《信号与系统》综合复习资料

《信号与系统》综合复习资料

一、简答题

1、y(t)ex(0)f(t)f(t)tdf(t)其中x(0)是初始状态，f(t)为激励，y(t)为全响应，试回答该系统dt是否是线性的？

2、已知描述LTI连续系统的框图如图所示，请写出描述系统的微分方程。

f(t)+-∑-∫31+∑-2y(t)2∫

3、若信号f(t)的最高频率为20KHz，则信号f2(t)f(2t)f(3t)的最高频率为___________KHz；若对信号f2(t)进行抽样，则奈奎斯特频率fs为 ____________KHz。

4、设系统的激励为f(t)，系统的零状态响应yzs(t)与激励之间的关系为：yzs(t)f(t)，判断该系统是否是时不变的，并说明理由。

5、已知信号fk2cos由。

6、已知f1kkksin，判断该信号是否为周期信号，如果是，请求其周期，并说明理48k+1 , k0,1,20 , else，f2k1 , k0,1,2,30 , else

设fkf1kf2k，求fk。

7、设系统的激励为f(t)，系统的零状态响应yzs(t)与激励之间的关系为：yzs(k)f(k)*f(k1)，判断该系统是否是线性的，并说明理由。

8、已知描述LTI离散系统的框图如图所示，请写出描述系统的差分方程。

f(k)+-∑-D31+∑y(k)-22D

1,2rad/s9、已知f(t)的频谱函数F(j)，对f(2t)进行均匀抽样的奈奎斯特抽样间隔TN为：

0,2rad/s

_______________s。

10、若信号f(t)的最高频率为20KHz，则信号f(2t)的最高频率为___________KHz；若对信号f(2t)进行抽样，则奈奎斯特频率fs为 ____________KHz。

11、已知描述系统的微分方程为y'(t)sinty(t)f(t)其中f(t)为激励，y(t)为响应，试判断此系统是否为线性的？

12、已知信号f(k)sin由。

3kcosk，判断该信号是否为周期信号；若是则求该信号的周期，并说明理62二、作图题

1、已知f1(k)和f2(k)的波形如图所示，求f1(k)*f2(k).

f2(k)

3

f1(k)

1

-2 -1 0 1 2

2

k -1 0 1 2 k

2、已知f1t、f2t的波形如下图，求ftf1tf2t（可直接画出图形） f1t

1

f2t100

2t1t3、已知信号f(k)的波形如图所示，画出信号f(k2)(k2)的波形。

f(k) 1 -2

0 2 3 k

4、已知函数f1(t)和f2(t)波形如图所示，画出f1(t)*f2(t)波形图。

f1t12f2t2t202202

三、综合题

1、 某线性时不变系统在下述f1(t),f2(t)两种输入情况下，初始状态都相同，已知当激励f1(t)(t)时，系统的全响应y1t3e2tt；当激励f2tt时，系统的全响应y2t2ett；试求该系统的单位冲

激响应ht，写出描述该系统的微分方程。

2、 已知某线性时不变连续系统的阶跃响应为g(t)(1.5e3t0.5et)(t)；当系统的激励为f(t)(2t)(t)，

系统的初始值为y(0)3,y(0)9,求系统的完全响应。

3、 某LTI连续系统，已知当激励为f(t)(t)时，其零状态响应yzs(t)e（1）当输入为冲激函数(t)时的零状态响应； （2）当输入为斜升函数t(t)时的零状态响应。 4、 描述某LTI连续系统的微分方程为

