2021年专升本高数一试卷及答案

2009年浙江省普通高校《高等数学（一）》试卷

题 号 得 分

考试说明：

1、考试时间为150分钟； 2、满分为150分；

3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效； 4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求.本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）

1函数y1xarccos 得分 阅卷人 一 二 三 四 总 分 x1的定义域是 （ ） 2A.x1 B.3,1

C.xx13x1 D.3x1.

2.极限limsin3x等于 ( )

xx1A.0 B.

3C.3 D.1.

1dx的是 ( ) xlnxA.xlnxc B.ylnlnxc 12lnxlnxc D.c. 2x

3.下列函数中,微分等于

C.

4.d1cosx （ ）

A.1cosx B.cosxc

C.xsinxc D.sinxc. x2y25.方程z22表示的二次曲面是（超纲，去掉） ( )

abA.椭球面 B.圆锥面

C.椭圆抛物面 D.柱面.

二.填空题(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程, 本题共有10个小题，每小题4分,共40分)

得分 阅卷人 x2x61.lim x2_______________.x24

x0ex, 2.设函数fx 在点x0处连续,则

x0ax,

a________________.

3.设函数yxex,则y''0__________________.

4.函数ysinxx在区间0,上的最大值是_____________________. 5.sin 6.

7.设Fx

 1dx_______________________.4 aaxfxfxdx____________________________.

x xftdt,其中ft是连续函数，  axaFx_________________. 则limxa

8.设a3ij2k, bi2jk,则ab____________________.

9.设z2xy,则 10.设D x,y0x1,1y1,则dxdy_____________________.（超纲，去掉）

Dyz（超纲，去掉） x0,1____________________________.三.计算题( 本题共有10个小题，每小题6分,共60分)

exex. 1.计算limx0x

2.设函数y

得分 阅卷人 x1x2,求dy.

exdx. 3.计算1ex

t2dyx 0sinudu. 4.设,求

2dxycost

5.计算

  dx. 2x2x2 -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- ：---号---证---考---准---- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- ：---名---姓---_--_--_-_--_--_--_-_--_--__线6. 设曲线yfx在原点与曲线ysinx相切,求limf2nnn

7.求微分方程y'tanxy3满足初值条件y20的特解. .

8.设zzx,y是由方程x2y2z24z所确定的隐函数,求

zx.（超纲，去掉） 9.求sinx2y2dxdy,其中区域Dx,y2x2y242.（超纲，去掉）D

10.求幂级数12nnx1的收敛域. n13

四.综合题(本题有3个小题，共30分,其中第1题14分，第2题8分，第3题8分) 1.求函数yx1的单调区间,极值及其图形的凹凸区2x得分 阅卷人 间. (本题14分)

2.设fx在0,1上可导,f00,f11,且fx不恒等于x,

求证：存在0,1使得f'1. (本题8分)

23.设曲线yxx2与y轴交于点P,过P点作该曲线的切线,求切线与该曲线及x轴围成的区域绕x轴旋转生成的旋转体的体积. (本题8分)

2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》

参及评分标准

一. 选择题(每小题4分,共20分)

1.D , 2.A , 3.B , 4.B , 5.C . （超纲，去掉） 二. 填空题(每小题4分,共40分) 1.

5 , 2.1 , 3.2 , 4.0 , 5.sin1xc , 446.0 , 7.afa , 8.3 , 9.2 , （超纲，去掉） 10.2 . （超纲，去掉） 三. 计算题(每小题6分,共60分) 1. 解

5分

.

exexexexlimlim x0x0x12.6分

1x2.

5分

故

6分

3.

解3分

.

原

式

=

解

.

2x21x221y'1x1x322322,

dydx 1+x.

d1ex1ex

ln1exc.6分

4.

3分

解

法

1.

dydydt dxdxdt2tsint22t.sint26分

解

法4分 故6分

2.

因

为

dxsint2dt,dy2tsint2dt，

dy2t. dx5.解3分 =5分 =6分

.原式

d1x11x2

arctan1x

.

由

条

件

推

得

6.解. 2分

f'00,f11.

12于是

2ff0n2 limnflim2nn2n0n（第1页，共3页）

5分

=6分

注：若按下述方法： 原式2f'02.

fxf'x2lim2lim2. x0x0x11212解答者，只给4分. 7.解法1.分离变量,得到 分

积分得到ln3ylnsinxc

dycotxdx, 3y2

c3 c. sinx代入初值条件y0,得到c3.于是特解为

233. ysinx或 y6分

pxdxpxdxqxedxc, 解法2.由ye4分

13,qx其中px，得到 tanxtanxcy3 c.

sinx4

分

代入初值条件y0,得到c3.于是特解为 2y33.sinxzz4, xx6

6分

8.解.方程两边对x求偏导数,得到（超纲，去掉） 2x2z4分

故分

9（超纲，去掉）解原式 =5分 =6分

zx. x2z 2 0d 2 rsinrdr3分

222rcosrcosrdr  62.

3n1a10.解.由limn1limnann 收

4分

敛

1x2n1x2n113n1x2,可知 3半

径

R3,

又当x3时,对应数项级数的一般项为 故该级数的收敛域为3,3. 分

（第2页，共3页）

四. 综合题(第1小题14分,第2小题8分, 第3小题8分，共30分) 1.解.定义域,00,,

1,级数均发散, 36

2x3x2, y'3,y\"xx4 令y'0,得驻点x12,

分 令

6分 5

y\"0,得

x23,

x y' ,3   3 3,2  2 2,0   0 0,  0 y\" 0   y 2 91 4 10分 函数的单调增加区间为2,0,单调减少区间为,2及0,,

1. 4其图形的凹区间为(3,0)及0,,凸区间为,3.

在x2处,有极小值分

14

2.证明.由于fx不恒等于x,故存在x00,1,使得fx0x0.

2分

如果fx0x0,根据拉格朗日定理,存在0,x0,使得 f'()5分

若fx0x0,根据拉格朗日定理,存在x0,1,使得 f'8分

注：在“

2分”后，即写“利用微分中值定理可证得，必存在，使得f'1”

者共得3分.

3.解.P点处该曲线的切线方程为yx2,

且

与2分

曲线与x轴的交点B1,0和C2,0,因此区域由直线PA和AB及曲线弧

f(x0)f(0)x01x00x0 ，

f1fx01x011x01x0.

x轴的交于点

A2,0

PB所围成.

4分

该区域绕x旋转生成的旋转体的体积

028292 Vxx2dx 1330.

8分

注：若计算由直线PA与AC及曲线弧PC所围成

228136Vx2x2dx

0315，从而

者得6分.