一、选择题：
1．下列方程中，是关于A．x（2x﹣1）=2x
2
2
(解析版)
x的一元二次方程的有（B．
）
﹣2x=1
）
D．
x2=0
2
C．ax+bx+c=0
2．方程x=x的解是（
A．x=1 B．x=0 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=0 3．用配方法解方程A．（x+1）=6
2
2
x﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（
）
D．（x﹣2）=9
）
2
B．（x﹣1）=6 C．（x+2）=9
2
22
4．设a，b是方程x+x﹣2015=0的两个实数根，则A．2012 B．2013 C．2014 D．2015
a2+2a+b的值为（
5．为了庆祝教师节，市教育工会组织篮球比赛，赛制为单循环比赛（即每两个队比赛一场）共进行了45场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（A．8
B．9
C．10
D．11
x﹣7x+10=0的两根，则它的周长为（D．7
200万元，已知第一季度的总营业额共
）
1000万元，如果平均每月增长
2
）
6．等腰三角形两边长为方程A．12
B．12或9
C．9
）
7．某超市一月份的营业额为率为x，则由题意列方程应为（
2
A．200（1+x）=1000 B．200+200×2x=1000
2
C．200+200×3x=1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）]=1000
8．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，如果要使整个挂图的面积是
5400cm，设金色纸边的宽为
2
制成一幅矩形挂图，如图所示，
）
xcm，那么x满足的方程是（
22
A．x+130x﹣1400=0 B．x+65x﹣350=0 2
130x1400=0 DxC．x﹣﹣．﹣65x﹣350=0 2
9．已知a，b是方程x﹣6x+4=0的两实数根，且
2
a≠b，则
+的值是（）
A．7 B．﹣7 C．11
2
D．﹣11
x+
=0有两个实数根，则
m的取值范围（
）
10．方程（m﹣2）x﹣
A．m＞B．m≤且m≠2 C．m≥3 D．m≤3且m≠2
二、填空题：
11．把方程（2x+1）（x﹣2）=5﹣3x整理成一般形式后，得12．如果最简二次根式
2
．．．
19%，则平均每月降价的百分
与能合并，那么a=
2
3x3=0xxx﹣﹣的两根为，，则13．若方程x121+3x2═
14．某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价降低了率是
．
15．关于x的一元二次方程
x+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数
2
m的取值范围是．
16．一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至
12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量
x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过
y分钟，
（单位：升）与时间容器中的水恰好放完．
17．如果m，n是两个不相等的实数，且满足mn+2m+2015=
．
m﹣m=3，n﹣n=3，那么代数式
22
2n2﹣
2
18．已知a是方程x﹣2015x+1=0的一个根，则代数式
a2﹣2014a+
=
．
三、解答题：（共66分）
，其中x=﹣
．
19．（6分）化简求值：
20．（8分）选择适当的方法解下列方程：（1）x2﹣3x﹣1=0；（2）x2﹣2x﹣3=0．21．（6分）已知关于另一实根．
x的一元二次方程
x+x+m﹣2m=0有一个实数根为﹣
22
1，求m的值及方程的
22．（7分）解方程组：
23．（7分）如图，某农场有一块长
．
40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边
1140m2，求小路的宽．
的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为
24．（8分）已知关于x的一元二次方程
2
2m3xm﹣（+）++2=0．x
2
（1）若方程有实数根，求实数（2）若方程两实数根分别为
m的取值范围；
x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．
2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤
4元的价格出售，
20斤，为
25．（7分）水果店张阿姨以每斤
每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低保证每天至少售出
260斤，张阿姨决定降价销售．
x元，则每天的销售量是
0.1元，每天可多售出
（1）若将这种水果每斤的售价降低（2）销售这种水果要想每天盈利26．（8分）如图所示，点
斤（用含x的代数式表示）；
300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
ABCD边AB、BC的中点，DF、CE交于点M，CE
E、F分别为正方形
的延长线交DA的延长线于G，试探索：
（1）DF与CE的位置关系；（2）MA与DG的大小关系．
27．（9分）如图，在以4cm/秒的速度向点
Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点
D、E运动的时间是
B匀速运
动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
t秒（0＜t≤
t值，如果不能，说明理由；
参与试题解析
一、选择题：
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的有（）
A．x（2x﹣1）=2x
2
B．
﹣2x=1
C．ax2
+bx+c=0
D．
x2=0
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数是2；二次项系数不为
0；是整式方程；含
有一个未知数．
【解答】解：A、是一元一次方程，故A错误；
B、是分式方程，故
B错误；
C、a=0时是一元一次方程，故C错误；
D、是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是