2t(t)。求：

y''t3y't2yt2f't6ft

已知输入

'ftt, 初始状态 y02, y01；

求系统的零输入响应yzi(t)、零状态响应yzs(t)和全响应y(t)。 5、 某一LTI连续系统，已知：

y1tt； f1t2t时，其全响应为 x01，输入 当起始状态

y2t3et， 当起始状态 x02，输入 f2tt时，其全响应为

2t求该系统的冲激响应。

s2s16、 已知某LTI连续系统的系统函数Hs2，求：

s3s2（1）系统的冲激响应ht；

（2）当激励f(t)(t)，初始状态y(0)1 , y'01时系统的零输入响应yzit 和零状态响应

yzst。

7、某LTI系统在下述f1(t),f2(t)两种输入情况下，初始状态都相同，已知当激励f1(t)(t) 时，系统的全响应y1(t)(t)e(t)；当激励f2tt时，系统的全响应y2(t)3e(t)；

tt2t求：当激励为f3(t)e(t)时系统的全响应。

8、 已知某LTI系统的冲激响应h(t)(t)(e3e（1）系统的系统函数H(s)； （2）求当激励fte3tt2t)(t)，求

t y(0)1 y'01时系统的零输入响应yzit 和零状态响应yzst。

参

一、简答题

1、y(t)ex(0)f(t)f(t)tdf(t) dt其中x(0)是初始状态，f(t)为激励，y(t)为全响应，试回答该系统是否是线性的？ 解：由于无法区分零输入响应和零状态响应，因而系统为非线性的。

2、已知描述LTI连续系统的框图如图所示，请写出描述系统的微分方程。

f(t)+-∑-∫31+∑-2y(t)2∫

解：由于输入输入之间无直接联系，设中间变量x(t)如图所示,则各积分器的的输入信号分别如图所示。由加法器的输入输出列些方程：

左边加法器：x(t)f(t)2x(t)3x(t) （1） 右边加法器：y(t)x(t)2x(t) （2） 由（1）式整理得到：x(t)3x(t)2x(t)f(t) （3） 消去中间变量x(t): 2y(t)2[x(t)2x(t)] (4) 3y(t)3[x(t)2x(t)]' (5)

y(t)[x(t)2x(t)] (6)

将(4)(5)(6)左右两边同时相加可得：

y(t)3y(t)2y(t)[x(t)2x'(t)]3[x(t)2x(t)]2[x(t)2x(t)]

整理可得到：

y(t)3y(t)2y(t)f(t)2f(t)

3、 若信号f(t)的最高频率为20KHz，则信号f2(t)f(2t)f(3t)的最高频率为___________KHz；若对信号

f2(t)进行抽样，则奈奎斯特频率fs为 ____________KHz。

解：本题目主要考查的是取样定理的条件：

f(2t)11F(j) f(3t)F(j) 2233因而：f(2t)的最高频率为40KHz，f(3t)的最高频率为60KHz

f2(t)f(2t)f(3t)的最高频率为两个分信号最高频率，为60KHz，

若对信号f2(t)进行抽样，奈奎斯特频率fs2f2m120KHz

4、 设系统的激励为f(t)，系统的零状态响应yzs(t)与激励之间的关系为：yzs(t)f(t)，判断该系统是否是时不变的，并说明理由。

解：设f1(t)f(tt0)，若系统为时不变的，则必有结论yzs1yzs(tt0)。根据题意，由f1(t)作用于系统的零状态响应为：yzs1(t)f1(tt0)，根据信号的基本运算，

yzs1(t)f1(tt0)f(tt0)，很明显，yzs1yzs(tt0)，因而系统为时变的。

5、 已知信号fk2cos解：设f1(k)2cos(设f2(k)sin(kk sin，判断该信号是否为周期信号，如果是，请求其周期，并说明理由。

48k)，则其周期T18； 4k)，则其周期T216；T1和T2的最小公倍数为16，因而f(k)为周期信号，其周期为16. 86、 已知f1kk+1 , k0,1,20 , else，f2k1 , k0,1,2,30 , else

设fkf1kf2k，求fk。

1,k03,k16,k2,3解：根据列表法，f(k)

5,k43,k50,else7、 设系统的激励为f(t)，系统的零状态响应yzs(t)与激励之间的关系为：yzs(k)f(k)*f(k1)，判断该系统是否是线性的，并说明理由。

