菱形

定义菱形一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 一菱形的性质 菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2 两对角线互相垂直平分，每一菱形 对边平行，四条边相等 对角相等 条对角线平分一组对角 课堂练习 1．小明和小红在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 ，使得四边形ABCD是菱形。小明补充的条件是AB=BC；小红补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是（ ）

A、小明、小红都正确 B、小明正确，小红错误C小明错误小红正确D、小明小红都错误 2．下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ） （A）邻角互补 （B）内角和为360° （C）对角线相等 （D）对角线互相垂直 3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ） A. 当AB=BC时，它是菱形； B. 当AC⊥BD时，它是菱形； C. 当∠ABC=90°时，它是矩形； D. 当AC=BD时，它是菱形。

4．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是______cm． 5．若菱形的周长为24 cm，一个内角为60°，则菱形的面积为______ cm2。

6 已知菱形的周长为40cm，两条对角线长的比是3：4。求两对角线长分别是 。 7、已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm，则菱形的周长为 . 8、如图，P为菱形ABCD的对角线上 一 点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点 F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_____ cm

9、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_ .

10．已知菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD=120°，求∠ABD的度数为 DA

OBC11、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2。 求（1）∠ABC的度数（2）对角线AC、BD的长（3）菱形ABCD的面积。

12、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E， DF∥AB交AC于F．

求证：四边形AEDF是菱形；

13、如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。证明：不论E、F怎样移动，△BEF总是正三角形。

二菱形的判定 菱形判定定理1：定义

菱形判定定理2 四边都相等的四边形是菱形

菱形判定定理3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 判定练习 1、□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，

（1）若AB=AD，则□ABCD是 形； （2）若AC=BD，则□ABCD是 形； （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；（ 4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。 2、下列条件中，不能判定四边形ＡＢＣＤ为菱形的是（ ）． Ａ、AC⊥BD ，AC与BD互相平分 Ｂ、AB=BC=CD=DA

Ｃ、AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD Ｄ、AB=CD，AD=BC，AC⊥BD

3、如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。

4、如图，在已知平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于点E，EF//AB，与AD相交于点F.求证:四边形ABEF是菱形.

5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，四边形AEFG是菱形吗?

6、如图，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，且AE=AB=BF，说明CE⊥DF.

7图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．

(1) 证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； (2) 试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

(3) 在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图

形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

课后练习 1下列命题中，真命题是（ ）

Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

2. 已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm, 那么这个菱形的周长为_______面积为___. 3. 将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起, 使之成60度角, 那么重叠部分的面

积的最大值为________________.

4. 一个菱形面积为80, 周长为40, 那么两条对角线长度之和为__________.

5. 顺次连接一个特殊四边形的中点, 得到一个菱形. 那么这个特殊四边形是

___________.

6. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE：BE=1：3，OF=4，求∠ADB

的度数和BD的长。 ADE

O

B CF7. 如图所示，矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周

长为36cm，求此矩形的面积。

8. 折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD

DC重合，得折痕DG，如图，若AB=2，BC=1，求AG。

E

BAG

9. 如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EFCE，且

EFCE,DE2cm，矩形ABCD的周长为16cm，求AE与CF的长．

10. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，（1），画出△AOB平移后的三角形，

其平移的方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长。（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外还有哪一种特殊的平行四边形？并给出证明。

11. 如图所示，已知菱形ABCD中，E、F分别在BC和CD上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，

求∠CEF的度数。

12. 已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C作CG∥

EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数。

AG

BH D113. 如图所示，已知菱形ABCD中E在BC上，且AB=AE，∠BAE=∠EAD，

2AE交BD于M，试说明BE=AM。

ECF

14. 已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．

15. AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：AD⊥EF。

16. 如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满

足AE＋CF＝2．

(1) 求证：△BDE≌△BCF；

(2) 判断△BEF的形状，并说明理由；

(3) 设△BEF的面积为S，求S的取值范围．