2．
2．方程x2
=x的解是（
）
A．x=1 B．x=0 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=0 【考点】解一元二次方程
-因式分解法．
【分析】利用提公因式法解方程即可．【解答】解：x2=x，移项得x2﹣x=0，
提公因式得x（x﹣1）=0，解得x1=1，x2=0．故选：D．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程．解题的关键是因式分解的应用．
3．用配方法解方程x2
﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（
）
A．（x+1）2
=6
B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2
=9
D．（x﹣2）2
=9
【考点】解一元二次方程
-配方法．
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
【解答】解：方程移项得：x2﹣2x=5，
配方得：x2﹣2x+1=6，
即（x﹣1）2=6．故选：B
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．设a，b是方程x+x﹣2015=0的两个实数根，则A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a+b+2015，再根据根与系数的关系得到
2
a+2a+b的值为（
2
）
a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b变形为
a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，∴a2+2a+b=a+b+2015，
2
∵a，b是方程x+x﹣2015=0的两个实数根
∴a+b=﹣1，
∴a2+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014．故选C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1+x2=
，x1x2=
x1，x2是一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，
．也考查了一元二次方程的解．
5．为了庆祝教师节，市教育工会组织篮球比赛，赛制为单循环比赛（即每两个队比赛一场）共进行了45场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（A．8
B．9
C．10
D．11
）
【考点】一元二次方程的应用．【分析】设这次有
x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（
）
2014?鹤庆县校级模拟）等腰三角形两
边长为方程x2﹣7x+10=0的两根，则它的周长为（A．12
B．12或9
C．9
D．7
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解，即可确定三角形周长．【解答】解：方程分解因式得：（解得：x=2或x=5，当2为腰时，三边长分别为：当2为底时，三边长为故选A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2，2，5，不能构成三角形，舍去；
x﹣2）（x﹣5）=0，
5，5，2，周长为5+5+2=12．
7．某超市一月份的营业额为率为x，则由题意列方程应为（
2
200万元，已知第一季度的总营业额共
）
1000万元，如果平均每月增长
A．200（1+x）=1000 B．200+200×2x=1000
C．200+200×3x=1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）]=1000 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．【解答】解：∵一月份的营业额为∴二月份的营业额为∴三月份的营业额为∴可列方程为
200万元，平均每月增长率为
x，
+二月份的营业
2
200×（1+x），
200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2，
200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000，
2
即200[1+（1+x）+（1+x）]=1000．故选：D．
【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为后的量为b，平均变化率为
x，则经过两次变化后的数量关系为
a，变化
a（1±x）2=b．得到第一季度的营
业额的等量关系是解决本题的关键．
8．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，如果要使整个挂图的面积是
5400cm2，设金色纸边的宽为
制成一幅矩形挂图，如图所示，
）
xcm，那么x满足的方程是（
A．x+130x﹣1400=0 B．x+65x﹣350=0
22
C．x﹣130x﹣1400=0 D．x﹣65x﹣350=0
22
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】本题可设长为（【解答】解：依题意得：（即4000+260x+4x2=5400，化简为：4x2+260x﹣1400=0，
2
即x+65x﹣350=0．
80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可．80+2x）（50+2x）=5400，
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的运用，简．
解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化
2
9．已知a，b是方程x﹣6x+4=0的两实数根，且
a≠b，则
+的值是（）
A．7 B．﹣7 C．11 D．﹣11
【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得出
a+b=6，ab=4，变形后代入求出即可．
a≠b，
2
【解答】解：∵a，b是方程x﹣6x+4=0的两实数根，且
∴a+b=6，ab=4，∴
+
=
=
==7，故选A．
