第一类曲线分的计算

1.定义

定积分研究的是定义在直线段上函数的积分．本节将研究定义在平面曲线或空间曲线段上函数的积分．

定义 1 设L为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L上的函数．对曲线L作分割T，它把L分成n个可求长度的小曲线段Li(i1,2,,n)，Li的弧长记为si，分割T的细度为Tmaxsi，在Li上任取一点(i,i)(i1,2,,n).若存在极限

1inlimT0f(,)si1iiniJ

且J的值与分割T及点(i,i)的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L上的第一型曲线积分，记作

Lf(x,y)ds. （1）

定义 2 若L为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L上的函数，则可类似地定义

f(x,y,z)在空间曲线L上的第一型曲线积分为limLi的弧长,Tmaxsi, J为一常数),并且记作

1inT0f(,,i1iini)siJ，(此处si为

Lf(x,y,z)ds. （2）

2.物理意义

1) 设某物体的密度函数f（P）是定义在上的连续函数．当是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量，

现在研究当是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对作分割,把分成n个可求长度的小曲线段i（i=1，2，…，n)，并在每一个i上任取一点Pi由于f（P）为上的连续函数,故当i的弧长都很小时，每一小段i的质量可近似地等于f（Pi）i,其中i为小曲线段i的长度.于是在整个上的质量就近似地等于和式

f(P)i1ini

当对的分割越来越细密(即dmaxi0)时,上述和式的极限就应是该物体的

1in质量．

2)空间曲线L的重心坐标为

xMyzMx(x,y,z)dlLLzxy, ．M(x,y,z)dlMy(x,y,z)dlLL, z．M(x,y,z)dlMxyz(x,y,z)dlL(x,y,z)dlL

3) 曲线L的绕z轴(x, y轴)的转动惯量是

Jz(x2y2)(x,y,z)dl

L3.几何意义 ．．．．．．

1) ．．当被积函数为1时, 积分的值恰为曲线的长度. 2) 当f(x,y)0,面积。

4 性质

第一型曲线积分具有下述一些重要性质: 1)．若

Lf(x,y)dl表示以L为准线，以平行于z轴的线为母线的曲柱面的

fx,ydsi1,2,,k存在，ci1,2,,k为常数，则cfx,ydsLiikLi1ii也存在，且

cfx,ydscfx,yds.

Li1iii1iLikk 2)．若曲线段L由曲线L1,L2,,Lk首尾相接而成，且

kfx,yds(i1,2,,k)都

Li存在，则

fx,yds也存在，且fx,ydsfx,yds.

LLi1LI3)．若

fx,ydsLL与

gx,ydsL都存在，且在L上fx,ygx,y,则

fx,ydsgx,yds.

L 4)．若 5)．若

fx,yds存在，则fx,yds.也存在，且fx,ydsLLLLfx,yds.

fx,yds存在，L的弧长为s，则存在常数c,使得fx,ydscs,

LLL这里inffx,ycsupfx,y.

L5 第一型曲线积分的计算 定理1 设有光滑曲线 L：xt,t,,函数fx,y为定义在L上的连续函

yt,数，则

fx,ydsft,tL'2t'2tdt. （3）

证明：①由弧长公式知道，L上由tti1到tti的弧长si②由

titi1'2t'2tdt.

'2t'2t的连续性与积分中值定理，有si'2i''2i'ti

ti1i'ti.

③所以

f,sf,i1iiii1\"i\"inn'2i''2i'ti,这里

ti1i',i\"ti.

④设nf,ni1\"i\"in\"i\"i'2i''2i''2i\"'2i\"ti,

则有

f,sf,i1iiii1'2i\"'2i\"ti. （4）

⑤令tmaxt1,t2,,tn,则当T0时，必有t0. ⑥现在证明lim0.

t0 因为复合函数ft,t关于t连续，所以在闭区间,上有界，即存在常数M,使对一切t,都有ft,tM.

再由在,上连续，所以它在,上一致连续，即对任给的0,必存在0,使

'\"当t时（此时ti，而ti1i,iti.所以

i\"i'ti）有

'2i\"'2i\"'2i''2i',

从而Mti1niMba, 所以lim0.

t0 ⑦再由定积分定义(一般定积分的定义），可得 limt0f,i1\"i\"inti=ft,t'2t'2tdt.

'2\"i'2\"i⑧因此当在(4)式两边取极限后，即得所要证的(3)式

fx,ydsft,tL'2t'2tdt. ▌

注：1）光滑曲线：若曲线．

xt,t,,满足,在,上都存在连续的导函

yt,数，且''0，这时称C为光滑曲线．

2）该定理说明第一型曲线积分的计算可转换为定积分进行计算.

定理2 当曲线L由方程yx,xa,b给出，且x在a,b上有连续导函数时，

22Lfx,ydsfx,x1'2xdx (5)

ba定理3 当曲线L由方程xy,yc,d给出，且y在c,d上有连续导函数时,

Lfx,ydsfy,y1'2ydy. (6)

dc 例1 设L是半圆周

xacost,L:yasint,试计算第一型曲线积分

解:

0t,

xL02y2ds.

2xL2ydsa22acostsintdta31dta3. ▌

2220例2 设L是y4x从0,0到A(1,2)一段 ,试计算第一型曲线积分

Lyds.

解:

Lydsy02y1dy422y22•13432204221. ▌ 3 定理4 设函数fx,y,z在光滑曲线l上有定义且连续，l的方程为

xxtyytzzt则

t0tT

fx,y,zdslTt0222fxt,yt,ztx'ty'tz'tdt。

证明 仿照定理1，或者参考教材。

定理5 设函数fx,y,z在光滑曲线l上有定义且连续，l的方程为

1(x,y,z)02(x,y,z)0

则可化为以x为参数的参数方程。然后化为定理4的形式。

l22fx,y,zdsfx,yx,zx1y'xz'xdx。 t0T定理6 设函数fx,y,z在光滑曲线l上有定义且连续，l的方程为

zg1(x,y) zg2(x,y)则在一定的条件下可化为以z为参数的参数方程，再化为定理4的形式。

fx,y,zdslTt022fxz,yz,zzx'zy'z1dz。

22222例3 计算xds，其中L为球面xyza被平面xyz0所截得的

L圆周.

解 由对称性知xds2LyL2dsz2ds

L1a223222所以xds(xyz)dsdsa. ▌ 333LLL2 例4 求(xyyzzx)ds，其中L是球面xyza与平面xyz0的

2222L交线。 解法1

(xyyzzx)dsL12(xyyzzx)ds 2L 1[(xyz)2(x2y2z2)]ds 2L1a2222(xyz)dsdsa3 2L2L注: 解法1技巧性强，而不必化为定积分。

解法2 求曲线L的参数方程。由xyza，xyz0消去y，得

2222x2(xz)2z2a2

z2a23(12z2) 即 (x)222a令z2asint，则 3aaza23costsint x(12z2)222a26y(xz)于是得到两组参数方程

a2costa6sint

xa2costa6sint xaa2costaa6sint

ya2costa6sint y2cost6sint

z2asint z32asint 3我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和L都具有轮换对称性，则

(xyyzzx)ds3zxds

LL23a2sint(cost01313sint)x2(t)y2(t)z2(t)dt

23a3sint(cost02sint)dta3sin2tdta3

0

注: 解法2常规的方法，即

写出参数方程 套公式 计算定积分

这里主要难在第一步，写参数方程。解法2还给出了一种求参数方程的方法。

作业：Ｐ326 1, 3, 7