解：系统为非线性的。因为表达式中出现了f(k)的二次方。

8、 已知描述LTI离散系统的框图如图所示，请写出描述系统的差分方程。

f(k)+-∑-D31+∑y(k)-22D

解：该系统是一个二阶离散系统。由于有两个加法器，因而输入与输出之间的联系被割断，必须设定中间变量，

x(k),位置如图所示，各个延迟单元的输入如图所示，根据加法器列写方程：

左边加法器：f(k)2x(k-2)3x(k1)x(k)

整理可得：x(k)3x(k1)2x(k-2)f(k) （1） 右边加法器：y(k)x(k)2x(k1) （2） 由（1）（2）两式，消去中间变量可得：

y(k)3y(k1)2y(k-2)f(k)2f(k1)

9、已知f(t)的频谱函数F(j)_______________s。 答案：

1,2rad/s，对f(2t)进行均匀抽样的奈奎斯特抽样间隔TN为：

0,2rad/s 410、已知描述系统的微分方程为y'(t)sinty(t)f(t)其中f(t)为激励，y(t)为响应，试判断此系统是否为线性的？

解：系统为线性的。因为微分方程是关于y(t)f(t)及其导数的一次式。 11、 已知信号f(k)sin解：解：设f1(k)sin设f2(k)sin3 kcosk，判断该信号是否为周期信号；若是则求该信号的周期，并说明理由。

626k，其周期为T112；

34k，其周期为T2； 23二者的最小公倍数为12，因而信号为周期信号，其周期为T12.

12、 若信号f(t)的最高频率为20KHz，则信号f(2t)的最高频率为___________KHz；若对信号f(2t)进行抽样，则奈奎斯特频率fs为 ____________KHz。 解：答案为40，80;

二、作图题

1、已知f1(k)和f2(k)的波形如图所示，求f1(k)*f2(k).

f2(k)

3

f1(k)

1

-2 -1 0 1 2

2

k -1 0 1 2 k

解：根据f1(k)、f2(k)的图形可知，它们为有限长序列，可分别表示为：

f1(k)(k2)(k3)

f2(k)3(k)2(k1)(k2)

则：f1(k)*f2(k)[(k2)(k2)][3(k)2(k1)(k2)] 由冲激序列函数的性质可得到：

f1(k)*f2(k)[3(k2)3(k3)][2(k1)2(k4)][(k)(k5)]

f1(k)

1

-2 -1 0 1 2 3 4 5

图形如图所示：

k

3,k2,35,k1表达式为：f(k)6,k0,1,2

1,k40,其他

2、已知f1t、f2t的波形如下图，求ftf1tf2t（可直接画出图形） f1tf2t

11

t0021

解：解：本题可以利用图解的方法，也可以利用卷积公式法来进行计算。

卷积公式法： f1(t)(t)(t2)

tf2(t)(t)(t1)

f(t)f1(t)*f2(t)f(t)f1()f2(t)d

f1()f2(t)d[()(2)][(t)(t1)]d

f(t)()(t)d()(t1)d(2)(t)d(2)(t1)d

利用阶跃函数的性质对上面的式子进行化简：

f(t)dddd0022tt1tt1

t(t)(t1)(t1)(t2)(t2)(t3)(t3)f(t)t[(t)(t1)][(t1)(t2)](t3)[(t2)(t3)]

根据上面的表达式，可以画出图形：

f(t) 1 0 1 2 3 t

3、已知信号f(k)的波形如图所示，画出信号f(k2)(k2)的波形。

f(k) 1 -2 0 2 3 k f(k) 1 -2

解：

0 2 3 k f(k+2) 1 左移2个单位-4 -2 0 1 k (k)

1

1

(k2)



0 1

2

3

k

右移2个单位 0

2

3

4



k

(k2)

