2020年高考数学 考点49 随机事件的概率、古典概型、几何概型

一、选择题

1.（2020·湖北高考理科·Ｔ8）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）

A. 12 B.

1121 C. D. 2【解题指南】本题考查几何概型，解答的关键是充分利用图形的特征，求出阴影部分的面积，再带入概率公式求解. 【解析】选

A. 设

OA=2, 则扇形

OAB

面积为π.阴影部分的面积为:

11112()2[()2]2p4242可知结果. ,由

2.（2020·湖北高考文科·Ｔ10）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）

A.

11122 B. C. 1 D.

2【解题指南】本题考查几何概型，解答的关键是充分利用图形的特征，求出阴影部分的面积，再带入概率公式求解. 【解析】选

C. 设

OA=2, 则扇形

OAB

面积为π.阴影部分的面积为:

11112()2[()2]2p4242可知结果. ,由

3.（2020·北京高考文科·Ｔ3）与（2020·北京高考理科·Ｔ2）相同

0x20y2，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2

设不等式组的概率是（ ）

24（A）4 （B）2 （C）6 （D）4

【解题指南】分别求出平面区域D及到原点距离大于2的点所对应区域的面积，作比即可求出概率. 【解析】选D.平面区域D的面积为4，到原点距离大于2的点位于图中阴影部分所示，其面积为4-，所

4以概率为4.

y2O2x

4.（2020·辽宁高考文科·Ｔ11）在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm的概率为( )

2

1124 (A) 6 (B) 3 (C) 3 (D) 5

【解题指南】设其中一段长为xcm，则另一段长为(12x)cm，其中0x12cm， 利用x(12x)20求得x的取值范围，利用几何概型求得概率.

【解析】选C. 设其中一段AC长为xcm，则另一段BC长为(12x)cm，其中0x12cm

82x(12x)202x10123. 由题意，则点C的取值长度8cm，故概率为

5.（2020·辽宁高考理科·Ｔ10）在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm的概率为（ ）

2

1124(A) 6 (B) 3 (C) 3 (D) 5

【解题指南】设其中一段长为xcm，则另一段长为(12x)cm，其中0x12cm， 利用x(12x)32求得x的取值范围，利用几何概型求得概率.

【解析】选C. 设其中一段AC长为xcm，则另一段BC长为(12x)cm，其中0x12cm

82x(12x)320x4或8x12123. 由题意，则点C的选取的长度4+4=8cm，故概率为

6.（2020·安徽高考文科·Ｔ10）袋有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )

1234（A）5 （B）5 （C）5 （D）5

【解题指南】将所有结果一一列出，根据古典概型即可求出两球颜色为一白一黑的概率. 【解析】选B.1个红球，2个白球和3个黑球记为

a1,b1,b2,c1,c2,c3

a1,b1;a1,b2;a1,c1;a1,c2;a1,c3;b1,b2;b1,c1;b1,c2;b1,c3从袋中任取两球共有

b2,c1;b2,c2;b2,c3;c1,c2;c1,c3;c2,c315种；

626155. 满足两球颜色为一白一黑有种，概率等于

二、填空题

7. （2020·江苏高考·Ｔ6）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 .

【解题指南】从等比数列的通项公式和等可能事件的概率，两方面处理.

2345671,3,(3),(3),(3),(3),(3),(3),(3),(3)【解析】这十个数是，所以它小于8的概率等于

63105. 3【答案】5.

8.（2020·浙江高考文科·Ｔ12）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，

2则该两点间的距离为2的概率是___________.

2【解题指南】古典概型问题, 该两点间的距离为2的情况可列举得出.

1C44222C105.

【解析】若使两点间的距离为2，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为52【答案】5.

9.（2020·新课标全国高考理科·T15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态

250分布N（1000，），且各个元件能否正常相互，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为

【解题指南】由正态分布的意义求得三个元件使用寿命超过1000小时的概率，然后将部件的使用寿命超过1000小时的可能情况列出，利用相互事件的概率公式求解.

【解析】设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A，B，C，显然

PAPBPC12

该部件的使用寿命超过1000的事件为

ABABABC，

11111113p22222228. 该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

3【答案】8.

