第四届华杯赛复赛试题
第四届华杯赛复赛试题1．化简：
1.【解】原式的分子＝＝＝
原式的分母＝
＝
＝
＝
＝＝
所以。原式等于1。
第四届华杯赛复赛试题2．电视台要播放一部30集电视连续剧。如果要求每天安排播出的集数互不相等，该电视连续剧最多可以播几天？
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2.【解】如果播8天以上，那么由于每天播出的集数互不相等，至少有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36集，
所以30集连续剧不可能按照要求播8天以上，另一方面1＋2＋3＋4＋5＋6＋9＝30 所以最多可以播7天，各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，9。
第四届华杯赛复赛试题3．一个正方形的纸盒中，恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，纸盒的容积有多大？（圆周率=3.14）。
3.【解】圆柱的高与底面直径都等于正方体的边长，即6.28＝3.14×边长×
所以(边长)＝
×4＝8，即纸盒的容积是8立方厘米。
第四届华杯赛复赛试题4．有一筐苹果，把它们三等分后还剩2个苹果，取出其中两份，将它们三等分后还剩2个；然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还剩2个，问：这筐苹果至少有几个？
4.【解】如果增加4个苹果，那么第一次恰好三等分，而且每份比原来多2个苹果。第二次，第三次也是如此。第三次分成的每一份比原来多2个苹果，又由于第二次分成的两份苹果，总数是偶数，所以第三次分成的每一份，苹果数都是偶数，因此，第三次分成的每一份至少是4个苹果。第二次分成的每一份至少是4×3÷2＝6(个)，第一次分成的每一份至少是6×3÷2＝9(个)，从而这筐苹果至少是9×3－4＝23(个)
【又解】如果增加4个苹果，那么第一次恰好三等分(每份比原来多2个)，第二次取两份(比原来两份多4个)，也恰好三等分(每份比原来多2个)，最后取两份(比原来两份多4个)，也恰好三等分。由于最后一次分，总数是偶数(因为取两份分)，所以每份也是偶数，又比原
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来的每份多2个，所以现在每份至少是4个，从而上一次每份至少是4×＝6(个)，再上
次每份至少是6×
＝9(个)，最初是9×3＝27(个)，原来这筐苹果至少27－4＝23(个)。
第四届华杯赛复赛试题
5．计算：
5.【解】原式＝(1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17)＋
()
＝
＝81＋
＝
第四届华杯赛复赛试题6．长方形ABCD周长为16米，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这四个正方形的面积和是68平方米，求长方形ABCD的面积
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6.【解】如图，将向右延长，向上延长，交于E点，那么正方形的面
积。等于长方形ABCD周长一半的平方，即平方厘米。长方形ABCD与是全等的，而正方形
与
的面积之和，等于题中已给的四个正方形面积和
的一半，即×68＝34平方厘米。－34＝30平方厘米应等于长方形ABCD面积的2倍。
所以ABCD的面积是×30＝15平方厘米。
第四届华杯赛复赛试题7．“华罗庚”金杯少年数学邀请赛，第一届在1986年举行，第二届在1988年举行，第三届是在1991年举行，以后每2年举行一届。第一届“华杯赛”所在年份的各位数字和是：A1＝1＋9＋8＋6＝24。
前二届所在年份的各位数字和是：A2=1＋9＋8＋6＋1＋9＋8＋8=50
问：前50届“华杯赛”所在年份的各位数字和A50＝？
7.【解】按所给的规律，前50届在20世纪内有7次赛事，在21世纪内有43次赛事。 在20世纪内，已知A2＝50，其余5届年份各位数字的和是:5×(1＋9＋9)＋(1十3＋5＋7＋9)＝95＋25＝120 从而A7＝A2＋120＝170
在21世纪内的前45届年份的数字和是:2×45＋(1＋2＋3＋„＋8)×5＋(1＋3＋5＋7＋9)×9＝495，
前43届年份的数字和是:495－2－8－7－2－8－9＝459 于是A50＝170＋459＝629。
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第四届华杯赛复赛试题8．将自然数按如下顺次排列： 1 2 6 7 15 16 „ 3 5 8 14 17 „ 4 9 13 „ 10 12 „ 11 „
在这样的排列下，数字3排在第二行第一列，13排在第三行第三列，问：1993排在第几行第几列？
8.【解】奇数斜行中的数由下向上递增，偶数斜行中的数由上向下递增。
第n斜行中最大的数是 n(n＋1)
第62斜行中最大的数是×62×63＝1953。第63斜行中最大的数是1953＋63＝2016。所
以1993位于第63斜行。第63斜行中数是由下向上递增，左边第一位数字是1954，因此，1993位于第63斜行由上向下数第(1993－1954＋1)＝40位，即原阵列的第(63－40＋1)＝24行，第40列。
答：1993排在第24行，第40列。
第四届华杯赛复赛试题9．在下图中所示的小圆圈内，试分别填入1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数字之差（大数字减小数字）恰好是1、2、3、4、5、6、7这七个数字。
