(完整版)直线与圆位置关系知识点与经典例题

直线与圆位置关系

一．课标要求

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

二．知识框架

相离 几何法 弦长 直线与圆的位置关系 相交 代数法 切割线定理

相切

直线与圆 代数法 求切线的方法

几何法 圆的切线方程

过圆上一点的切线方程 圆的切线方程 切点弦 过圆外一点的切线方程 方程

三．直线与圆的位置关系及其判定方法

1.利用圆心O(a,b)到直线AxByC0的距离dAaBbCAB22与半径r的大小来判

定。

（1）dr直线与圆相交 （2）dr直线与圆相切 （3）dr直线与圆相离

2.联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过解的个数来判定。 （1）有两个公共解（交点），即0直线与圆相交 （2）有且仅有一个解（交点），也称之为有两个相同实根，即0直线与圆相切 （3）无解（交点），即0直线与圆相离 3.等价关系

相交dr0 相切dr0 相离dr0 练习

（位置关系）1.已知动直线l:ykx5和圆C:(x1)y1，试问k为何值时，直线与圆相切、相离、相交？

（位置关系）2.已知点M(a,b)在圆O:xy1外，则直线axby1与圆O的位置关

1

2222

系是（）

A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定

（最值问题）3.已知实数x、y满足方程xy4x10，

22y的最大值和最小值； x（2）求xy的最大值和最小值；

（1）求

（3）求xy的最大值和最小值。

〖分析〗考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法，直观的理解。转化为求斜率的最值；转化为求直线yxb截距的最大值；转化为求与原点的距离的最值问题。

（位置关系）4.设m,nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)(y1)1相切，则mn的取值范围是（）

（位置关系）5.在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2y24上有且仅有四个点到直线 12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是

6．直线3xy230截圆x+y=4得的劣弧所对的圆心角是 ( C )

A、

2

2

2222 B、 C、 D、 3222（位置关系）7．圆xy2x2y10上的点到直线xy2的距离最大值是（ ）

A．2 B．12 C．12 D．122 2（最值问题）8.设A为圆(x2)2(y2)21上一动点，则A到直线xy50的最大距离为______.

9．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆

C的方程为（ ） A．xy2x30

C．xy2x30

2222B．xy4x0 D．xy4x0

222210.若曲线y1x2与直线yxb始终有两个交点，则b的取值范围是__________. （对称问题）11.圆C1:(x3)(y1)4关于直线xy0对称的圆C2的方程为:( )

1

22

A. (x3)(y1)4 B. (x1)(y3)4 C. (x1)(y3)4 D. (x3)(y1)4

2212. 直线ykx3与圆(x2)(y3)4相交于M,N两点，若|MN|23，

22222222则k的取值范围是( ) A．[,0]

2

34B．[33,] 332

C．[3,3]

D．[,0]

2313.圆C：(x－1)＋(y－2)＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R)．

(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点； (2)求⊙C与直线l相交弦长的最小值．

[解析] (1)将方程(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，变形为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0. 直线l恒过两直线2x＋y－7＝0和x＋y－4＝0的交点， 2x＋y－7＝0由得交点M(3,1)． x＋y－4＝0

22

又∵(3－1)＋(1－2)＝5<25，∴点M(3,1)在圆C内，∴直线l与圆C恒有两个交点． (2)由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短．

22

又|CM|＝(3－1)＋(1－2)＝5，

22∴弦长为l＝2r－|CM|＝225－5＝45.

四．计算直线被圆所截得的弦长的方法

1.几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的Rt计算，即AB2rd 2.代数法：运用根与系数关系（韦达定理），即

22ABk21xAxB(k21)(xAxB)24xAxB

（注：当直线AB斜率不存在时，请自行探索与总结；

（ 弦中点坐标为

练习

xAxByAyB,），求解弦中点轨迹方程。） 22221.直线y2x3被圆xy6x8y0所截得的弦长等于（） 2.过点(2,1)的直线中被圆xy2x4y0截得的弦长最大的直线方程

是( )

A.3xy50 B. 3xy70 C. x3y50 D. x3y50

3.已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l:yx1被圆C所截得的弦长为

221

22，则过圆心且与直线l垂直的直线方程为（）

4.直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)＋(y＋3)＝9交于E、F两点，则△ECF的面积为( ) 3335A. B. C．25 D. 245

5.已知圆C:(x3)(y4)4和直线l:kxy4k30

（1)求证:不论k取什么值,直线和圆总相交;

(2)求k取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.

