2020-2021苏州苏州外国语学校高一数学下期末模拟试题(附答案)

一、选择题

uuuvuuuvuuuv1．已知ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA•(PBPC)的

最小值是（） A．6

B．3

C．4

D．2

2．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则yf(x)在[0,]上的图象大致为（ ）

A．

B．

C． D．

3．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）

A．2 B．422 C．442 D．642

4．设样本数据x1,x2,L,x10的均值和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，

i1,2,L,10)，则y1,y2,L,y10的均值和方差分别为（ ）

A．1a,4

B．1a,4a

C．1,4

D．1,4a

1216x0x25．已知函数yf(x)为R上的偶函数，当x0时，函数f(x)，若x1x22关于x的方程f(x)af(x)b0a,bR有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）

251A．,

24C．11B．, 24D．1111,U, 244811, 286．已知a0,b0，并且A．2

111,,成等差数列，则a4b的最小值为（ ） a2bC．5

D．9

B．4

7．记max{x,y,z}表示x,y,z中的最大者，设函数

f(x)maxx24x2,x,x3，若f(m)1，则实数m的取值范围是（ ）

A．(1,1)U(3,4) C．(1,4) 8．f(x)eA．(0,) 9．若tan(A．

xB．(1,3)

D．(,1)U(4,)

1的零点所在的区间是（ ） xB．(,1)

1212C．(1,)

32D．(,2)

324)2，则

sincos（ ）

sincosC．2

D．1 2B．2

1 210．与直线xy40和圆x2y22x2y0都相切的半径最小的圆的方程是 A．x1y12 C．x1y12

2222B．x1y14 D．x1y14

2222xa,x111．若函数fx是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )

23ax1,x1A．2,1 3B．,1

34C．23, 34D．2, 312．在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面

ACC1A所成角的大小为（ ）

A．30o B．45o C．60o D．90o

二、填空题

13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m= _________ ．

14．直线l将圆x2y22x4y0平分，且与直线x2y0垂直，则直线l的方程为 ．

215．函数fxsinxsinx3的最小值为________.

16．若函数fxx6,x2（a0且a1）的值域是4,，则实数a的取

3logx,x2a值范围是__________．

17．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.

18．若

4x23，则函数ytan2xtanx的最大值为 ．

2x,x0119．已知函数f(x)，若f[f(a)]，则a的值是________.

2log4x,x0220．已知函数f(x)xmx1，若对于任意的xm,m1都有f(x)0，则实数m的取值范围为 .

三、解答题

21．

投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设总和（

前年总收入-前年的总支出 -投资额72万元）

（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？

（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值. 22．已知二次函数f(x)满足f(x)f(x1)2x且f(0)1. （1）求f(x)的解析式；

（2）当x[1,1]时，不等式f(x)2xm恒成立，求实数m的取值范围.

表示前n年的纯利润

rrrr23．已知平面向量a，b满足ab1.

rrrr（1）ab1，求a与b的夹角；

rrrrrrx（2）若对一切实数，不等式axbab恒成立，求a与b的夹角.

24．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空，ABC外的地方种草，

ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC1，ABC，

0，，设ABC的面积为S1，正方形的面积为S2.

2

(1)用表示S1和S2； (2)当变化时，求

S1的最小值及此时角的大小. S2225．已知函数f(x)xax4，g(x)|x1||x1|． （1）当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；

（2）若不等式f(x)g(x)的解集包含[–1，1]，求a的取值范围． 26．设函数f(x)cos2x2sinx． 3（1）求函数fx的最小正周期． （2）求函数fx的单调递减区间；

（3）设A,B,C为VABC的三个内角，若cosB1，31Cf，且C为锐角，求

42sinA．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】

建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解. 【详解】

由题意，以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则A(0,23),B(2,0),C(2,0)，

uuuruuuruuur设P(x,y)，则PA(x,23y),PB(2x,y),PC(2x,y)，

uuuruuuruuur所以PA•(PBPC)x(2x)(23y)(2y)2x243y2y2 2[x2(y3)23]，

uuuruuuruuur所以当x0,y3时，PA•(PBPC)取得最小值为2(3)6，

故选A.