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9.【解】填法很多，下图就是一种：
第四届华杯赛复赛试题10．为什么
除以3的余数是几？
10.3、6、9除以3，余数是0，所以只须看表达式1＋2＋4十5＋7＋8除以3余1 第四届华杯赛复赛试题11．A、B、C、D、E、F六个选手进行乒乓球单打的单循环比赛（每人都与其他选手赛一场），每天同时在三张球台各进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对 F，第四天B对C，问：第五天A与谁对阵？另外两张球台上是谁与谁对阵？
11.【解】第二天B不能对A，否则B对A。D对F与第三天D对F矛盾，所以应当B对F、A对D。
第三天B也不能对A，否则C对E与第二天c对E矛盾，应当B对E(不能B对C，与第四天矛盾)，A对C，第四天B对C，D对E，所以第五天B对A，D对C，E时F。
第四届华杯赛复赛试题12．有一批长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10和11厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根本条作为三条边，可围成一个三角形。如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？
12.【解】一个三角形，任何两条边的长度之和，比余下的一条边长。在本题中，设底边是11厘米的三角形其余二边分别是a及b，则必有11＜a＋b此外，为确切起见，可设a≤6，于是(a，b)的可能的值便有
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(11，11)；(10，1O)，(10，11)；(9，9)，(9，10)，(9，11)；(8，8)，(8，9)，(8,10)，(8，11)；(7，7)，(7，8)，(7，9)，(7，10)，(7，11)；(6，6)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(6，11)；(5，7)，(5，8)，(5，9)，(5，10)(5，11)；(4，8)，(4，9)，(4，10)，(4，11)；(3，9)，(3，10)，(3，11)；(2，10)，(2，11)；(1，11)共36种 答：能围成36个不同的三角形。
第四届华杯赛复赛试题13．把下图a中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。
13.【解】假设每条线上红圈都是奇数个，那么5条线上的红圈数相加仍是奇数。
但另一方面，5条线上的红圈数相加时，由于每一个圈都在两条线上，因而都被计算了2次，从而相加的总和应当是偶数两方面的结果矛盾，所以不可能使同一条线上的红圈数都是奇数。
第四届华杯赛复赛试题14．甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一
圈时，乙的速度是甲速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度
提高了。已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问：这条椭圆形跑道长
多少米？
14.【解】
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让我们画两个示意图(上图)，并设一开始时甲的速度是a，于是乙的速度便是a。再设跑
道长是L，则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为。甲跑完第一圈，乙跑了
，乙再跑余下的，甲已折返，且以a(1＋)＝a的速度跑，所以在乙跑完第一
圈时，甲已折返跑了，这时，乙折返并以a(1十)＝a的速度跑着。从这时起，
甲、乙速度之比是a÷a＝，即5∶3。所以在二人第二次相遇时，甲跑了余下的的
，而乙跑了它的，即第二次相遇时距出发点×＝。可见两次相遇点间的距离是
(－)L＝190(米)，即＝190(米)，
L＝400(米) 答：跑道长为400米
第四届华杯赛复赛试题15．下图中的正方形ABCD的面积为1，M是AD边上的中点。求图中阴影部分的面积。
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15.【解】需要利用AM∥BC时，△GAM与△GCB的边对应成比例。
即 ，
于是 ＝2，＝2。
因为正方形ABCD的边长为1。所以
＝×1×＝，
＝×1×＝，
从而 ＝＝×＝，
＝＝×＝。
＋＝＋＝
即阴影部分的面积是
。
第四届华杯赛复赛试题16．四个人聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余三个人中的二人，试证明：至少有两对人，每对人是互赠过礼品的。 华杯赛第四届复赛
16.【解】将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两点之间连一条线。由于每人送出2件礼品，图有8(＝4×2)条线。由于每人的礼品都分赠给2个人，所以每
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两点之间至多有2(＝1＋1)条线。四点间，每两点连一条线，一共6条线，现在有线，说明必有两点之间连了2条线，还有另外两点(有一点可以与前面的点相同)之间也连了2条线，这就是要证明的结论。
【注】有6种袜子，每种不超过2只，如果取出8只，那么必有2种袜子各2只。这与本题实质上是一回事。
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