具有抵偿高程面的任意带坐标系设计原理与方法(2009-08-12 16:28:10)标签：坐标系 参考面 椭球面 大地高 高斯 山岭地区 教育 分类：测绘
摘 要：高速铁路对边长投影变形提出了2. 5 cm/ km（1 / 40000）的控制要求，长期以来一直采用的3o带高斯正形投影平面直角坐标系，已难以满足铁路建设的精度要求。对投影变形问题进行了分析，阐述了具有抵偿高程面的任意带坐标系设计原理，并结合某铁路客运专线的实例，介绍了该形式坐标系的设计方法。具有抵偿高程面的任意带坐标系，克服了3o带坐标系的局限性，能有效地实现两种长度变形的相互抵偿，从而达到控制投影变形的目的。
关键词： 抵偿高程面任意带 坐标系 投影变形
我国的铁路工程建设，长期以来一直采用国家统一3o带高斯正形投影平面直角坐标系（以下简称3o带坐标系）作为铁路线路工程的施工坐标系。随着我国铁路建设主要技术标准的显著提高和勘测工艺的变革，3o带坐标系已难以适应铁路工程建设的需要，特别是高速铁路（含200 km/ h 客运专线），对边长投影变形提出了2. 5 cm/ km（1 / 40 000）的控制要求。因此，在高速铁路可行性研究阶段，结合项目特点，设计选定合理的施工坐标系，有效控制投影变形对工程建设的影响，是保证定测、设计、施工的顺利实施和工程质量的重要前提。
具有抵偿高程面的任意带高斯正形投影平面直角坐标系（以下简称抵偿高程面任意带坐标系），是一种能够灵活解决投影变形对工程建设的影响且相对复杂的坐标系形式。以下结合对投影变形问题的分析，对具有抵偿高程面任意带坐标系的设计原理及方法进行讨论。
1 设计原理
1. 1 投影变形及其主要特征分析
由于定义国家大地坐标系的椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，当采用高斯正形投影将这个曲面上的元素投影到平面上时，投影后就会发生长度变形问题。这种变形主要由测距长度归算到参考椭球面上的变形ΔD1和将参考椭球面上边长归算到高斯投影面上的变形ΔD2两方面因素引起的，可由下式求得
ΔD1 = - D·HmRA（1）
ΔD2 = y2m2Rm+ Δy224R2 ( ) m·D1（2）
二者的变形之和ΔD为
ΔD = ΔD1 + ΔD2& y2m2R2m- HmR ( ) A·D （3）
式（1）、（2）、（3）中：
Hm———测距两端相对于参考椭球面的平均高程/m；
D———测距两端点平均高程面的水平距离/ m；
———归算边方向参考椭球法截弧的曲率半径/m；
ym———测距边两端点横坐标平均值/ m；
Rm———测距边中点的平均曲率半径/ m；
D1———投影到参考椭球面上的归算边长度/ m，D1= D + ΔD1；
Δy———测距边两端点近似横坐标的增量/ m。
当取Rm&RA = 6 371 000 m 时，根据式（3）计算可得每公里投影变形随ym和Hm变化的情况，（见表1）。
由式（1）、（2）、（3）和表1，可以归纳投影变形的
主要特征如下：
① 地面实测长度归算至参考椭球体面上，总是缩短的，地面点与参考椭球面的高差越大、变形越大。
②椭球面上长度归算至高斯面上，总是增大的，离子午线愈远变形愈大。
③由于高程归化投影变形与高斯投影变形符号相反，所以在一定的区域内，两种变形可以相互抵偿。
1. 2 设计原理
铁路是典型的线性工程，穿行于狭长的带状区域，沿途地形、地貌千变万化，特别是在山岭地区或线路横跨多个国家统一3o带时，边长投影变形很难满足2. 5cm/ km 的要求。因此，需要通过人为的方法，将子午线进行移动并重新选择高程参考面，以达到使两项变形良好抵偿的目的，通过这种方法所设计的坐标系，即为抵偿高程面任意带坐标系。设重新选定高程参考面的大地高为H，测距边相对于新的高程参考面的高程为ΔH，测距边两端
点相对于重新选定子午线的横坐标平均值为y，则满足高速铁路对投影变形要求的条件式可近似表示为
y22R2m- ΔHRA≤ 140 000（4）
式（4）展开后得