【点评】本题考查了根与系数的关系的应用，能熟记根与系数的关系定理是解此题的关键．
10．方程（m﹣2）x﹣A．m＞
B．m≤
2
x+=0有两个实数根，则m的取值范围（）
D．m≤3且m≠2 且m≠2 C．m≥3
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到
，然后解不等式组即可．
【解答】解：根据题意得，
解得m≤故选B．
且m≠2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关
=0时，方程有两个相等的两个实数根；当
系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△△＜0时，方程无实数根．
二、填空题：
11．把方程（2x+1）（x﹣2）=5﹣3x整理成一般形式后，得【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】通过去括号，移项、合并同类项可以把方程（【解答】解：去括号，得2x+x﹣4x﹣2=5﹣3x，移项、合并同类项，得2x﹣7=0．
2
故答案是：2x﹣7=0．22
2x﹣7=0
2
．
2x+1）（x﹣2）=5﹣3x整理成一般形式．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：c是常数且a≠0）特别要注意时要注意符号的变化．
ax2+bx+c=0（a，b，
a≠0的条件．去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项
12．如果最简二次根式【考点】同类二次根式．
与能合并，那么
a=
﹣5或3
．
【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：最简二次根式a+3a=a+15，解得a=﹣5或a=3．故答案为：﹣5或3．
【点评】本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式的被开方数相同得出方程是解题关键．
2
与能合并，得
13．若方程x﹣3x﹣3=0的两根为x1，x2，则x1+3x2═【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系可找出的算式，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵方程
x﹣3x﹣3=0的两根为x1，x2，
2
22
12
．
x1+x2=3、x1?x2=﹣3，将x12+3x2═变形为只含
x1+x2、x1?x2
∴x1+x2=3，x1?x2=﹣3，
∴x12+3x2═x12+（x1+x2）?x2═x12+x1?x2+x22═故答案为：12．
﹣x1?x2=12．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出
x1+x2=3、x1?x2=﹣3是解题的关键．
14．某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价降低了率是
10%
．
19%，则平均每月降价的百分
【考点】一元二次方程的应用．【分析】设平均每月的降价率为方程求出其解即可．
【解答】解：设平均每月的降价率为（1﹣x）=（1﹣19%），
解得：x1=1.9（不符合题意，舍去），故答案为：10%．
【点评】本题考查了增长率问题在实际问题中的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据手机降价后的价格为等量关系建立方程是关键．
x2=0.1．
2
x，设手机的原来价格为1，根据手机现在的价格为等量关系建立
x，设手机的原来价格为1，由题意，得
15．关于x的一元二次方程
．
2
x+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数
m的取值范围是m＞
【考点】根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式．
【分析】设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根．由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：设由已知得：
x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根，
，即
解得：m＞
．
．
解题的关键是得出关于
故答案为：m＞
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式，
m的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于
m的一元一次不等式组是关键．
16．一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至
12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量
x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过
8
y分钟，
（单位：升）与时间容器中的水恰好放完．
【考点】函数的图象；一次函数的应用．
【分析】由0﹣4分钟的函数图象可知进水管的速度，再求关停进水管后，出水经过的时间．【解答】解：进水管的速度为：出水管的速度为：
20÷4=5（升/分），
根据4﹣12分钟的函数图象求出水管的速度，
5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）=3.75（升/分），
30÷3.75=8分钟．
∴关停进水管后，出水经过的时间为：故答案为：8．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题．题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问
17．如果m，n是两个不相等的实数，2026
．
222
且满足m﹣m=3，n﹣n=3，那么代数式2n﹣mn+2m+2015=
【考点】根与系数的关系．【分析】由于
m，n是两个不相等的实数，且满足
m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0
m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可