【点睛】

本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2．B

解析：B 【解析】

【分析】

计算函数yf(x)的表达式，对比图像得到答案. 【详解】 根据题意知：

OMOPcosxcosx

M到直线OP的距离为：OMsinxcosxsinx f(x)cosxsinx对应图像为B 故答案选B 【点睛】

本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.

1sin2x 23．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积． 【详解】

根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是2,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2， ∴几何体的表面积S22222故选D． 【点睛】

本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．

1222642. 24．A

解析：A 【解析】

试题分析：因为样本数据x1,x2,L,x10的平均数是1,所以y1,y2,...y10的平均数是

y1y2...y10x1ax2a...x10ax1x2...x10a1a；根据

101010yixia（a为非零常数，i1,2,L,10），以及数据x1,x2,L,x10的方差为4可知数

据y1,y2,L,y10的方差为1244，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．

5．B

解析：B 【解析】 【分析】

作出函数yf(x)的图像，设fxt，从而可化条件为方程t2atb0有两个根，利用数形结合可得t1【详解】

由题意，作出函数yf(x)的图像如下，

11，0t2，根据韦达定理即可求出实数a的取值范围. 44

由图像可得，0f(x)f(2)21 4Q关于x的方程f(x)af(x)b0a,bR有且仅有6个不同的实数根，

设fxt，

t2atb0有两个根，不妨设为t1,t2；

且t111，0t2 44又Qat1t2

11a,

24 故选：B 【点睛】

本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.

6．D

解析：D 【解析】 ∵

111,,成等差数列， a2b11a4ba4b111，a4ba4b5…529， abbabaab当且仅当a=2b即a3,b本题选择D选项.

3时“=“成立， 2点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

7．A

解析：A 【解析】 【分析】

画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】

函数fx的图象如图，

直线y1与曲线交点A(1,1)，B1,1，C3,1，D4,1， 故f(m)1时，实数m的取值范围是1m1或3m4. 故选A. 【点睛】

本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.

8．B

解析：B 【解析】 函数f（x）=ex﹣＞0，可得f（选B．

点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.

11是（0，+∞）上的增函数，再根据f（）=e﹣2＜0，f（1）=e﹣1x2111）f（1）＜0，∴函数f（x）=ex﹣的零点所在的区间是（，1），故2x29．D

解析：D 【解析】

由tan(4)2有

tan112,tan，所以

1tan311sincostan131，选D.

sincostan11123点睛：本题主要考查两角和的正切公式以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题。

10．C

解析：C 【解析】

圆xy2x2y0的圆心坐标为1,1，半径为2，过圆心1,1与直线

22xy40垂直的直线方程为xy0，所求圆的圆心在此直线上，又圆心1,1到直

线xy40的距离为632，则所求圆的半径为2，设所求圆的圆心为2a,b，且圆心在直线xy40的左上方，则x1y1故选C．

22ab422，且ab0，解得

a1,b1（a3,b3不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为

2.

【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．

11．C

解析：C 【解析】 【分析】

由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a的取值范围. 【详解】

当x1时，ax为减函数，则0a1，

当x1时，一次函数23ax1为减函数，则23a0，解得：a且在x1处，有：23a11a，解得：a12， 33， 4综上可得，实数a的取值范围是本题选择C选项. 【点睛】

23,. 34对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、

下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．

12．A

解析：A 【解析】 【分析】

由题意，取AC的中点O，连结BO,C1O，求得BC1O是BC1与侧面ACC1A1所成的角，在BC1O中，即可求解． 【详解】

由题意，取AC的中点O，连结BO,C1O,

因为正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1， 所以BOAC,BOAA1，

因为ACAA1A，所以BO平面ACC1A1， 所以BC1O是BC1与侧面ACC1A1所成的角， 因为BO1()212313,C1O(2)2()2， 2223BO3所以tanBC1O， 23OC132所以BC1O30，BC1与侧面ACC1A1所成的角300．

0

【点睛】

本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到BC1O是BC1与侧面ACC1A1所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．

二、填空题

13．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x若x满足|x|≤m的概率为若m对于3概率大于若m小于3概率小于所以

m=3故答案为3

解析：3 【解析】 【分析】 【详解】

如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，若m对于3概率大于，若m小于3，概率小于，所以m=3． 故答案为3．