1



翻转-4 -3 -2 0 k

再根据信号乘积，可以得到f(k2)(k2)的波形：

1 -4 -3 -2 2 0 k

4、已知函数f1(t)和f2(t)波形如图所示，画出f1(t)*f2(t)波形图。

f1t12f2t2t202202

解：从图上可以看出，f2(t)(t2)(t2) 所以f1(t)*f2(t)f1(t2)f1(t2)即:

分别将f1(t)分别向左和向右移动两个单位的和信号。

f1(t)*f2t22t202

三、综合题

1、 某线性时不变系统在下述f1(t),f2(t)两种输入情况下，初始状态都相同，已知当激励f1(t)(t)时，系统的全响应y1t3e2tt；当激励f2tt时，系统的全响应y2t2ett；试求该系统的单位冲激

响应ht，写出描述该系统的微分方程。

解： 解：该题目主要考察的知识点：线性时不变系统的性质，单位冲激响应的定义，零输入响应和零状态响应的定义，以及单位冲激响应与零状态响应的关系。

（1）由于系统为线性时不变的，因而满足分解特性。即y(t)yzi(t)yzs(t)。

yzs(t)h(t)*f(t)

所以：y(t)yzi(t)h(t)*f(t) 根据已知条件可列写方程：

y1(t)yzi1(t)h(t)*f1(t) y2(t)yzi2(t)h(t)*f2(t)

yzi1(t)yzi2(t)yzi(t) 由于系统在f1(t),f2(t)两种输入情况下，初始状态都相同，因而根据零输入响应的定义，

'又由于f1(t)(t)，f2tt，则由线性时不变系统的微积分特性可得：yzs1(t)yzs2(t)yzs(t)

所以上述方程可写为：

y1(t)yzi(t)h(t) y2(t)yzi(t)h(1)(t)

求解该方程组，直接利用时域求解比较繁琐一些，我们可以利用s域分析方法求解： 将上述方程组转换到s域：

Y1(s)Yzi(s)H(s)H(s) （1） Y2(s)Yzi(s)s3 s22 y2t2ettY2(s)s1y1t3e2ttY1(s)解方程组（1）可得：Y1(s)Y2(s)H(s)(1) 所以

1s32)()Y1(s)Y2(s)3s2s21s2s1H(s)(11/s)(s1)/s(s1)(s2)(s1)(s1)s2s1(

Yzi(s)Y1(s)H(s)11t2t yzi(t)(ee)(t) s2s1取H(s)的拉普拉斯反变换可得系统的单位冲激响应h(t)：

h(t)(2e2tet)(t)

根据H(s)的定义，可得：H(s)Y(s)s F(s)(s2)(s1)

所以: (s2)(s1)Y(s)sF(s)即：

(s23s2)Y(s)sF(s)

取拉普拉斯反变换可得描述系统的微分方程为：

y(t)3y(t)2y(t)f(t)

2、 已知某线性时不变连续系统的阶跃响应为g(t)(1.5e3t0.5et)(t)；当系统的激励为f(t)(2t)(t)，

系统的初始值为y(0)3,y(0)9,求系统的完全响应。 解：由于系统的阶跃响应为g(t)(1.5e3t0.5et)(t)，根据阶跃响应与冲激响应h(t)的关系 可得：

h(t)g(t)(1.5e3t0.5et)(t)(4.5e3t0.5et)(t)(t)4.5e3t(t)0.5et(t)

4.50.5s22将其转化到s域，可得：H(s)1 s3s1s3s4则描述系统的方程为：y(t)4y(t)3y(t)f(t) 并将已知输入转化到s域: F(s)212 ss2s21则，系统的零状态响应的象函数为：Yzs(s)

s(s1)(s3)(s1)(s3)整理可得：Yzs(s)1151 2s12s3t3t取拉式反变换可得：yzs(t)(0.5e2.5e)(t)

t3ty)(t)(0.5et2.5e3t)(t)zs(t)(0.5e7.5e (0.5e7.5e)(t)2(t)从而：yzs(0)2,yzs(0)5

t3t

yzi(0)yzi(0)y(0)yzs(0)321,所以：

y(0)y(0)y(0)y(0)9(5)4zizizs因为描述系统的微分方程为：y(t)4y(t)3y(t)f(t)

