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立体几何备考指导
立体几何备考指导 立体几何是高考的重点内容之一.从近几年高考试卷来看，题量最少的也要有一大一小两道题.一道大题是整套试卷得分高低的关键，一般考查线面的平行与垂直，角度和距离的计算.本文就通过对六例高考题的分析，对立体几何的备考谈一些粗浅的建议，供大家参考. 一、线线，线面，面面位置关系问题 立体几何知识建立在四个公理的体系之上，因此，在复习时应先整理归纳，把空间线面位置关系一体化，理解和掌握线线，线面，面面平行和垂直的判定与性质，形成熟练的转化推理能力.具体来说，可分为四大块：①平面的基本性质（四个公理）；②线线，线面，面面的平行与垂直；③夹角；④常见的几何体和球.根据每部分内容，先理解记熟，明确条件和结论，掌握用法和用途，再通过典型例题总结解题方法，并进行强化训练. 高*考*资+源-网 例1 （天津•文） 是空间两条不同直线， 是空间两个不同平面，下面有四个命题： ① ； ② ； ③ ； ④ . 其中真命题的编号是_____.（写出所有真命题的编号）
解：如图1， ，过A在平面 内作 ， ∵ ，从而m⊥n，故①对. ②错，如图1，n可能会平移至 内. ③错，如图2，n可能会在 内. ④对，两条平行直线中的一条垂直两平行平面的一个，则另一条也垂直于另一个平面. 其中真命题的编号是①④. 点评：线线，线面，面面垂直与平行的判定和性质定理，是解决此类问题的依据，实物的演示，构造特例法是常用方法！ 二、空间角与空间距离问题 空间角与距离问题，难度可大可小，主观，客观题都有，是高考的必考内容，复习过程中要多加训练，熟练掌握，达到炉火纯青的程度. 例2 （安徽•文）平行四边形的一个顶点A在平面 内，其余顶点在 的同侧，已知其中有两个顶点到 的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面 的距离可能是：①1；②2；③3；④4. 以上结论正确的为_____.（写出所有正确结论的编号） （安徽•理）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相 邻的.如图3，正方体的一个顶点A在平面 内，其余顶点在 的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到 的距离分别为 1，2和
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4.Ｐ是正方体的其余四个顶点的一个，则Ｐ到平面 的 距离可能是： ①3；②4；③5；④6；⑤7. 以上结论正确的为_____.（写出所有正确结论的编号） 解：（文）①③.如果已知两点与顶点A相邻，则剩下的一个顶点（平行四边形的与A在一条对角线上的顶点）到平面 的距离必定是3；如果已知两点有一个与顶点A不相邻，则剩下的一个顶点到平面 的距离只能是1. （理）①③④⑤.在2－A－1，1－A－4，2－A－4分别对应距离为3，5，6，在3－A－4中对应距离是7，所以选①③④⑤. 点评：从上面解答看，文科试题涉及两类问题（借用理科试题中的定义，与顶点A相邻或不相邻），需要分类讨论，如果已知两顶点与顶点A相邻时，平行四边形的两条对角线都不与平面 平行，所求距离必定是3；如果已知两顶点有一个与顶点A不相邻，则平行四边形的一条对角线与平面 平行，所求距离只能是1.解决了文科试题将平行四边形特殊化为正方形，再分别使已知两顶点与顶点A相邻，可得到2－A－1，1－A－4，2－A－4，3－A－4组合，对应距离可轻而易举地写出来. 三、简单几何体的组合问题 高考题中，常出现将两种简单几何体组合起来进行考查的题型.如正方体，长方体或棱锥内接于一个球；一个球内切于正方体，正四面体；几个球堆垒在一起等.解答这类题，有时直观图是很难画的，我们可以通过思考加工后画出对我们解题有帮助的，容易画出来的立体图或者截面图即可. 例3 （湖南卷）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图4所示，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）. （A） （B） （C） （D）
解：先画出立体图形如图5所示，注意到截面有两点在大圆上，所以截面过四面体的一条棱（不妨设为AB），又截面过球心，于是，截面过棱CD的中点.从而可知，截面为等腰三角形，该三角形底边是四面体的棱，长为2，两腰是四面体表面三角形的高，长为 .故答案为（C）. 点评：本题以截面形式考查空间能力.求解关键是要理清截面图形与原几何体的位置关系，然后利用面积公式求解.如果没有抓住图形特征，一味地设法求球的半径容易陷入困境. 四、折叠与展开问题 平面图形的折叠问题是高考的老话题，解答这类
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题应抓住折叠前后两个图形中相关元素之间的大小或者位置关系.对折叠前后未发生变化的量应放在折叠前的图形中进行计算，这样做显得直观易懂.求解空间几何体两个或几个侧面上的折线长之和的最小值，其方法是将侧面展开成平面图形. 1.折叠问题 例4 （山东卷）如图6，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，则三棱锥 P－DCE的外接球的体积为（ ）. （A） （B） （C） （D） 解：折叠后形成棱长为1的正四面体，将正四面体的棱作为正方体的面对角线，则该正四面体的外接球就是正方体的外接球，正方体的棱长为 ，其体对角线长为 ，外接球的半径为 ，体积是 ，选（C）.
点评：折叠以后成为正四面体需要足够的想象能力和推理能力，再把正四面体转化到正方体内，从外接球处理，则是“奇思妙想”！计算自然简单，“转化”功不可没！ 2.展开问题 例5 （江西卷）如图8，已知正三棱柱 的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面 绕行两周到达 点的最短路线的长为_____. 解：将正三棱柱的两个底面剪开，把侧面沿侧棱 剪开， 将侧面展开成平面图形，如图9所示.质点绕侧面两周的行程应是 折线 与 的长度之和，欲求 与 的长度之和的最小值，可在展开图的右边补一个与之全等的展开图，如图10所示.由对称性可知，当处在对角线位置的两条折线 与 在同一条直线上时，折线 与 的长度之和最小.最小值为 .
点评：本题考查空间中求最短路线问题，解这类问题的关键是化空间问题为平面问题. 五，定义型问题 例6 （江西•文）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（ ）. （A）等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 （B）等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 （C）等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 （D）等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 解：由等腰四棱锥的定义可知，（A），（C），（D）正确，而等腰四棱锥的底面未确定，所以侧面底边上的高不能确定，从而侧面与底面所成的角
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不能确定.故选（B）. 点评：本题考查四棱锥的概念.读懂题中提供的信息，即“等腰四棱锥”的定义是解题的关键. 优品课件，意犹未尽，知识共享，共创未来！！！
