第１５卷第１１期 天津职业院校联合学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔｉａｎｊｉｎ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅｓ ＮＯ．１１ Ｖｏ１．１５ ＮＯＶ．２０１３ ２０１３年１１月 浅谈广义相对论 王晓松 （天津南开社区学院，天津 ３００１００） 摘要： 广义相对论由爱因斯坦（Ａｌｂｅｒｔ Ｅｉｎｓｔｅｉｎ，１８７９年——１９５５年）所创立，是建立在狭义相对论基础之上 的新的引力理论，是现代物理学重要的基础理论之一。几十年来，有过多的书籍介绍这一理论，内容偏于庞杂。文章 试图对广义相对论的最基本内容进行一次阐述。这是试图以最少的篇幅说明这一理论的一次尝试。 关键词： 广义相对论；等效原理；万有引力；时空结构 中图分类号：Ｏ４１２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３—５８２Ｘ（２０１３）１１—０１０３—０５ 一．广义相对论的产生 １９０５年爱因斯坦发表的狭义相对论解决了麦克斯韦（Ｍａｘｗｅｌ１）电动力学方程组的协变性问题，但无 法将将引力纳入狭义相对论框架。于是爱因斯坦从１９０７年开始了长达八年的对引力的相对性理论的探 索。在历经多次弯路和错误之后，他于１９１５年１１月在普鲁士科学院上作了发言，其内容正是著名的爱因 斯坦引力场方程。这个方程描述了处于时空中的物质是如何影响其周围时空的几何结构，并成为了爱因 斯坦的广义相对论的核心，广义相对论（Ｇｅｎｅｒａｌ Ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ？）正式诞生。 二．广义相对论的基本原理 （一）物体的引力质量与惯性质量相等 经典力学中有两种质量，一种用于牛顿第二定律Ｆ一撇，其中的１＇７１，称为惯性质量。另一种用于牛顿万 有引力定律Ｆ—ＧＭｍ其中的Ｍ；ｍ称为引力质量。在经典力学中这两种质量区分严格。多少年来，人们 ，，ｒ 为了搞清楚这两种质量的异同，做了许多实验。但直到上世纪六十年代，迪克（Ｄｉｅｋｅ）等人的实验证明： 一１＋０（１０—１１） ｍ 其中左式分子为引力质量，分母为惯性质量。这就是说即使在这样的精确度上，也无法测出这两种质 量的数量差别。因此，爱因斯坦有理由认定：物体的引力质量与惯性质量相等。 （二）等效原理 １．弱等效原理 一个在密封舱内的实验者，由于无法观测到外部世界，当他在舱内通过实验发现舱内的一切物体都会 自由下落，并且其下落的加速度与物体本身的性质无关时，他可以有两种解释： （１）物体自由下落是由于舱下面恒星的引力场造成的，是物体的引力质量在起作用。 （２）物体自由下落是由于舱在太空中加速地向上飞行，是物体的惯性质量在起作用，使物体产生了惯 性力。 因此，如果认可引力质量等于惯性质量，而封闭的实验者又无法判断舱外的情况，因此他无法判断物 体的运动是重力或者是惯性力，因此，这两者也是等效的。由于这里只涉及力学，因此称之为弱等效原理。 收稿日期：２０１３—０５—２０ 作者简介：王晓松（１９６１一），男，１９８４年７月毕业于天津师范大学物理学系，２００４年被评为副教授，现在天 津南开社区学院计算机系任教，从事物理和计算机专业的教学工作。 ・ １０３ ・ ２．