2020年广西壮族自治区玉林市江滨中学高三数学理上
学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
参：
C
【考点】程序框图．
【分析】由程序框图知，得出打印的点坐标，判定该点是否在圆内即可． 【解答】解：由程序框图知，
i=6时，打印第一个点（﹣3，6），在圆x2+y2=25外， i=5时，打印第二个点（﹣2，5），在圆x2+y2=25外， i=4时，打印第三个点（﹣1，4），在圆x2+y2=25内，
i=3时，打印第四个点（0，3），在圆x2+y2=25内， i=2时，打印第五个点（1，2），在圆x2+y2=25内， i=1时，打印第六个点（2，1），在圆x2+y2=25内， ∴打印的点在圆x2+y2=25内有4个． 故选：C．
2. 设α为△ABC的内角，且tanα=﹣，则cos2α的值为（ ） A．
B．﹣
C．﹣
D．
参：
A
【考点】二倍角的余弦．
【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求得cos2α的值． 【解答】解：∵α为△ABC的内角，且tanα=﹣，则
cos2α=故选：A．
===，
3. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知
,
则角A=（ ） A．30°
B．60°
C．120°
，
D．150°
参：
A
4. 函数的部分图像如图所示，则的值为
A B C D
参：
A
由题意可知T=, ，，代入求值即可得到 =
5. 若方程在（-1，1）上有实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
参： C
6. 设
的定义域为D，若
满足条件：存在
，使
在
上的值域是
，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则t的范围是
A . B. C. D.
参：
D
略 7.
中，三边长，，满足
，那么
的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上均有可能
参：
A 略
8. 已知函数f（x）=x﹣x﹣x+a的图象与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围是（ ）
3
2
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）B．（﹣∪（1，+∞）
，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣）
参：
D
【分析】求出导数，求出单调区间，求出极值，曲线f（x）与x轴仅有一个交点，可转化成f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0即可．
【解答】解：函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a的导数为f′（x）=3x2﹣2x﹣1， 当x＞1或x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）递增； 当﹣＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减． 即有f（1）为极小值，f（﹣）为极大值． ∵f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递增， ∴当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；
又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞，
∴当f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点． 即a+
＜0或a﹣1＞0，
∴a∈（﹣∞，﹣故选：D．
）∪（1，+∞），
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题． 9. 已知函数
的图象是
（ ）
的图象如下面右图所示，则函数
参：
A 略
10. 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为
A. 9
B. 18 C. 20 D. 35
参：
B
循环开始时，
，
；
，
，故选B．
；
，
，符合退出循环的条件，输出
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=﹣x﹣3x，则不等式f（x﹣1）＞﹣x+4的解集是 ．
2
参：
（4，+∞）
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】首先，根据函数f（x）是奇函数，求解当x＞0时，函数的解析式，然后，分别令x﹣1≤0和x﹣1＞0两种情形进行讨论，求解不等式的解集． 【解答】解：∵函数f（x）是奇函数， 令x＞0，则﹣x＜0，
∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2+3x=﹣x2+3x=﹣f（x）， ∴f（x）=x2﹣3x，
∴
当x﹣1≤0，即x≤1，
，
f（x﹣1）=﹣（x﹣1）2﹣3（x﹣1）=﹣x2﹣x+2， ∵f（x﹣1）＞﹣x+4， ∴x2＜﹣2（舍去） 当x﹣1＞0，即x＞1，
f（x﹣1）=（x﹣1）﹣3（x﹣1）=x﹣5x+4， ∵f（x﹣1）＞﹣x+4 ∴x2﹣4x＞0
∴x＜0或x＞4，又x＞1， ∴x＞4．
故答案为：（4，+∞）．
2
2
12. 已知为锐角，则___________
参：
【分析】
先求出可.
，再利用两角和的正弦公式展开，带值计算即
【详解】解：为锐角，
则为钝角，则，
，
故答案为：.
【点睛】本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，关键是要找到已知角和未知角之间的关系，将未知角用已知角表示出来，是基础题. 13. 函数
的值域是
．
参：
{﹣1，3}
【考点】三角函数值的符号；函数的值域． 【专题】计算题．
【分析】本题需要对于角所在的象限讨论，确定符号，对于四个象限，因为三角函数值的符号不同，需要按照四种不同的情况进行讨论，得到结果． 【解答】解：由题意知本题需要对于角所在的象限讨论，确定符号， 当角x在第一象限时，y=1+1+1=3， 当角在第二象限时，y=1﹣1﹣1=﹣1， 当角在第三象限时，y=﹣1﹣1+1=﹣1，
当角在第四象限时，y=﹣1+1﹣1=﹣1． 故答案为：{﹣1，3}
【点评】本题考查三角函数值的符号，考查函数的值域，本题是一个比较简单的综合题目，这种题目若出现是一个送分题目．
14. 数列的前n项和为，且数列的各项按如下规则排列：
则
= ，若存在正整数k，使
，则k= 。
参：
,20
15. 用由函数参：
表示a，b两个数中的最大数，设的图象、x轴、直线
和直线
，那么
所围成的封闭图形的面积是
略
16. 对于函数
为
，若存在区间
，当是
时的值域为倍值函数，则实数
，则称的取值范围
倍值函数．若
是 .