所以Yzi(s)syzi(0)ys83.52.5zi(0)4yzi(0) (s1)(s3)(s1)(s3)s1s3t3t所以yzi(t)(3.5e2.5e)(t)

所以系统的全响应为：

y(t)yzi(t)yzs(t)3et(t)

3、 某LTI连续系统，已知当激励为f(t)(t)时，其零状态响应yzs(t)e数(t)时的零状态响应；

（2）当输入为斜升函数t(t)时的零状态响应。 解：根据零状态响应的定义由：

2t(t)。求：（1）当输入为冲激函

yzs(t)f(t)*h(t)

转换到s域，可得：Yzs(s)F(s)H(s) 将已知的输入输出转换到s域，并代入，可得：

112t yzs(t)e(t) ss21Y(s)s2s22tH(s)zs1，所以h(t)(t)2e(t)

1F(s)s2s2sf(t)(t)2t所以当输入为(t)时，yzs(t)h(t)(t)2e(t)

当输入为斜升函数t(t)时的零状态响应转换到s域：Yzs(s)所以yzs(t)(yzs(t)f(t)*h(t)t(t)*h(t)

1s11111 2ss2s(s2)2s2s21212te)(t) 2Ms2s753 Yzis2Ass3s2s1s2t2tyzstL1Ys34ee t zst2tyzitL1Ys5e3e t ziytyzityzst3et2e2t t

4、 描述某LTI连续系统的微分方程为

y''t3y't2yt2f't6ft

已知输入

'ftt, 初始状态 y02, y01；

求系统的零输入响应yzi(t)、零状态响应yzs(t)和全响应y(t)。

解：对微分方程取拉普拉斯变换，有

s2Yssy0y'03sYs3y02Ys 2sFs6Fs

整理得

s

2'3s2Yssy0y03y02s6Fs

Yzss 5、

Bs2s61341 Fs2Ass3s2sss1s2某一LTI连续系统，已知：

y1tt； f1t2t时，其全响应为 当起始状态 x01，输入 y2t3et， 当起始状态 x02，输入 f2tt时，其全响应为

2t求该系统的冲激响应。

解：该系统考察的是LTI系统的性质：线性性质。

设由x01单独作用于系统所引起的零输入响应为：yzi(t)； 则由x02单独作用于系统所引起的零输入响应为：2yzi(t)； 设系统的单位冲激响应为h(t)，根据已知可列写方程：

yzi(t)h(t)*f1(t)y1(t) 2yzi(t)h(t)*f2(t)y2(t)

将输入输出代入：

yzi(t)h(t)*2(t)(t) 2yzi(t)h(t)*(t)3e2t(t)

将方程转换到s域，可得：

Yzi(s)H(s)21 ss32Yzi(s)H(s)

s21

(s2)解之得：H(s)Yzi(s)1

(s2)2t所以h(t)e(t)

s2s16、 ] 已知某LTI连续系统的系统函数Hs2，求：

s3s2

（1）系统的冲激响应ht；

（2）当激励f(t)(t)，初始状态y(0)1 , y'01时系统的零输入响应yzit 和零状态响应yzst。

s2s12s112解：（1）因为Hs2，利用部分分式展开，可得：

s3s2s3s2Hs12s12s1131311()1 2(s1)(s2)s1s2s1s2s3s2t取拉普拉斯逆变换，可得：h(t)(t)(e3e2t)(t)

Y(s)s2s1s2s12（2）因为Hs2，根据H(s)： Hs F(s)s3s2s3s2(s23s2)Y(s)(s2s1)F(s)

则描述系统的微分方程可写为：y(t)3y(t)2y(t)f(t)f(t)f(t)

