一种基于角度的正交FRIT变换及其在图像去噪中的应用

第1期2007年1月电 子 学 报ACTAELECTRONICASINICAVol.35 No.1

Jan. 2007

一种基于角度的正交FRIT变换及其在图像去噪中的应用

刘云霞1,彭玉华1,孟庆芳1,尹 勇2

(1.山东大学信息学院,山东济南250100;21山东省肿瘤医院,山东济南250117)

摘 要: M.N.Do和M.Vetterli提出的FiniteRidgeletTransform(FRIT)因其对线奇异特征的高效表示能力而被广泛应用,但其在图像压缩、去噪的处理中却受到/环绕0现象的严重影响.本文在揭示/环绕0现象和FRAT域系数关系的基础上,提出一种基于角度的正交FRIT变换方案(Angle-basedFRIT,AFRIT).该方案具有更好的能量集中特性,并有效地降低了/环绕0现象.进一步,对正交FRIT去噪问题建模,并提出了一种基于AFRIT的改进阈值.不同噪声水平下各种图像的去噪实验结果表明,采用改进阈值的AFRIT同现在常用的FRIT去噪方法相比,具有明显的优越性.

关键词: 正交变换;有限脊波变换;图像去噪;阈值

中图分类号: TN911173 文献标识码: A 文章编号: 0372-2112(2007)01-0040-04

AngleBasedOrthogonalFRITandItsApplicationinImageDenoising

LIUYun-xia1,PENGYu-hua1,MENGQing-fang1,YINYong2

(1.SchoolofInformationScienceandEngineering,ShandongUniversity,Jinan,Shandong250100,China;2.ShandongTumorHospital,Jinan,Shandong250117,China)

Abstract: FiniteRidgeletTransform(FRIT)isawidelyusedorthogonaltransformforitsgoodpropertyofeffectivelyrepre-sentationoflinearsingularitiesinimage.Butthelimitationof/wraparound0effectrestrictsitsapplicationsinimagedenoisingandcompression.Inthispaper,basedonanalysisoftherelationbetween/wraparound0effectanddistributionofFRAT(FiniteRadonTransform)coefficients,weproposedanangle-basedorthogonalFRITscheme(AFRIT)whichcanconcentratethecoefficientsen-ergyandreducetheinfluenceof/wraparound0moregreatlythantheusualones.Wethenmodeledthedenoisingproblemandpro-posedanovelthresholdselectingmethodbasedonAFRIT.Experimentscarriedoutondifferentimageswithvaryinglevelsofaddic-tivewhiteGaussiannoiseshowAFRIT.svalidity.

Keywords: orthogonaltransform;finiteridgelettransform;imagedenoising;threshold

1 引言

E.J.Candes和D.L.Donoho于1999年提出的脊波变换(RidgeletTransform)[1]立足于提供对高维信号中的超平面特征的有效表示,逐渐成为近年来研究高维信号特征的热点.然而,定义在连续空间上的脊波变换在数字化实现时所遇到的系数过度完备、完全重建等问题[2,3]了其在图像去噪和数据压缩中的应用.据此,M.N.Do和M.Vetterli提出了有限域上正交、可逆

[4]

的有限脊波变换(FiniteRidgeletTransform,FRIT).它利用有限Radon变换(FiniteRadonTransform,FRAT)将图像投影到FRAT域,再对其按列做正交变换,从而给出一组针对图像的方向正交基.FRIT因其良好的能量集中特性和固有的几何特征表示能力在线奇异特征的图像处理中取得了很好的效果[4~7].

然而,FRAT固有的模运算使其定义的直线呈现出区别于人类视觉特性的环绕(wrap-around)现象[4,6],这是FRIT亟需解决的问题.本文在揭示/环绕0现象和FRAT域系数关系的基础上利用FRIT中允许的FRAT域列变换方案选择的灵活度,基于提供对不同方向直线特征近似均匀覆盖的思路,提出了一种基于角度的FRIT变换方案(Angle-basedFRIT,AFRIT).理论分析和图像压缩实验的结果表明该变换方案具有更好的能量集中特性,更加适合于直线特征明显图像的表示,且相对

收稿日期:2006-01-16;修回日期:2006-06-23

M.N.Do的固定变换方案(FixedFRIT,FFRIT)[4]并未引入附加

的计算量.