参：
17. 下面有4个命题：
① 当时，的最小值为2；
② 若双曲线抛物线
的一条渐近线方程为，且其一个焦点与
的焦点重合，则双曲线的离心率为2；
③ 将函数象； ④ 在
中，
的图象向右平移个单位，可得到函数的图
，则的外接圆半径
；
类比到空间，若三棱锥S－ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别
为a、b、c，则三棱锥S－ABC的外接球的半径．
其中错误命题的序号为_______ （把你认为错误命题的序号都填上）．
参：
①③
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题13分）数列（1）求
的通项公式；
满足，且
（2）数列参：
满足，求数列的前项和
解：（1）根据条件可知．数列是等差数列，由，公差
则；
（2）
略
19. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，t≠0），以坐标
原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C3的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+8=0．
（1）求曲线C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π） （2）若点P是曲线C3上一动点，求点P到曲线C1的最短距离．
参：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【专题】坐标系和参数方程．
【分析】（1）直接根据参数方程和普通方程互化公式进行处理、极坐标方程和直角坐标方程的互化公式进行化简即可；
（2）首先，求解圆心到直线的距离，然后，该距离去掉半径即为所求．
【解答】解：根据曲线C1的参数方程为得y=
，
（t为参数，t≠0），
∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ， ∴x+y=2y，
2
2
联立方程组，
∴或，
它们图象的交点为：（0，0），（，），
对应的极坐标为（0，0），（，），
（2）曲线C3的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+8=0， 对应的直角坐标方程为：x+y﹣6x+8=0， ∴（x﹣3）2+y2=1，
故圆心为（3，0），半径为r=1，
2
2
圆心（3，0）到直线y=x的距离为d=，
∴点P到曲线C1的最短距离．
【点评】本题重点考查了极坐标和直角坐标的互化、参数方程和普通方程的互化公式等知识，属于中档题． 20. （本小题满分12分）
甲、乙两名骑手骑术相当，他们各自挑选3匹马备用，甲挑选的三匹马分别记为A，B， C，乙挑选的三匹马分别记为 排列顺序依 次为：
,已知6匹马按奔跑速度从快到慢的
．比赛前甲、乙均不知道这个顺序．规定：
每人只能骑自己挑选的马进行比赛，且率先到达终点者获胜． (I)若甲、乙二人进行一次比赛，求乙获胜的概率；
(Ⅱ)若甲、乙二人进行三次比赛，且不能重复使用马匹，求乙获胜次数多于甲的概率．
参：
21. 如图，四棱锥侧面
中，底面是的菱形，
垂直，
为
的中点.
是边长为2的正三角形，且与底面
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ)求二面角参： 方法一：
(Ⅰ)取CD的中点O，由于∠ADC=60°，∴
的余弦值.
的中点，连接，ON，PO。在菱形中，
为正三角形，则AO⊥CD，又PO⊥CD, 故CD⊥平面
APO, 从而CD⊥PA.
又∵以
.
∴, 则四边形为平行四边形，所
在ΔAPO中，∵AO=PO, ∴ON⊥AP, 故AP⊥MC, 所以PA⊥平面MCD。………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 MC⊥平面PAB，∴的平面角，
，则∠NMB为二面角D-MC-B在RtΔPAB中，易得 ∴ ,
从而, 故所求二面角的余弦值为.………12分
方法二：由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有
OA⊥DC． 分别以OA、OC、OP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图， 则
。
(Ⅰ) 由M为PB中点，∴
,
∴PA⊥DM，PA⊥DC． ∴PA⊥平面DMC．……………6分
(Ⅱ)则由
可得
。
所以可取分
由
,设平面BMC的法向量
可得
，取
，
。由(Ⅰ)知平面CDM的法向量可取……9
。又易知二面角为钝二面角.
∴二面角略
的余弦值为．…………………12
22. （本小题满分12分） 已知
（1）求a的值；
（2）是否存在实数b，使函数
的图像与f(x)的图像恰有两个交点，若
在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减.
存在，求出实数b的值；若不存在，说明理由. 参：
解：（1）∵分） 又∴分） （2）∵∴（7分）
与即 =16或综上当分）
在[0，1]在上单调递增，在[1，2]上单调递减，…（2
，
………………………………………………………（5
，∴
…………………………………………………………………
的图象恰有两个交点，∴
得
有两等根且不为0，
有两根，且一根为0，另一根不为0. ∴时
与
的图象恰有两个交点………………………（12