'''yzi(t)3yzi(t)2yzi(t)0 yzit 满足方程：''yzi(0)y(0)yzi(0),yzi(0)y(0)yzi(0)将方程转换到s域，可得：

'(s2Yzi(s)syzi(0_)yzi(0_)3(sYzi(s)yzi(0_))2Yzi(s)0

整理可得：

'syzi(0)yzi(0)3yzi(0)Yzi(s) 2s3s2将初始状态代入可得：

Yzi(s)s423 s23s2s2s12t取拉普拉斯逆变换，可得系统的零输入响应为：yzi(t)(2e3et)(t)

yzs(t)h(t)*f(t)，所以：

Yzs(s)H(s)F(s)(1整理可得：

131113) s1s2sss(s1)s(s2)111313111131 sss12s2s22ss12s2132tt取拉普拉斯逆变换可得系统的零状态响应为：yzs(t)(ee)(t)

22Yzs(s)7、 某LTI系统在下述f1(t),f2(t)两种输入情况下，初始状态都相同，已知当激励f1(t)(t)时，系统的全响

应y1(t)(t)e(t)；当激励f2tt时，系统的全响应y2(t)3e(t)；

tt2t求：当激励为f3(t)e(t)时系统的全响应。

解：由于初始状态相同，因而作用于系统引起的零输入响应相同，设为yzi(t)，同时设系统的单位冲激响应为：

h(t)。根据题意有：

y)h(t)(t)(t)etzi(t(t)y3e(t) tzi(t)h(t)(t)转换到s域，可得：

Y1zi(s)H(s)1s1 Yzi(s)H(s)13ss1解得：H(s)ss1 Yzi(s)2s1 将输入f2t(t)转换到s域，得F13(t)e3(s)s2 此时s域系统的全响应为Y3(s)Y1zi(s)s2H(s)

将已求的结果代入到上式，可得：

Y3(s)2s11ss2s11s12s2 取拉氏逆变换可得：yt)(et2t3(2e)(t)

8、 已知某LTI系统的冲激响应h(t)(t)(et3e2t)(t)，求

（1）系统的系统函数H(s)； （2）求当激励fte3tt y(0)1 y'01时系统的零输入响应yzit解（1）因为h(t)H(s)而h(t)(t)(et3e2t)(t)

两边同时取拉普拉斯变换，可得：

H(s)113(s1)(s2)(s2)3(ss1s21)(s1)(s2) 整理可得：H(s)(s1)(s2)(s2)3(s1)s2(s1)(s2)s1s23s2

和零状态响应yzst。

s2s1Y(s)（2）根据系统函数的定义：H(s)而H(s)2

F(s)s3s2Y(s)s2s12所以： F(s)s3s2(s23s2)Y(s)(s2s1)F(s)

两边同时取拉普拉斯逆变换，可得描述系统的微分方程为：

y(t)3y(t)2y(t)f(t)f(t)f(t)

而零输入响应yzi(t)满足如下方程

'''yzi(t)3yzi(t)2yzi(t)0

'和初始状态：yzi(0)y(0)yzi(0)y(0)

对方程两边同时取拉普拉斯变换，可得：

'(s2Yzi(s)syzi(0_)yzi(0_)3(sYzi(s)yzi(0_))2Yzi(s)0

整理可得：

'syzi(0)yzi(0)3yzi(0)Yzi(s) 2s3s2将初始状态代入可得：Yzi(s)s423 2s3s2s2s12t取拉普拉斯逆变换，可得系统的零输入响应为：yzi(t)(2e3et)(t)

yzs(t)h(t)*f(t)，所以：

Yzs(s)H(s)F(s)(1整理可得：

131113) s1s2s3s3(s3)(s1)(s3)(s2)11113371322 Yzs(s)2s3s3s1s2s32s3s1s2取拉普拉斯逆变换可得系统的零状态响应为：yzs(t)(e

12t73e2te3t)(t)

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