广东省惠州市雅中学校2020年高二数学理上学期期末试题含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 已知命题，

，则（ ） Ａ．，

Ｂ．，

Ｃ．

，

Ｄ．

，

参：

C

2. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则可输入的实数x值的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

参：

D

【考点】程序框图．

【分析】根据题中程序框图的含义，得到分段函数，由此解关于x的方程f（x）=2，即可得到可输入的实数x值的个数．

【解答】解：根据题意，该框图的含义是：

当x≤2时，得到函数y=x2

﹣1；当x＞2时，得到函数y=log2x．

即y=

因此，若输出结果为2时， ①若x≤2，得x2﹣1=2，解之得x=±，

②当x＞2时，得y=log2x=2，得x=4

因此，可输入的实数x值可能是，﹣或4，共3个数．

故选：D．

【点评】本题给出程序框图，求输出值为3时可能输入x的值，着重考查了分段函数和程序框图的理解等知识，属于基础题．

3. 函数的定义域为（ ）

A．

B． C． D．

参：

B

4. 若不等式|ax+2|＜4的解集为（﹣1，3），则实数a等于（ ） A．8 B．2 C．﹣4 D．﹣2

参：

D

【考点】R5：绝对值不等式的解法．

【分析】由不等式|ax+2|＜4 的解集为（﹣1，3），可得，由此求得a的值．

【解答】解：由不等式|ax+2|＜4 的解集为（﹣1，3），可得，

解得 a=﹣2， 故选D．

5. 2014年11月11日的“双十一”又掀购物狂潮，淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下：服饰鞋帽198000人；家居用品94000人；化妆品116000人；家用电器92000人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为（ ） A．92 B．94 C．116 D．118

参：

B

【考点】分层抽样方法．

【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．

【解答】解：在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问

卷份数为x， 则

，

解得x=94， 故选：B

6. 利用斜二测画法画一个水平放置的平面四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形（如图所示），则原图形的形状是（ ）

A．

B．

C．

D．

参：

A

【考点】LD：斜二测法画直观图．

【分析】利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形，即找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形． 【解答】解：还原直观图为原图形如图， 故选：A．

【点评】本题考查了平面图形直观图的画法，解答的关键是熟记斜二测画法的要点和步骤，从而还原得到原图形．

7. 在某项测量中,测量结果服从正态分布N（1,）,若在（0,2）内取值的概率为

0．6,则在（0,1）内取值的概率为

A．0．1 B．0．2 C．0．3 D．0．4 参： C

8. 已知数列{an}满足：a1＜0， =，则数列{an}是（ ）

A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不确定

参：

A

【考点】数列的函数特性．

【分析】由=，可判断数列{an}是公比为的等比数列，再根据a1＜0可判断数列{an}的单调

性．

【解答】解：由=，数列{an}是公比为的等比数列，

又a1＜0，

∴数列{an}是递增数列， 故选A． 9. 二次函数在区间

上单调递减，且

，则实数

的取值范围

（ ） A.

B.

C.

D.

参：

D 略

10. 已知，则

（ ） A.

B.

C.

D.

参：

A 【分析】

求得函数的导数，再由，即可求解。

【详解】由题意，函数

，则

，

则

，故选A。

【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记基本初等函数的导数运算公式，以及导数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 如图，平面四边形ABCD中，，

，

则

的面积S

为__________．

参：

分析：首先求得BD的长度，然后结合余弦定理求得∠ADB的值，最后利用面积公式求解△ACD的面积即可.

详解：在△BCD中，由，可得∠CDB=30°，

据此可知：

，由余弦定理可得：

，

在△ABD中，由余弦定理可得：

，

故

，

结合三角形面积公式有：

.

点睛：本题主要考查余弦定理解三角形，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12. 已知

，若

则

的取值范围是 ．

参：

略

13. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为

参：

或

略

14. 若cosθ=﹣，tanθ＞0，则sinθ= _________ ．

参：

略

15. 在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．

参：

（x﹣1）2+y2=2

【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．

【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．

【解答】解：圆心到直线的距离d==≤，

∴m=1时，圆的半径最大为

，

∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2． 故答案为：（x﹣1）2+y2=2．

16. 某程序框图如右图所示，则执行该程序后输出的结果是

参： 127 17. 平面上，一个区域内两点间距离的最大值称为此区域的直径，曲线y 2 + | y | + 4 x 2 = 1围成的平面区域的直径为 。

参：

– 1

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. （本小题满分13分）

参：

设切点

由

得

∴

∴的方程为：

…………3分

令得， 令得

三角形的面积为 ，

…………6分

令 …………8

分

当； 当

∴

时，

， …………10分

此时，切点

，

故的方程为

…………12

分

19. 已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2

=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求

|AB|．

参：

【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系．

【专题】直线与圆．

【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；

（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2

+y2

=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l

与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联

立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．

【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3． 设动圆的半径为R，

∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，

而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆， ∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．

∴曲线C的方程为

（x≠﹣2）．

（II）设曲线C上任意一点P（x，y），

由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2

+y2

=4．

①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=

．

②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，

设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），

由l于M相切可得：，解得．

当时，联立

，得到7x2+8x﹣8=0． ∴

，

．

∴|AB|=

=

=

由于对称性可知：当时，也有|AB|=．

综上可知：|AB|=

或

．

【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法． 20. （本小题满分12分）

已知函数

（I） 若为

的极值点，求实数的值；

（II） 若

在

上为增函数，求实数的取值范围；

(Ⅲ)当

时，方程

有实根，求实数的最大值。

参：

（I）

……2分[

因为为的极值点，所以，即，

解得。经检验，合题意……4分（没有写经检验的减1分） （II）因为函数

在

上为增函数，所以

在上恒成立。 当

时，

在

上恒成立，所以

在

上为增函数，故

符

合题意。 ……………………6

分 当

时，由函数的定义域可知，必须有

对

恒成立，

故只能，所以

在

上恒成立。

令函数

，其对称轴为，

因为，所以， 要使在上恒成立，

只要

即可，即

，

所以。

因为，所以。

综上所述，a的取值范围为。………8分

（Ⅲ）当时，方程可化为

。

问题转化为

在

上有解，即求函数

的值域。

因为函数

，令函数

，………10分

则， 所以当时，

，从而函数

在

上为增函数，

当时，

，从而函数在

上为减函数，

因此。

而，所以，因此当

时，b取得最大值0. ………12分 略

21. （本小题满分14分） 已知函数

的导函数（e为自然对数的底数）

（1）解关于x的不等式：；

（2）若

有两个极值点

，求实数a的取值范围。

参：

22. （本题满分8分）已知三个数成等差数列，它们的和为15，如果它们分别加上1，3，比数列，求这三个数。

参：

3、5、7或15、5、。 设三个数为

，则：

解得

或

故所求三个数为3、5、7或15、5、

。

9就成等