本文将AFRIT应用于直线特征明显图像的去噪中.在分析FRAT域、FRIT域系数统计特性的基础上对正交FRIT高斯白噪声去噪问题建模.据此对M.N.Do给出的全局硬阈值[4]进行改进,提出了一种基于AFRIT的改进阈值.采用改进阈值的AFRIT在大量实验中均取得了优于现有方法的信噪比改善,并在一定程度上降低了环绕现象的影响,改善了重构图像的视觉效果.

[4,6]

2 有限脊波变换

211 有限Radon变换(FiniteRadonTransform,FRAT)

FRAT是直接定义在二维有限离散网格Z2p上的离散变换.引入有限素数域Zp={0,1,,,p-1},Z*-1,p={0,1,,,p

[4]

p},其中p为一素数.则Z2定义为:p上的实函数f的FRAT

FRAT[k,l]=

1f[i,j], kIZ*p,lIZp

p(i,j)ILk,l

E

(1)

其中,Lk,l为Z2p上的直线:

Lk,l={(i,j):j=ki+l(modp),iIZp},0[k[pLp,l={(i,j):jIZp}

,其法向量

为{uk=(-k,1),k=0,1,,,p-1}G{up=(1,0)}.

基金项目:教育部留学启动基金(No.2004.176.4);山东省自然科学基金(No.2004G01,No.2004ZRC03016)第 1 期刘云霞:一种基于角度的正交FRIT变换及其在图像去噪中的应用

正交变换及IFRAT,最终重构出空域图像.如图2所示.

41

不同于一般意义上的解析直线,Z2p域中的直线长度固定为p,且斜率k、截距l的取值状态有限.注意到定义式(1)中的模运算将导致FRAT直线呈现出区别于自然直线的周期性/环绕0现象.对于我们通常处理的二进长度的图像,首先将其延拓至素数尺寸(本文采用对称延拓).经FRAT后,一幅p@p的图像变成了FRAT域p@(p+1)的系数矩阵,完成了直线特征到点特征的转换,其中第k列代表该斜率方向的FRAT系数序列.图1通过对两幅图像FRAT域系数的对比揭示了/环绕0现象.(a)为Z2p域内仅包含一条FRAT直线的图像,k=1,l=5,p=17;(b)对照给出包含对应的自然直线的图像;(c)(d)对应于零均值处理后(a)(b)的FRAT系数.可以看出,/环绕0现象分散了自然直线的能量在FRAT域的分布,影响了FRAT对于自然直线特征的表示,是FRAT要解决的主要问题.

FRIT在实际应用中存在有两个突出问题:第一,定义在

FRAT基础上的FRIT不可避免的继承了FRAT固有的/环绕0现象.最优排序的FRAT在一定程度上降低了环绕,但对于截距的重排可能引起平坦带状区域FRAT域系数的分散.某些方法通过补零扩大图像尺寸,以避免某些特有直线可能出现的环绕,但付出的代价却是巨大的存储量和计算量.第二,FRAT域内按列正交变换方案的选取将直接影响到对图像特性的描述及后续压缩去噪等处理的效果,但目前的应用中却鲜有这方面的讨论,通常的做法是对FRAT各列采用统一的DWT处理[6,7],效果及合理性均有待考证.

3 基于角度的FRIT(AnglebasedFRIT,AFRIT)

我们进一步考察/环绕0现象和FRAT域系数之间的关系,并在此基础上确定FRAT域的按列正交变换方案.将图1(d)中自然直线的FRAT系数按列示于图3,自左而右、自上而下的18个子图分别对应k=0,1,,,p的p+1

FRAT是可以完全重建的,逆有限脊波变换InverseFRAT(IFRAT)由反向投影算子[4](FiniteBackProjection,FBP)给出.