强等效原理 如果进一步认定，在舱中做任何实验（力学、电磁学或者是热力学）都无法从效果上区分惯性力和引 力，就说明了这两种力的完全等效性，这就是强等效原理。 （三）引力的几何化 如果一种力完全可以用另一种力取代，与物体本身的性质无关，并且在某种情况下（如密封舱完全在 引力场作用下运动）这种力可以完全消失（即失重）。那么这种力就应当可以换一个角度去理解。 广义相对论统合了狭义相对论和牛顿的万有引力定律，将引力描述成因时空中的物质与能量而弯曲 的时空，以取代传统对于引力是一种力的看法。也就是说，在广义相对论看来，巨大星体周围有卫星绕着 它旋转并不是由于卫星受到了任何力的作用，而是由于巨大星体周围的空间由于巨大星体的存在而弯曲。 而时空弯曲的程度取决于时空中物质分布的能量——动量四维张量： Ｐ一 “ 其中 ； Ⅱｒ ，而ｄｒ为固有时（即物质运动场所中的坐标所记录的时间）。 （四）爱因斯坦引力场方程 具体刻画时空的弯曲程度需要使用爱因斯坦引力场方程： Ｒ 一 ｇ Ｒ一一 而在场源物质以外的时空区域，只有引力场存在，称之为“真空”，在真空中由于 有场方程Ｒ 一０ 一０，Ｔ一０，因此 后来席瓦希尔（Ｓｃｈｗａｒｚｓｃｈｉｌｄ）得到了爱因斯坦方程的第一个静态球对称真空引力场方程的严格解。 关于这一严格解的求解过程，本人在《成功（教育版）｝２００８年第９期发表的论文《论席瓦西尔（Ｓｃｈｗａｒｚｓ— ｃｈｉｌｄ）外部解》中有详细论述。这一严格解的形式为 ＋ｒ （ｄＯ ＋ｓｉｎ ∞ ） 一 ＋ ＋ 。＋ｓ 其中引力势 一一 （五）广义相对论中的若干问题 １．在引力场中时钟变慢 引力场所引起的时钟变化为 ｄ－ｃ一￣／ 一％／１ ２ＧＭ＿一√１＋ 其中ｄｔ为时空中无引力场处所测得的时间，ｄｒ为引力场中某时空点所测得的时间。由此可见，引力 愈强之处，时间的变化愈慢。 ２．在引力场中空间弯曲 引力场中径向相邻两点间的线元为 ｄｌ “一—１ 】 ／１－—２ＧＭ一 其中ｄｒ表示沿引力半径方向的相邻两点的距离。ｄｌ是在引力效应下此两点被拉长后的距离。由上 式分析，引力越大，则“相邻”两点间的距离就会被拉得越长，这是由于空间弯曲所造成的。 ３．引力半径的问题 Ｍ根据席瓦希尔解的数学表达式，只有当１—２Ｇ，＞Ｏ，或，＞下２ＣＡＶＩ的时候，才有物理意义。这就产生 了引力半径 一下２ＧＭ 一般天体的引力半径远远小于它的实际半径。例如： （１）太阳： 质量Ｍ一１．９９×１Ｏ。。 实际半径ｒ一６．９６×１０ ｍ 引力半径 一２９５０ｍ 收缩至引力半径后的密度ｐ一１．８×１０”姆／ｍ。，十分惊人！ （２）地球： 引力半径 一０．８９ｃｍ 一旦进入了引力半径，则时空的性质发生了变异，如果研究对象的全部质量落入这一区域，则在引力 半径以外的时空无法观测得到。这就是黑洞。 ４．黑洞 根据爱因斯坦引力场方程和１９１６年出现的史瓦西（Ｓｅｈｗａｒｚｓｃｈｉｌｄ）解以及１９６３年克尔（Ｋ．Ｐ．Ｋｅｒｒ） 所找到的真空中场方程的另一个准确解——轴对称解 都说明时空的性质确实是很复杂的。物理学家在 探索时空结构方面做了不少的努力，一些不成熟的结论被搬移到文学艺术作品中。例如关于“多重宇宙” 的存在，进入不同时空区域的“时光隧道”等等。这当然只是物理学发展的一个阶段的一些派生现象。 一旦席瓦希尔（Ｓｃｈｗａｒｚｓｃｈｉｌｄ）解中出现ｒ—ｒｓ一 ｎ， 的情况，必将导致ｇ。。一０，ｇ 一Ｏ０，ｇ 一Ｏ０，ｇ“ 一０，度规的发散说明这是时空的奇异点，这里就没有了确定的物理规律。