的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：
以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．【解答】解：由题意可知：
m，n是两个不相等的实数，且满足
m2﹣m=3，n2﹣n=3，
所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：
2
又n=n+3，
m+n=1，mn=﹣3，
则2n2﹣mn+2m+2015 =2（n+3）﹣mn+2m+2015 =2n+6﹣mn+2m+2015 =2（m+n）﹣mn+2021 =2×1﹣（﹣3）+2021 =2+3+2021 =2026．
故答案为：2026．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．
解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之
18．已知a是方程x﹣2015x+1=0的一个根，则代数式【考点】一元二次方程的解．
2
a2﹣2014a+
=2014．
【分析】把x=a代入方程a﹣2015a+1=0求出a﹣2014a=a﹣1，+
22
=a+=2015，再代入代数
式a﹣2014a+
2
求出答案即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2015x+1=0的一个根，∴a2﹣2015a+1=0，
∴a2+1=2015a，a2﹣2014a=a﹣1，a+∴a2﹣2014a+故答案为：2014．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，运用适当的变形，渗透整体代入的思想解决问题．
=2015，
=a﹣1+=2015﹣1=2014．
三、解答题：（共19．化简求值：
66分）
，其中x=﹣
．
【考点】分式的化简求值．
【分析】主要考查了分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的顺序，正确解题．
【解答】解：原式
=
=
2
=﹣（x+2）（x﹣1）=﹣x﹣x+2，
当x=原式=
时，
=﹣2+
+2=
．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值这一知识点，要求把式子化到最简，然后代值．
20．选择适当的方法解下列方程：（1）x2﹣3x﹣1=0；（2）x2﹣2x﹣3=0．【考点】解一元二次方程
-因式分解法．
【分析】（1）公式法求解可得；
（2）因式分解法求解即可得．
【解答】解：（1）∵a=1，b=﹣3，c=﹣1，∵△=b2﹣4ac=9+4=13＞0，∴x=
；
（2）分解因式得：（x﹣3）（x+1）=0，
可得x﹣3=0或x+1=0，解得：x1=3，x2=﹣1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．
21．已知关于x的一元二次方程根．
2xm++﹣2m=0有一个实数根为﹣x
2
1，求m的值及方程的另一实
【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．【分析】把x=﹣1代入已知方程列出关于系数的关系来求方程的另一根．【解答】解：设方程的另一根为﹣1+x2=﹣1，解得x2=0．
把x=﹣1代入x2+x+m2﹣2m=0，得
（﹣1）+（﹣1）+m﹣2m=0，即m（m﹣2）=0，解得m1=0，m2=2．
综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．
0．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够
2
2
m的新方程，通过解该方程来求m的值；然后结合根与
x2，则
使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
22．解方程组：【考点】高次方程．
．
【分析】根据解方程组的方法可以解答此方程．【解答】解：由
得
将①代入②，得4﹣2y=0
2
解得，y=将y=x=2+将x=﹣x=2﹣
，
代入①，得，
代入②，得，
或
．
故原方程组的解是
【点评】本题考查解高次方程，解题的关键是明确解方程组的方法．
23．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向
1140m2，求小路的宽．
纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为
【考点】一元二次方程的应用．【分析】本题可设小路的宽为
xm，将4块种植地平移为一个长方形，长为（
40﹣x）m，宽为（32
﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出小路的宽．【解答】解：设小路的宽为
xm，依题意有
（40﹣x）（32﹣x）=1140，整理，得x2﹣72x+140=0．
解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．答：小路的宽应是
2m．
另外求出4块种植地平移为
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式．一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
24．已知关于x的一元二次方程（1）若方程有实数根，求实数（2）若方程两实数根分别为
22
x﹣（2m+3）x+m+2=0．
m的取值范围；
x1、x2，且满足x1+x2=31+|x1x2|，求实数m的值．
2
2
【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）根据根的判别式的意义得到△≥（2）根据根与系数的关系得到
0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解不等式即可；
x1+x2）2﹣
x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，再变形已知条件得到（
4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，∴m≥﹣
；
x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，
（2）根据题意得
x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，
