2019-2020学年数学人教A版选修1-1同步检测： 第一章测试卷

(时间：90分钟　满分：150分)

一、选择题(共12小题，满分60分，每小题5分)1．命题“若x≥1，则2x－1≥1”的逆命题为(　　)

A．若x＜1，则2x－1≥1 B．若2x－1＜1，则x＜1C．若x≥1，则2x－1＜1 D．若2x－1≥1，则x≥1解析：命题“若x≥1，则2x－1≥1”，它的逆命题为“若2x－1≥1，则x≥1”．故选D.答案：D

2．命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)A．∃x∈R，x3－x2＋1≥0B．∃x∈R，x3－x2＋1＞0C．∃x∈R，x3－x2＋1≤0D．∀x∈R，x3－x2＋1＞0

解析：将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3－x2＋1＞0，故选B.答案：B

3．若原命题是“若x＝－1，则x2－x－2＝0”则它的逆命题、否命题和逆否命题三个命题中真命题的个数是(　　)

A．0个 B．1个C．2个 D．3个

解析：由x2－x－2＝0得x＝－1或x＝2，即原命题为真命题，则逆否命题为真命题，

命题的逆命题为若x2－x－2＝0，则x＝－1为假命题，则命题的否命题为假命题，故逆命题、否命题和逆否命题三个命题中真命题的个数是1个，故选B.

答案：B

4．下列“非p”形式的命题中，假命题是(　　)A.2不是有理数B．π≠3.14

C．方程2x2＋3x＋21＝0没有实根D．等腰三角形不可能有120°的角

解析：2为无理数，故A项正确；π＝3.141 592 6…，故B项正确；因为9－4×2×21＝－159＜0，即方程2x2＋3x＋21＝0没有实根，故C项正确；等腰三角形可能以120°为顶角，30°为底角，故D项错误，故选D.

答案：D

5．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数

1D．存在一个负数x，使x>2

解析：对于A项，锐角三角形中的内角都是锐角，所以A项为假命题；对于B项，为特称命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确；对于C项，因为3＋(－3)＝0，所以C项为假命题；对于D项，

1对于任何一个负数x，都有x<0，所以D项错误．故选B.

答案：B6．“a>0”是“a2＋a≥0”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：解不等式a2＋a≥0得a<－1或a>0.∵(0，＋∞)(－∞，－1)∪(0，＋∞)，

∴“a>0”是“a2＋a≥0”的充分不必要条件．故选A.答案：A

7．设命题p：∀x∈R，x2－4x＋2m≥0(其中m为常数)，则“m≥1”是“命题p为真命题”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：若命题p为真，则对任意x∈R，x2－4x＋2m≥0恒成立，所以Δ＝16－8m≤0，即m≥2⇒m≥1.因为m≥2，则“m≥1”是“命题p为真”的必要不充分条件，选B.

答案：B

1

8．若a＞0，且a≠1，则“a＝2”是“函数f(x)＝logax－x有零点”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

1解析：当a＝2时，函数f(x)＝logax－x在(0，＋∞)是单调递减函数，

∵f(12)1

＝2>0，f(1)＝－1＜0，1

∴f(2)·f(1)＜0，

∴f(x)在(0，＋∞)上存在零点，即充分性满足；

1

又当a＝3时，同理可推出函数f(x)存在零点，即必要性不满足；

1故“a＝2”是“函数f(x)＝logax－x有零点”的充分不必要条件，故选A.答案：A

19．已知：p：－2D．既不是充分条件也不是必要条件解析：设f(x)＝x2－ax－2，x∈[－1,1]，由∀x∈[－1,1]，x2－ax－2＜0，即Error!

所以－1＜a＜1，

1

又“－210．存在x＞0,3x(x－a)＜2，则a的取值范围为(　　)A．(－3，＋∞) B．(－2，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)

2解析：因为当x＞0时，函数f(x)＝x－3x单调递增，

)所以f(x)＞f(0)＝－2，存在x＞0,3x(x－a)＜2，

2

即存在x＞0，使a>x－3x成立，所以a＞f(0)＝－2，

所以a的取值范围为：(－2，＋∞)．故选B.答案：B

1

11．若命题“存在x0∈R，使x2＋mx＋4<0”是假命题，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，－1) B．(－∞，2)C．[－1,1] D．(－∞，0)

1解析：命题“存在x0∈R，使x2＋mx＋4<0”是假命题，

1

∴Δ＝m2－4×1×4≤0，解得：－1≤m≤1，故选C.答案：C

12．函数f(x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的必要不充分条件是(　　)

11

0，－∞，

15 B.15A.

10，

C．(－∞，0)∪15 D．(－∞，0)

解析：由f(x)＝ax3＋x2＋5x－1，得f′(x)＝3ax2＋2x＋5，

5

()()()当a＝0时，由f′(x)＝0，得x＝－2，函数f(x)有两个单调区间；

11

当a＞0时，由Δ＝4－60a＞0，得a<15，即0＜a<15，此时函数f(x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调

区间；

1

当a＜0时，由Δ＝4－60a＞0，得a<15，即a＜0，此时函数f(x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间．

∴函数f(x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的必要不充分条件是A项．答案：A

二、填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)13．命题“∀x∈R，x2＋1＞x”的否定为________．

0＋1≤x0，解析：命题为全称命题，则命题的否定为：∃x0∈R，x2

0＋1≤x0答案：∃x0∈R，x2

14．若x∈R，则“x＞3”是“x2＞9”的________条件．(从“充分不必要”、“必要不充分”“充要”、“既不充分又不必要”中选填)

解析：由x2＞9，解得x＞3或x＜－3.