但也要考虑坐标系选取的因 素。 １９６０年由克鲁斯卡（Ｍ・Ｄ・Ｋｒｕｓｋａ１）和杰克莱斯（Ｇ・Ｓｚｅｋｅｒｅｓ）提出了克鲁斯卡坐标系。保留席瓦 希尔坐标系（￡，ｒ，０， ）中的（ ， ）含义不变，只变换其中的（ ，ｒ），这是因为度规奇异性只出现在（ ，ｒ）。 克鲁斯卡坐标系是定义，所以不需要证明。其具体定义为 （１）在ｒ＞ｒｓ区域，有 “一（＿１）÷ｅ ｃ。ｓｈ 兰ＸｃｏｓｈＴ 一（一１） １ ｅ，ｓｉｎｈ ｃｔ；Ｘｓｉｎｈ丁 ｅ￡一 ｇｈ 逆变换为 （ 一１） ｒ 一“ｚ一 （ 一 １ ｅ Ｐｓｉｎｈ （Ｌ） １ ．一一兰ｉＸｓｉｎｈＴ ｃｔ ｉＸｃ。ｓｈＴ （２）在ｒ＜ 区域，有 ｅｃ。ｓ“ ￡一Ｚ％ｇｈ一 旦 一“ｚ一 ２ 逆变换为 （ 一１） ７— 式中的（“， ）都是（￡，ｒ）的函数，说明这是动态坐标系，在此坐标系下的席瓦希尔解是 ｄｓ ｚ一 ｒ 一 （一ｄｖｚ＋ｄｕ ｚ）＋ｒｚ（ｄＯｚ＋ｓｉｎ２Ｏｄ。ｚ） 。 为忽略我们不需要考察的变量，可以令ｄＯ一 ｒ 一０，则上式变为 ｄｓ ｚ一垡ｅ－７－ （一ｄｖｚ＋ｄｕ ｚ） ５．克鲁斯卡坐标系下时空特性的讨论 ・１０５・ 克鲁斯卡坐标时空图解 根据上式，可以做如下讨论： （１）取ｄｓ一０，可以得到光锥方程一 ＋ｄｕ 一０，即“一± ＋Ｋ（常数）。这两条直线可以通过任 意时空点并且与坐标轴成四十五度角。并且如果取Ｋ一０，这两条直线就通过坐标原点（“＝ 一Ｏ）。根 据坐标的逆变换公式，此两条光锥线满足ｒ—ｒ 。说明这两条光锥线就代表黑洞的视界。 （２）取ｒ ｚ Ａ： １．当Ａ一０时，由坐标逆变换关系得到：“ 一 一一１。这是以 为对称轴的两条双曲线，是席瓦希尔 坐标系中中心奇点的反映。 ２．当Ａ≠０，但为常数时，由坐标逆变换关系得到：“。一 一Ｂ（常数）这个方程代表一组双曲线。 ３．当ｒ＞ ，双曲线描述黑洞外的时空关系。 ４．当ｒ＜ ，双曲线描述黑洞内的时空关系。 ５．若Ｂ一０，则双曲线变成直线，重合于通过原点的光锥线。 （３）当ｔ—Ｃ（常数）时，（“， ）为等时关系， ６．当ｒ＞ 时， 一Ｄ（常数）。 ７．当ｒ＜ 时， ＝Ｅ（常数）。 Ｍ （４）上面两式是通过原点的直线族，Ｄ，Ｅ为直线的斜率。 ８．斜率大于零，直线族位于Ｉ，ＩＩＩ象限。 ９．斜率小于零，直线族位于ＩＩ，ＩＶ象限。 １０．斜率为±１，ｔ一士Ｏ０，与通过原点的光锥线重合。 １１．斜率等于零，ｔ一０，直线为零等时线，即（“， ）坐标轴。 （５）根据以上分析，克鲁斯卡坐标系在二维平面上可以将时空分为四个区域，这四个区域是用通过原 点的两条光锥线来区分的。同时应当注意时间的演进方向。 １２．Ｉ区：ｒ＞ ；ｒ—ｏｏ，一∞＜ｔ＜＋００，是我们生活的时空，此时空内的物体可以在本区域内自由运动， 也可以进入ＩＩ区，即黑洞，但无其它活动范围。 １３．ＩＩ区：ｒ＜ ，处于黑洞内部，此时空内的一切物体都无选择地冲向奇点ｒ一０。 １４．ＩＩＩ区：与我们生活的时空相对称的时空区域，这是一个神秘的世界，这里时间反演，此时空内的物 体可以在本区域内自由运动，也可以进入ＩＩ区，即黑洞，但无其它活动范围，更不可能和我们生活的时空 有任何沟通。但Ｉ、ＩＩＩ区出来的物质可以在黑洞相遇。 １５．ＩＶ区：又一个神秘的区域，与黑洞对称，称为白洞。这里的一切物质都向外运动，进入Ｉ区或ＩＩＩ ・ １ ０６・ 区，有些最终进入黑洞。 － 表示未来光健，…一表示粒子轨迹 克鲁斯卡坐标平面上粒子的运动 克鲁斯卡坐标系下ＩＩＩ、ＩＶ区的时空尚无证据证明其真实存在，但在理论上来讲，它是合理的。历史上 早就有黑洞存在的预见，但在八十年后的今天才有很多的天文观测说明其存在的可能性。 参考文献： Ｅ１］唐肇华，刘素芸，瓮甲强．广义相对论导－￣ＥＭ］．桂林：广西师范大学出版社，１９８７。 ［２］俞允强．广义相对论引论［Ｍ］．北京：北京大学出版社，１９９９． ［３］郑庆璋，崔世治．相对论与时空ｉＭ］．太原：山西科学技术出版社，１９９８． Ｂｒｉｅｆ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ ＷＡＮＧ Ｘｉａｏ——ｓｏｎｇ （Ｔｉａｎｊ ｉｎ Ｎａｎｋａｎ Ｄｉｓｔｒｉｃｔ Ｃｏｍｍｕｎｉｔｙ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｔｉａｎｊｉｎ ３００１００） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｂｙ Ａｌｂｅｒｔ Ｅｉｎｓｔｅｉｎ（１ ８７９—１ ９５５）ｉｓ ｎｅｗ ｔｈｅｏｒｙ ａｂｏｕｔ ｇｒａｖｉｔａｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｐｅｃｉａｌ ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ ａｎｄ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｉｎ ｍｏｄｅｒｎ ｐｈｙｓｉｃｓ・Ｉｎ ｄｏｚｅｎｓ ｏｆ ｙｅａｒｓ，ａ ｌｏｔ ｏｆ ｂｏｏｋｓ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｐｕｂｌｉｓｈｅｄ ｆｏｒ ｓｕｃｈ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｈｕｇｅ ｃｏｎｔｅｎｔｓ．Ｉｔ ｉｓ ｍａｎａｇｅｄ ｈｅｒｅｗｉｔｈ ｔｏ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｃｏｎｔｅｎｔ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌ ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ，ｔｒｙｉｎｇ ｔｏ ｅｘｐｌａｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｌｅａｓｔ ｖｏｌｕｍｅ－ Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｇｅｎｅｒａｌ ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ；ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ；ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｇｒａｖｉｔａｔｉｏｎ；ｓｐａｃｅ—ｔｉｍｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ・１０７・