14．【解析】试题分析：设与直线垂直的直线方程：圆化为圆心坐标因为直线平分圆圆心在直线上所以解得故所求直线方程为考点：1直线与圆的位置关系；2直线的一般式方程与直线的垂直关系【思路点睛】本题是基础题考查直 解析：y2x

【解析】

试题分析：设与直线x2y0垂直的直线方程：2xyb0，圆

，2．因为直线平分圆，圆x2y22x4y0化为x1y25，圆心坐标122心在直线2xyb0上，所以2112b0，解得b0，故所求直线方程为

y2x．

考点：1．直线与圆的位置关系；2．直线的一般式方程与直线的垂直关系．

【思路点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与直线垂直的方程的设法，据此设出与已知直线垂直的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可．

15．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值； 解析：【解析】 【分析】

利用换元法，令sinxt，t1,1，然后利用配方法求其最小值． 【详解】

令sinxt，t1,1，则ytt3t当t13 42113， 2411313时，函数有最小值，故答案为.

442【点睛】

求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成yasinxbsinxc的形式利用配方法求最值；②形如y2asinxb的可化为sinx(y)的形式性求最值；③

csinxdyasinxbcosx型，可化为ya2b2sin(x)求最值；④形如

yasinxcosxbsinxcosxc可设sinxcost,换元后利用配方法求最值. 16．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数 解析：1,2

【解析】

x6,x2试题分析：由于函数fx{a0,a1的值域是4,，故当x23logax,x2时，满足fx6x4，当x2时，由fx3logax4，所以logax1，所以loga211a2，所以实数a的取值范围1a2. 考点：对数函数的性质及函数的值域.

【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当x2时，由fx4，得

logax1，即loga21，即可求解实数a的取值范围.

17．2米【解析】【分析】【详解】如图建立直角坐标系设抛物线方程为将A（2-2）代入得m=-2∴代入B得故水面宽为米故答案为米考点：抛物线的应用

解析：26米 【解析】 【分析】 【详解】

如图建立直角坐标系，设抛物线方程为xmy， 将A（2，-2）代入xmy， 得m=-2，

∴x2y，代入Bx0,3得x06，

222故水面宽为26米，故答案为26米． 考点：抛物线的应用

18．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值

解析：-8 【解析】 试题分析：Q24x2tanx1tan2x1,设ttan2x

2y2t1tt2时成立

2t14t12t12t1242248当且仅当t1考点：函数单调性与最值

19．-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题

解析：-1或2 【解析】 【分析】

根据函数值的正负，由f[f(a)]论，代入解析式，即可求解. 【详解】

当x0时，f(x)0,f[f(a)]10，可得f(a)0，求出f(a)，再对a分类讨210， 211f[f(a)]log4(f(a)),f(a)，

22当a0,f(a)log4a当a0,f(a)2所以a1或a2. 故答案为:1或2. 【点睛】

本题考查求复合函数值，认真审题理解分段函数的解析式，考查分类讨论思想，属于中档题.

a1,a2， 21,a1， 220．【解析】【分析】【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线所以要使对于任意的都有成立解得所以实数的取值范围为【考点】二次函数的性质

2解析：2,0 【解析】 【分析】 【详解】

因为函数f(x)xmx1的图象开口向上的抛物线， 所以要使对于任意的xm,m1都有f(x)0成立，

22f(m)mm102，解得m0， 22f(m1)m1m(m1)1022m所以实数的取值范围为2,0．

【考点】 二次函数的性质．

三、解答题

21．（I）从第三年开始盈利；（II）第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元 【解析】 【分析】 【详解】 (Ⅰ)依题意

前年总收入- 前年的总支出- 投资额72万元,可得

由由于

得

,解得

,所以从第3年开始盈利.

(Ⅱ)年平均利润当且仅当

,即

时等号成立

即第6年, 投资商平均年平均纯利润最大,最大值为16万元 22．（1）f(x)xx1（2）m1 【解析】 【分析】

2（1）设f(x)axbxc(a0)，带入f(x)f(x1)2x和f(0)1，即可求出

2a，b，c的值.

2（2）首先将题意转化为x[1,1]时，x23x1m恒成立，再求出(x3x1)min，

m(x23x1)min即可.

【详解】

2（1）设f(x)axbxc(a0)，

则f(x)f(x1)axbxa(x1)b(x1)2axab， 所以2axab2x，

解得：a1，b1.又f(0)c1， 所以f(x)xx1.