∴“x＞3”是“x2＞9”的充分不必要条件．答案：充分不必要

15．写出一个满足“∀x∈(0，＋∞)，f(x＋1)＞f(x)均成立，f(x)在(0，＋∞)上不是增函数”的具体函数________(答案不唯一)．

1x－

22，解析：根据条件可写函数f(x)＝

()22－22＝2x>0，对∀x∈(0，＋∞)成立，由题意有，f(x＋1)－f(x)＝

110，，＋∞22并且f(x)在上单调递减，在上单调递增．

1x－22.故答案为：f(x)＝1x－22答案：f(x)＝

16．若命题“∃x∈[0,3]，使得x2－ax＋3＜0成立”是假命题，则实数a的取值范围是________．解析：若命题“∃x∈[0,3]，使得x2－ax＋3＜0成立”是假命题，则有：“∃x∈[0,3]，使得x2－ax＋3≥0成立．即：x2＋3≥ax，x∈[0,3]，当x＝0时，恒成立．a∈R，

33

x＋

xmin＝23，当且仅当x＝3时有最小值，x∈(0,3]，当x≠0时，a≤x＋x，x∈(0,3]，则a≤

故当a≤23时：“∃x∈[0,3]，使得x2－ax＋3≥0成立．故答案为：a≤23.答案：(－∞，23]

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)写出命题“若x2－5x＋6≠0，则x≠2且x≠3”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

解析：逆命题：若x≠2且x≠3，则x2－5x＋6≠0.真命题否命题：若x2－5x＋6＝0，则x＝2或x＝3，真命题若x＝2或x＝3，则x2－5x＋6＝0.真命题．

18．(12分)已知集合A＝{x|－6≤x<3}，B＝{x|x2≤16}，C＝{x|3x＋m<0}．(1)求A∩B，∁R(A∪B)；

(2)若x∈C是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围．解析：(1)因为B＝{x|－4≤x≤4}，所以A∩B＝{x|－4≤x<3}，A∪B＝{x|－6≤x≤4}，

∁R(A∪B)＝{x|x<－6或x>4}．(2)由已知，得C＝Error!，

因为x∈C是x∈A的必要条件，所以A⊆C，

m

()()()()x＋

x－

11

()()()又因为A＝{x|－6≤x<3}，所以－3≥3，解得m≤－9.故所求实数m的取值范围为{m|m≤－9}．

1

19．(12分)已知p：x<1，q：x2－3ax＋2a2<0(其中a为常数，且a≠0)(1)若p为真，求x的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．

1

解析：(1)由x<1，得x>1或x<0，即命题p是真命题时x的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)，(2)由x2－3ax＋2a2<0得(x－a)(x－2a)<0，若a>0，则a若p是q的必要不充分条件，

则q对应的集合是p对应集合的真子集，若a>0，则满足Error!，得a≥1，

若a<0，满足条件．

即实数a的取值范围是(－∞，0)∪[1，＋∞)．

3

20．(12分)已知命题p：3a＜m＜4a(a＞0)，命题q：1＜m<2，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

解析：綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件，

13从而有Error!，解得3≤a≤8，

13，

∴实数a的取值范围是38.

21．(12分)已知P＝{x|x2－3x＋2≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．

(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；

(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．

解析：P＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}．

[](1)要使x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，即Error!，此方程组无解，则不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．(2)要使x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，①当S＝∅时，1－m＞1＋m，解得m＜0；②当S≠∅时，1－m≤1＋m，解得m≥0

要使S⊆P，则有Error!，解得m≤0，所以m＝0，

综上可得，当实数m≤0时，x∈P是x∈S的必要条件．

22．(12分)已知集合A是函数y＝lg(20－8x－x2)的定义域，集合B是不等式x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)的解集，p：x∈A，q：x∈B.

(1)若p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；

(2)若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

解析：由条件可得A＝(－10,2)，B＝(－∞，1－a]∪[1＋a，＋∞)，(1)p：－10＜x＜2，綈q：1－a＜x＜1＋a，∵p是綈q的充分不必要条件，则Error!，解得a≥11，

故a的取值范围为[11，＋∞)，

(2)若A∩B≠∅，则必须满足1＋a＜2或1－a＞－10，∵a＞0，∴0＜a＜11，

故实数a的取值范围为(0,11)．