+ y22Rm( - RA ) 40 000≤ ΔH ≤ y22Rm( + RA ) 40 000（5）
式中 RA———归算边方向参考椭球法截弧的曲率半径/ m；
Rm———测距边中点的平均曲率半径/ m。
依据式（5）的约束条件，即可进行抵偿高程面任意带坐标系的设计。
2 设计程序和方法
高速铁路可行性研究结束后和定测阶段开始前，应依据基本稳定的线路平、纵断面，进行施工坐标系设计。以下结合某铁路客运专线的工程实例，对抵偿高程面任意带坐标系的设计程序和方法进行介绍。
2. 1 数据采集及变形检算
采集线路平、纵断面数据的主要目的，是为了计算分析全线投影情况。采集数据的内容包括采样点的中线里程及其对应的坐标、路肩设计高程。数据采样间隔一般以1 ～ 2 km 为宜，且反向坡段及坡度代数差较大的变坡点必须进行采样。数据采集完成后，依据式（3）
计算检验在3o带坐标系中，线路各采样点处的每公里投影变形是否满足要求。
某铁路客运专线全长200 余km，近似东西走向，全线均处于3o带坐标系第38 带中。经线路平、纵断面数据采集和计算，仅20 余km 线路能够满足2. 5cm/ km 的投影变形要求。线路施工坐标系无法直接利用3o带坐标系，需要另行设计。
2. 2 绘制ym Hm断面图
依据各采样点的ym值和Hm值，绘制线路ym Hm断面。为直观显示全线各处的投影变形与目标值的差距，依据式（5）绘出满足2. 5 cm/ km 要求的投影变形区域界限（见图1）。
图1 中所示两条二次曲线相间的区域，是满足2. 5 cm/ km 投影变形要求的区域，可以明显看出，线路ym Hm断面大部分不满足投影变形要求。要使ymHm断面能够较好的处于变形允许的区域内，既需要移动子午线，又需要改变高程参考面。因此，线路施工坐标系的设计形式，应为抵偿高程面任意带坐标系。
2. 3 子午线经度和投影面大地高的确定
沿ym轴方向平移子午线，同时沿Hm轴方向调整高程参考面，使自线路起点开始的ym Hm断面，有相对较长的区段位于满足投影变形要求的区域内（见图2）。
在图2 中，可直接量取平移后的坐标轴原点在平移前坐标系的坐标（ y0、H0），然后根据y0值和其所对应中线里程，计算该点在3o带坐标系中的概略纵坐标x0，最后将3o带坐标系中的平面坐标（x0，y0），转换为大地坐标（B0，L0），转换后所得该点的大地坐
标经度L0，即为该抵偿高程面任意带坐标系的子午线经度，H0则为所选高程参考面的大地高。
设计结果为：该客运专线第一个施工坐标系的子午线经度为114o30'00\"；投影面大地高为242 m；定义有效的里程范围为设计起点至BCIK127 + 000；由于采用一个施工坐标系尚不能使全线都满足投影变形要求，所以BCIK127 + 000 至设计终点，按上述方法设计为该客运专线第二施工坐标系，仍采用抵偿高程面任意带坐标系形式。设计结果：子午线经度为112o18'00\"；投影面大地高为902 m。为了保证两个施工坐标系的良好衔接，BCIK124 + 000 ～ BCIK129+ 000 段，设计为两坐标系均能满足2. 5 cm/ km 投影变形的重叠区域。
2. 4 施工坐标系下的变形检算
根据所定义施工坐标系的子午线和高程参考面，将线路各采样点的3o带坐标转换为所在施工坐标系的坐标，将线路路肩设计高程换算为对于新的高程参考面的高程，然后进行投影变形检算，以确保施工坐标系设计无误。第一施工坐标系检算结果见表2。检算结果表明，在所设计的具有抵偿高程面任意带坐标系中，线路各点的边长投影变形均小于2. 5cm/ km，能够满足工程需要。
3 结束语
具有抵偿高程面任意带坐标系克服了国家统一3o带坐标系的局限性，能有效地实现两种长度变形的相互抵偿，达到了控制投影变形对高速铁路工程影响的目的。随着我国高速铁路建设事业的发展，其应用也必将日渐广泛，在山岭地区、线路横跨多个国家统一3o带及线路纵坡变化显著地区的高速铁路或客运专线建设中，抵偿高程面任意带坐标系具有良好
的实用性。