M.N.Do在Z2p域投影切片定理给出的频域解释下,通过选择不同的频域切片确定不同方向直线(不同k)的最优法向量,构建了一种最优排序的FRAT[4].最优法向量定义为

*

(a*k,bk)=arg

(a,b)I{nu:1[n[p-1}

kkk

s.t.C(b)\\0

pk

个方向FRAT系数序列的波形.从给出的波形中可见,自然直线被/环绕0现象分散的能量表现为某些FRAT投影方向上系数的震荡[4],具有很强的周期性.它们区别于噪声,反映的是自然直线在其他投影方向的能量弥散情况,是图像恢复所必须的信息.震荡系数的分布取决于直线特征的位置、长度及不同直线之间的交叠程度等复杂因素的综合影响,因图像统计特性不同而有很大差异,因此按列的波形估计存在很大困难.

min

+(Cp(ak),Cp(bk))+

(2)

其中Cp(x)=x-p#round(x/p),kIZ*p.最优排序的FRAT一定程度上降低了/环绕0现象,但并不能完全消除.在本文中,我们均采用最优排序的FRAT,其中k仅作为该斜率方向上最优法向量的一个索引.

212 正交有限Ridgelet变换(OrthogonalFRIT,OFRIT)

变换的正交性对于图像压缩和去噪等应用是十分重要的.本文仅限于对正交FRIT(OrthogonalFRIT,OFRIT)的讨论,且直接用FRIT表示.

FRIT对FRAT域系数的正交变换选择方案给出了一定的自由度,允许根据图像的不同性质及处理任务的具体要求对FRAT系数的每一列选用不同的变换方法,如DFT、DCT、DWT

[4]

等.首先按列选用满足Z条件(ConditionZ)的一维正交变换(关于素数长度正交基的构造,参见文献[4]),然后选择每列的p-1个高频系数及p+1列共同的最低频系数(即图像均值,它包含了FRAT的冗余信息)组成图像f的FRIT系数,整个过程对应的二维正交变换称为FRIT.根据不同的应用,处理后的FRIT系数(须保持图像均值不变)依次经过按列的逆然而,自然直线所在的主投影方向(k=1,子图2,以-*.示出)相对于其他振荡方向具有更大的能量,采用DWT变换更有利于对不同截距的FRAT系数点奇异特征的表示;而对应振荡特性明显的投影方向,对周期信号具有良好能量集中特性的DCT变换将是很好的选择[4].基于对图像中不同角度的直线特征提供近似均匀表示能力的思路,本文提出基于角度的AFRIT方案如下:42 电 子 学 报2007年

**

(1)从Z2p中由k索引的最优法向量集{(ak,bk):kIdWtFRIT)的WFRIT方案[6]效果最差;采用AFRIT的重构图像不仅信噪比最高,且直线边缘处振荡最小,视觉效果也最好;

FFRIT介于两者之间.(b)给出不同压缩比下分别采用三种变换方案压缩object图像[9]的重构信噪比,AFRIT也相对FFRIT和WFRIT有不同程度的信噪比提高.

Z*p}中选择与角平分线最接近的方向作为主能量方向(记作M),其余方向作为能量弥散方向(记作D),即b*knPM={0}G{p}Gargmin*-tanN

*akkIZ

p

,n=1,2,,,N-1

D=M󰀁=

Z*p

-M

(3)

4 AFRIT在图像去噪中的应用

411 FRIT高斯去噪模型

FRIT中各域系数的统计特性是确定去噪方法及阈值的重要依据.本节在讨论加性高斯白噪声FRIT域统计特性的基础上对FRIT高斯去噪问题建模,作为后续基于AFRIT阈值改进的依据.设噪声图像n中各像素点n[i,j]~N(0,1),对n采用式(1)的FRAT,并取方差(D{#})可得D{FRATn[k,l]}=D{

11

n[i,j]}=

pp(i,j)ILk,l

i.i.d

其中N为主能量方向的数目,可根据图像中线奇异特征的复

杂程度及角分辨率的要求等经验性地确定.对于257*257的图像,综合考虑到变换域的能量集中特性及实际应用对角度分辨率的要求,选择N=16.