（2）当x[1,1]时，f(x)2xm恒成立， 即当x[1,1]时，x23x1m恒成立. 设g(x)x3x1，x[1,1]. 则g(x)ming(1)1，m1. 【点睛】

本题第一问考查待定系数法求函数的解析式，第二问考查二次函数的恒成立问题，属于中档题. 23．（1）【解析】 【分析】

（1）根据向量数量积的定义及性质即可求解（2）利用平方化简不等式可得

2222（2） 3x22xcos12cos0恒成立，利用判别式求解即可.

【详解】

rr（1）∵ab1，

rr2rurab12ab11，

rr1即ab，

2rr1∴abcos，

2∴3.

rrrr（2）不等式axbab两边平方可得:x22xcos12cos0恒成立，

∴0，即4cos22412cos0，

故cos10， 只能cos1， 而0，

所以. 【点睛】

本题主要考查了向量的数量积定义，性质，不等式恒成立，属于中档题.

1sincos；（2）最小值9，24．（1）S1sincos，S2 4441sincos【解析】 【分析】

（1）在RtABC中，可用,R表示AB,AC，从而可求其面积，利用三角形相似可得

2PS的长度，从而可得S2.

（2）令tsin2，从而可得

S1144t4,t0,1，利用st,t0,1的单S24tt调性可求【详解】

S1的最小值. S2（1）在RtABC中，ABcos,ACsin，所以S1而BC边上的高为

1sincos，0，. 22sincossincos， 1设APS斜边上的为h1，ABC斜边上的高为h2，

PSh1sincosPS因APS:ABC，所以， BCh2sincos2sincossincos故PS，故S2PS2，0，. 1sincos21sincos122sincos1sincos2sin2S12（2）

S2sincos22sincos4sin2，

1sincos2t1t44. S令tsin2,t0,1，则1S24t4t令st24,t0,1，设任意的0t1t21， t则s1s2t1t2t1t240t1t2，故st4,t0,1为减函数， t所以smin5，故【点睛】

S19，此时即. t1S442min直角三角形中的内接正方形的问题，可借助于解直角三角形和相似三角形得到各边与角的

关系，三角函数式的最值问题，可利用三角变换化简再利用三角函数的性质、换元法等可求原三角函数式的最值. 25．（1）{x|1x【解析】 【详解】

试题分析：（1）分x1，1x1，x1三种情况解不等式f(x)g(x)；（2）

117}；（2）[1,1]． 2f(x)g(x)的解集包含[1,1]，等价于当x[1,1]时f(x)2，所以f(1)2且f(1)2，从而可得1a1．

试题解析：（1）当a1时，不等式fxgx等价于xxx1x140.①

2当x1时，①式化为x23x40，无解；

当1x1时，①式化为x2x20，从而1x1； 当x1时，①式化为x2x40，从而1x所以fxgx的解集为{x|1x（2）当x1,1时，gx2.

所以fxgx的解集包含1,1，等价于当x1,1时fx2.

又fx在1,1的最小值必为f1与f1之一，所以f12且f12，得

117. 2117}. 21a1.

所以a的取值范围为1,1.

点睛:形如|xa||xb|c(或c)型的不等式主要有两种解法：

(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,a]，(a,b]，

(b,) (此处设ab)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，

然后取各个不等式解集的并集．

(2)图像法：作出函数y1|xa||xb|和y2c的图像，结合图像求解． 26．（1）π（2）减区间为kπ【解析】 【分析】

ππ,kπ，kZ（3）223 4461利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．

2利用正弦函数的单调性，求得函数fx的单调递减区间．

3利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，求得sinA的值．

【详解】

1函数

π131cos2x31fxcos2xsin2xcos2xsin2xsin2x，

322222故它的最小正周期为

2ππ． 2ππ31sin2x，令2kπ2x2kπ，求得

22222对于函数fxkπππxkπ， 44ππ,kπ，kZ． 44可得它的减区间为kπ3VABC中，若cosB1，sinB3若f1cos2B22． 3π3113CC，，为锐角，． sinCQCsinC322242ππ22113223． cosBsin3332326sinAsinBCsinBcos【点睛】

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，考查了同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．