211ex1x的不连续点的全体是 .

5．设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则由微分中值定理得至少存在一点

(a,b), 使ef(b)ef(a) .

三、简答题，每小题5分，共30分. 1. 计算limnsinn22111lim() 2. 计算2x0nxsinxtanx

axbxcxx3．求lim(),(a0,b0,c0).

x03

4．设yxarcsin

5．求曲线x2y22x3y20的切线，使该切线平行于直线2xy10.

1x4x2, 求y 2xln(1t2),6．求参数方程 所确定的函数的二阶导数。

ytarctant.

四、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁。问应围成怎样的

长方形才能使这间小屋的面积最大？（设墙壁的高度和厚度不变）（8分）

五、设函数f(x)在[0,)上可导，f(0)0,f(x)单调增加，证明：(x)f(x)在 x(0,)内单调增加。（6分）

1nxsin,x0;六、讨论n的取值范围，使函数f(x) xx0,0,（1）在x0处是连续的；

（2）在x0处可微分；

（3）在x0处其导函数是连续的。（6分）

2003-2004学年第一学期高等数学A期终考试试题（公办）

一、选择题（每小题4分，共24分）

1sinxxsin,x01. 函数f(x) 在点x0处连续，则k等于 [ ] xxx0k,A. 1 B. 0 C. 2 D. 1 2. 函数yx4的单调减少区间是 [ ] xA. (,2)(2,) B.x0 C. 不存在 D.(2,0)(0,2)3.在下列广义积分中，收敛的是 A.

dx C.1x B.xdx 1x43dx D.

111xdx x24. 设f(x)1du，则f(x)为 x1u2 A．

11x411x2 B. 0 C. 2x1x4 D. 2x1x411x2 5. 设f(cos2x)sin2x,且f(0)0,则f(x) 为 A．cosx1cos2x B. x1x2 C.x1x2 D. cos21222x2cos4x 6. 函数yln(x1)在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的为 A. ln2 B.

11ln2 C.

ln21 D. 12

二、填空题（每小题4分，共24分） 1. limln(13x)x0sin2x .  2. 设ai2jk,P1(2,2,5),P2(1,6,7)，则P1P2a .

2 3．

sin2xcosxdx . 2 4．设函数yy(x)由方程exyxy，则dyx0= .  5．

dx2(x7)x2 .

[ ]

[ ] [ ] [ ]

x 6．设xf(x)dxec，则

1dx= . f(x)

三、简答题（每小题5分，共25分）

cosxtedt12e1．计算limx0x2 2． 计算

x1dx1(lnx)2

xetsin2t,3． 求曲线过点(0,1)的法线方程（即t0处）。 tyecost

ln24．计算

0ex1dx 5．计算xsin2xdx.

四．底为8米、高为6米的等腰三角形闸门，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面

平行，而顶离水面3米，试求它每面所受的水压力（水的比重为9.8千牛/米）。（7分）

3五．在第一象限内求曲线yx21上的点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围

图形的面积最小。（8分）

x2六、求函数y的定义域、单调区间、极值、曲线的凹凸区间以及渐近线.（8分）

x2

2七、设函数f(x)在[a,b]上二阶可导，f(a)f(b)0,F(x)(xa)f(x). 证明：存

在(a,b),使F()0。（4分）

2003-2004学年第一学期高等数学A补考试题

一、 选择题（每小题4分，共20分）

1xsin,x01. 函数f(x) 在点x0处连续，则k等于 [ ] xx0k,A. 1 B. 0 C. 2 D. 1

2. 函数yx4的单调减少区间是 [ ] xA. (,2)(2,) B.x0 C. 不存在 D.(2,0)(0,2)

3.在下列广义积分中，收敛的是 [ ]

A.

1dx B.x111

xdx C.2dx D.dx

xx114. 若

f(x)dxF(x)c,则cosxf(sinx)dx [ ]

56,6A．F(cosx)c B. F(sinx)c C. F(cosx)c D. F(sinx)c 5. 函数ylnsinx在区间[ A.

]上满足拉格朗日中值定理的为 [ ]

5 B. C. D.

6236

二、 填空题（每小题5分，共25分） 1. limx0ln(16x) .

tan3x2 2.

(x22cos2x)sinxdx . xy 3．设函数yy(x)由方程2xy，则dyx0= .

x3dx= . 4．21x

x 5．xedx = .



三、 简答题（每小题5分，共25分）

x1．计算limx0sintdt0xln2 2． 计算

tdt00ex1dx

3. 求曲线

24．计算xcosxdx. 5．计算

xsint,在t0相应的点处的切线方程。

ycos2t0dx

x22x2

四．有一等腰梯形闸门，铅直地沉没在水中，它的两条底边各长10米和6米，高为20米，

较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力（水的比重为9.8千牛/米）。（10分）

3五．求由曲线y

12x,xy2所围成的平面区域的面积。（8分） 8x3六、求函数y的定义域、单调区间、极值、曲线的凹凸区间、拐点以及渐近线， 2(x1)并作出函数的图形(作出草图即可)。（12分）

2003-2004学年第二学期高等数学A单元测验（多元函数微分法）

一、选择题（每小题5分）

1．函数f(x,y)x2y2x2y2 在点(1,1)处的全微分df(1,1)为 [ ]

A. 2dxdy B. dxdy C. 4dx4dy D. 0 2. 下列命题中不正确的是 [ ] A.f(x,y)在点(x0,y0)处极限不存在，则在该点处必不连续。 B. f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在，但在该点处不一定连续。 C. f(x,y)在点(x0,y0)处不连续，则在该点处必不可微。 D. f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则在该点处偏导数必存在。

3．函数f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在是函数在(x0,y0)可微的 [ ] A.充分且必要条件 B. 必要但非充分条件 C. 充分但非必要条件 D. 既不充分也不必要的条件

4.设 zf(x,y)在点(0,0)处的偏导数

fx(0,0)1,fy(0,0)2则 [ ]

A. zf(x,y)在点(0,0)处的全微分dz(0,0)dx2dy

B.zf(x,y)在点(0,0)的某一邻域有定义。 C. 极限

(x,y)(0,0)limf(x,y)存在

zf(x,y)D. 曲线C： 在点(0,0,f(0,0)的切线的方向向量sik 。

y05. 对函数f(x,y)xxyy3x6y,点(0, 3) [ ]

A．不是驻点 B. 是驻点但非极值点 C. 是极小值点 D. 是极大值点

二、填空题（每小题5分） 1. 已知exyz,则z22z xy2z2. 设zarctan,则 xxy3．设zf(xy,xy),则dz x2y2z2．求曲线3在点（1，-2，1）处的切线方程 2xyz05．求函数f(x,y)2x2y2在点P（1，2）处沿从点P（1，2）到点Q（2，1）的方向的

方向导数

三、f(x,y,z)exyz2,xyzxyz0，设zz(x,y)是由第二个方程所确定的隐函

数，求fx(0,1)。（10分）

y2z四、设zxf(xy,), 其中f具有连续二阶偏导数，求.（10分）

xxy3

五、 设(u,v)为可微函数，证明由方程(cxaz,cybz)0所确定的函数zf(x,y)

满足 a

zzbc. (10分) xy六、求函数zx33x23y2在区域D：x2y216上的最大值。（10分）

七、设f的一阶偏导数都连续且不同时为零，证明：曲面

f(axbz,aycz)0(a2b2c20) 上任意一点处的切平面都与直线

xyz平行。（10分） bca