三、解答题

10.（2020·江西高考文科·Ｔ18）如图所示，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0,1,0,）B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点.

（1）求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； （2）求这3点与原点O共面的概率.

【解题指南】把从6个点中取3个点的情况全部列举出来，然后找出（1）（2）情况中所包含的基本事件的个数，然后把比值求出得所求概率.

【解析】从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：

x轴上取2个点的有A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2，共4种

y轴上取2个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4种

z轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2共4种

所选取的3个点有不同坐标轴上有

A1B1C1,A1B1C2,A1B2C1,A1B2C2，

A2B1C1,A2B1C2，

A2B2C1

A2B2C2共8种.因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种.

（1）选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：

A1B1C1,A2B2C2，共2种，

因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为（2）选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有：

p1212010 .

A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,B1B2A1,B1B2A212种，因此，这3个点与原点O共面的概率为

，

B1B2C1,B1B2C2,C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2，共

p2123205.

11.（2020·山东高考文科·Ｔ18）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.

(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；

(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

【解题指南】（I）本题考查古典概型，要将基本事件都列出，然后找两张卡片颜色不同且标号之和小于4所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.（II）再放入一张标号为0的绿色卡片，列出基本事件，然后找出这两张卡片颜色不同且标号之和小于4所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.

【解析】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和

小于4的有3种情况，故所求的概率为

P310.

(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4

8P15. 的有8种情况，所以概率为

12.（2020·天津高考文科·Ｔ15）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查. （I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.

（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， （1）列出所有可能的抽取结果； （2）求抽取的2所学校均为小学的概率.

【解题指南】按抽取的比例计算抽取的学校数目；用列举法、古典概率公式计算概率. 【解析】（I）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.

（II）（1）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为

所

大

学

记

为

A1,A2,A3校

的

，2所这中学分别记为所

有

可

能

结

A4,A5果

，1为，

A6，则抽取2所学

{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6}，

{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6}，

{A4,A5},{A4,A6}{A5,A6}，共15种.

（2）从这6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B）的所有可能结果为

31P(B)=={A1,A2},{A1,A3},{A2,A3}155. ，共3种，所有

13. （2020·新课标全国高考文科·Ｔ18）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式.

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 (1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； (2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利

润不少于75元的概率.

【解题指南】（I）根据题意建立利润与需求量的分段函数；

（II）（1）由表中数据，每一段上的（天数利润）求和后再取平均值，即得平均数；（2）通过表格求得各段上的频率，然后利用互斥事件的概率加法公式求得不少于75元的概率. 【解析】(I)当日需求理n17时,利润y85. 当日需求量n17时,利润y10n85. 所以y关于n的函数解析式为

10n85, n17y85, n17 nN.

(II)(1)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元.16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的日利润的平均数为

1551065207516855476.4100.

(2)利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝,故当天的利润不少于75元的概率为

p0.160.160.150.130.10.7.

14.（2020·陕西高考文科·Ｔ19）（本小题满分12分）

假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；

（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率. 【解题指南】根据频率分布直方图中的数据和其他已知数据计算有关频率作为概率的估计值.

52011004，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿【解析】（Ⅰ）甲品牌产品寿命小于200小时的频率为1命小于200小时的概率为4.

（Ⅱ）根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75+70=145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本

751514529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是15产品是甲品牌的概率为29.

15.（2012·福建高考文科·Ｔ17） (本小题满分12分) 在等差数列（Ⅰ）求

{an}和

和等比数列；

和

{bn}中，

a1b11，

b48，

{an}的前10项和

s1055．

anbn（Ⅱ）现分别从率．

{an}{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概

【解题指南】本题主要考查等差数列、等比数列、古典数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、必然与或然思想． 【解析】（Ⅰ）设

{an}的公差为d，

{bn}的公比为q．依题意得

S1010109d55bq382，4

解得d1，q2， 所以

ann，

bn2n1和

．

的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：

（Ⅱ）分别从

{an}{bn}(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)

符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．

P故所求的概率

29.