∵x12+x22=31+|x1x2|，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）﹣2（m+2）=31+m+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．
【点评】本题考查了一元二次方程有两个不相等的实数根；当△
ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△
=b2﹣4ac：当△＞0，方程
2
2
2
=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查
了一元二次方程根与系数的关系．
25．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售
20斤，为保证每天
出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利【考点】一元二次方程的应用．
0.1元，每天可多售出
x元，则每天的销售量是100+200x斤（用含x的代数式表
300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
【分析】（1）销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润
=总利润列出方程求解即可．
x元，则每天的销售量是
100+
×20=100+200x
【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低（斤）；
（2）根据题意得：（解得：x=当x=
或x=1，
4﹣2﹣x）（100+200x）=300，
时，销售量是100+200×=200＜260；
当x=1时，销售量是∵每天至少售出∴x=1．
100+200=300（斤）．
260斤，
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．
26．如图所示，点E、F分别为正方形ABCD边AB、BC的中点，DF、CE交于点M，CE的延长
线交DA的延长线于G，试探索：
（1）DF与CE的位置关系；（2）MA与DG的大小关系．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】（1）由题中条件不难得出△置关系．
（2）△GDM为直角三角形，由△系．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠B=∠DCF=90°．∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EB=FC．
∴△EBC≌△FCD（SAS）．
∴∠ECB=∠FDC（全等三角形的对应角相等）．∵∠FDC+∠DFC=90°，∴∠ECB+∠DFC=90°．
∴∠CMF=90°（三角形内角和定理）．∴DF⊥CE（垂直定义）．
GAE≌△CBE，可得GA=CB，进而可求出
MA与DG的大小关
EBC≌△FCD，在通过角之间的转化，可得出
DF与CE的位
（2）在△AEG和△BEC中，
∵∠GAE=∠B=90°，AE=BE，∠GEA=∠CEB，∴△GAE≌△CBE（ASA）．
∴GA=CB（全等三角形的对应边相等）．∵正方形ABCD中，CB=AD，∴GA=AD．∵DF⊥CG，∴MA=
DG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
【点评】掌握正方形的性质，能够运用其性质求解一些简单的计算问题．
27．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点
A匀速运动，同时点
E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点
B匀速运动，当
其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．
设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过
点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
t值，如果不能，说明理由；
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△得DF的长，即可证明；（2）易证四边形得t的值；
（3）分两种情况讨论即可求解．【解答】（1）证明：∵直角△∵CD=4t，AE=2t，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，∴DF=
CD=2t，
ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．
AEFD是平行四边形，当
AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求
CDF中，利用直角三角形的性质求
∴DF=AE；
解：（2）∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10，
即当t=10时，?AEFD是菱形；
（3）当t=时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；
当t=12时，△DEF是直角三角形（∠当∠EDF=90°时，DE∥BC．∴∠ADE=∠C=30°∴AD=2AE
DEF=90°）．理由如下：
∵CD=4t，∴DF=2t=AE，∴AD=4t，∴4t+4t=60，∴t=
时，∠EDF=90°．
当∠DEF=90°时，DE⊥EF，∵四边形AEFD是平行四边形，∴AD∥EF，∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，∴∠DEA=30°，∴AD=
AE，
AD=AC﹣CD=60﹣4t，AE=DF=CD=2t，∴60﹣4t=t，解得t=12．综上所述，当t=
时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当DEF=90°）．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定与性质，t=12时，△DEF是直角三角形（∠
正确利用t表示DF、AD的长是关键．
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