(2)对主能量方向采用DWT变换以提供对点特征的有效表示,而对周期性震荡的能量弥散放向采用DCT变换.也即

FRITf=

FRITDWT=DWT(FRATf(:,j)), jIMFRITDCT=DCT(FRATf(:,j)), jID

(4)

E

i=1

ERn[i,j]=1

2

p

(5)

上述推导过程用到n[i,j]间的性.由于高斯变量的和仍为高斯型变量,则高斯白噪声的FRAT系数为相同方差的高斯噪声,这给出文献[6]中按列进行阈值选择合理性的理论解释.由于FRAT的冗余引入的列内系数的相关性在FRIT的按列正交变换中消除,故高斯白噪声的FRIT域系数仍为相同方差的高斯白噪声,这是M.N.Do利用全局VisuShrink阈值(UniversalVisuShrinkThreshold,UVT)去噪[4]的原因所在.综上,假设观测图像d由原始图像f叠加标准差为Rn的高斯白噪声构成.建立如下的去噪模型:

d[i,j]=f[i,j]+Rnn[i,j], i,jIZp(6)412 基于AFRIT变换方案的改进阈值

VisuShrink阈值是针对正态变量联合分布在维

数趋向于无穷时得到的最优阈值[8],阈值T=Rn2lnN简单明确,但实际图像去噪时效果并不好.部分原因是阈值与图像尺寸N有关,当N较大时/过扼杀0趋向明显,从而导致较大的重建误差.基于WFRIT的阈值改进方法由于继承了算法本身的局限,去噪效果也不理想.

在411的FRIT噪声特性分析的基础上,本文提出一种基于AFRIT的阈值选择方法如下:

(1)考虑到主能量方向系数的复杂性,对采用DWT的FRITDWT各列选用成熟的1-DDWT去噪方法.BayesShrink、B-ivaShrink等阈值方法,比例萎缩方法等都可以应用到AFRIT的去噪中.

(2)由于高斯白噪声在FRAT域保持方差不变,对采用DCT变换的FIRTDCT按列估计VisualShrink阈值,tj=Rj

2lnN.其中N=p-1,Rj为该列FRAT系数中噪声方差的估计,其期望为原始图像中的噪声方差.413 实验结果

在选用的汉字、object及截断高斯等线特征明显的测试图像中加入标准差R=Rf/L的高斯白噪声构建噪声图像进行去噪实验.其中Rf为原始图像的标准差,L为控制噪声水平的信噪比参数.

图6给出不同噪声水平、不同变换方案及阈值选择方法下去噪效果的比较(对FRIT的重构图像采用Wiener滤波作为最终的如上讨论,AFRIT变换方案实现简单,用

于变换方案确定的附加计算量小.图4给出AFRIT和FFRIT中主能量方向的对比,其中FFRIT选则/环绕0最少的方向作为主能量方向.显然,对于实际应用中角度均匀分布的线特征而言,FFRIT变换方案对不同角度线特征表示能力的差异将其变换域的能量集中特性.对于257*257的图像、16个主能量方向的情况,AFRIT相对角平分线的最大角度偏差仅为0112b.

图5给出FRIT中三种不同变换方案的压缩能力对比,表明了AFRIT更好的能量集中特性.实验中采用-Haar.小波,且将小波分解进行至最低尺度(J=max{2n[

nIZ

p})以保证Z条件的满足及变换的正交性.对于含有不同角度直线特征的截断高斯图像[9],(a)示出压缩比为

9915%时的重构信噪比:

由于未考虑/环绕0现象的影响,各列均DWT变换(allcolumns

第 1 期刘云霞:一种基于角度的正交FRIT变换及其在图像去噪中的应用

善,重构图像的视觉效果也更好.参考文献:

43

去噪结果).原始图像由图(a)给出,图(b)基于WFRIT变换方法采用全局VisuShrink阈值(UniversalVisuShrinkThreshold,UVT)的重构图像中/环绕0现象明显,背景噪声严重,信噪比最低.(c)为FFRIT(UVT)的去噪结果,可见通过选择一定列进行DCT变换,/环绕0现象有所减轻,信噪比也有所提高.(d)对应基于WFRIT的按列BayesShrink阈值(ColumnwiseBayesShrinkThreshold,CBT)[6]方法的去噪结果,虽然信噪比有所提高,但/环绕0效应引入的伪影较之FFRIT(UVT)明显增多.(e)为基于AFRIT采用4.2的按列改进阈值方案(ColumnwiseThreshold,CT)的去噪图像,相对其他三种方法,AFRIT(CT)恢复的直线特征最为清晰,由/环绕0现象引入的伪影最少,对图像中拐角处等局部短直线特征有很好的保护,且最好的抑制了背景噪声,重构信噪比也最高.

[1]CandesEJ,DonohoDL.Ridgelets:akeytohigher-dimension-alintermittency?[J].PhilosophicalTransactionsoftheRoyal

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ridgelettransformforimagedenoising[A].InProc.IEEEIC-

表1 不同噪声水平下不同FRIT变换方案对截断

高斯图像的去噪效果比较(k=5.5,257*257)

L(R)3.5(24.3)

3(28.3)2.5(34)2(42.5)

WFRIT(UVT)18.0817.7617.4417.09

FFRIT(UVT)20.4119.8719.2318.47

WFRIT(CBT)19.1918.18.6318.27

AFRIT(CT)21.3120.8620.3219.61

SP.04[C].Beijing:PublishingHouseofElectronicsIndustry,2004.978-981.

[8]DonohoDL,JohnstoneIM.Idealspatialadaptationbywavelet

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minhdo/software/,2006-1-11.作者简介:

刘云霞 女,1983年5月生于河北泊头,硕士生,现就读于山东大学信息科学与工程学院,研究方向为图像处理、多尺度分析、医学图像处理等.

E-mail:liuyunxia1983@mail.sdu.edu.cn

表1给出不同噪声水平下四种方法对一幅截断高斯图像

去噪效果的比较,其中每个数据都是20次仿真的平均结果.采用改进阈值的AFRIT在不同的噪声水平下均取得最高的信噪比改善,能够最好的恢复直线特征,且重构图像直线特征边缘处的震荡也最小.基于WFRIT的方法由于未考虑/环绕0现象造成的系数震荡,重构图像中伪影很多.WFRIT(UVT)去噪效果最差,但随着噪声水平的增加WFRIT(CBT)中BayesShrink阈值的优势越来越明显,强噪声水平下去噪信噪比仅次于AFRIT.FFRIT(UVT)介于WFRIT(CBT)和AFRIT(CT)之间,但在强噪声时去噪能力有所下降.

彭玉华 女,1966年6月出生于山东郓城,教授、博士生导师,中国电子学会会士、中国电子学会高级会员、电子测量与仪器学会微波毫米波测试专业委员会副主任委员、中国通信学会会员,1988年毕业于西安交通大学信息与控制工程系无线电技术专业,并分别于1991、1994年在同一学校信息学院获得工学硕士和博士学位,现为山东大学信号处理与计算机视觉研究所所长,研究兴趣包括多尺度分

析、小波分析与数字信号处理、低信噪比信号分析、图像压缩编码技术、数字图像处理及在生物医学工程、生物特征识别领域的应用等.E-mail:pyuhua@sdu.edu.cn

5 结论

本文中,我们揭示了/环绕0现象和FRAT域系数分布特

性的关系,并在此基础上提出AFRIT变换方案,在FRAT域中基于最优法向量的角度确定按列DWT与DCT的变换方法.AFRIT实现简单,无附加计算量,对直线特征明显的图像具有良好的能量集中特性,并有效地降低了/环绕0现象的影响.此外,本文对FRIT高斯白噪声去噪问题建模并提出了一种基于AFRIT的改进阈值方法.采用改进阈值的AFRIT在不同噪声水平下不同图像的去噪中均取得了相对同类方法的信噪比改