22

6.若曲线x＋y＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为

1

( )A．1 B．－1 C. D．2

27.已知过点M3,3的直线l与圆x2y24y210相交于A,B两点，

（1）若弦AB的长为215，求直线l的方程； （2）设弦AB的中点为P，求动点P的轨迹方程．

解：（1）若直线l的斜率不存在，则l的方程为x3，此时有y4y120，弦

22

2

22|AB||yAyB|268，所以不合题意．

故设直线l的方程为y3kx3，即kxy3k30．

将圆的方程写成标准式得xy225，所以圆心0,2，半径r5．

22圆心0,2到直线l的距离d|3k1|k12，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，所以

1523k1k21225，即k30，所以k3．

2所求直线l的方程为3xy120．

（2）设Px,y，圆心O10,2，连接O1P，则O1PAB．当x0且x3时，

kO1PkAB1，又kABkMPy(3)，

x(3)22y2y3355则有．．．．．（1） 1，化简得xy．

x0x3222当x0或x3时，P点的坐标为0,2,0,3,3,2,3,3都是方程（1）

1

355的解，所以弦AB中点P的轨迹方程为xy．

2228.已知圆xyx6ym0和直线x2y30相交于P,Q两点,O为原点,且

2222OPOQ,求实数m的取值.

五．已知切点，求切线方程

22221.经过圆xyr上一点P（x0,y0）的切线方程为x0xy0yr

2.经过圆(xa)(yb)r上一点P（x0,y0）的切线方程为

222(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2

3.经过圆xyDxEyF0上一点P(x0,y0)的切线方程为

22x0xy0yD练习

x0xyyE0F0 22221.经过圆上一点P(4,8)作圆(x7)(y8)9的切线方程为（）

222.圆xy4x0在点P(1,3)处的切线方程为（ ）

A．x

3y20 B．x3y40 C．x3y40 D．x3y20

六．切点未知，过园外一点，求切线方程 1.k不存在，验证是否成立；

2.k存在，设点斜式，用圆到直线的距离dr，即

yy0k(xx0)

r练习

by0k(ax0)k1222

1.求过A(3,5)且与圆C:xy4x4y70相切的直线方程。

七．切线长

若圆C:(xa)(yb)r，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长

222d(x0a)2(y0b)2r2

1

练习

1.自点 A(1,4)作圆(x2)2(y3)21的切线，则切线长为（ B ） (A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 5

22

2.自直线y=x上点向圆x+y-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为

八．切点弦方程

过圆C:(xa)(yb)r外一点P(x0,y0)作圆C的两条切线方程，切点分别为A,B,

2则切点弦AB所在直线方程为：(x0a)(xa)(y0b)(yb)r

2221．过点C(6，－8)作圆x＋y＝25的切线于切点A、B，那么C到两切点A、B连线的距离为( )

15

A．15 B．1 C. D．5

2

22

九．切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即

PTPCPD 2 练习

1.自动点P引圆xy10的两条切线PA,PB，直线PA,PB的斜率分别为k1,k2。 （1）若k1k2k1k21，求动点P的轨迹方程；

（2）若点P在直线xym上，且PAPB，求实数m的取值范围。 〖解析〗

（1）由题意设P(x0,y0)在园外，切线l:yy0k(xx0),22kx0y0k1210，

(x010)k22x0y0ky010022

由k1k2k1k21得点P的轨迹方程为xy250。

1

（2）P(x0,y0)在直线xym上，x0y0m

y1022又PAPB，k1k21,021，即x0y020，将xym代入化简得

x01022x02mx0m2200

又0，-210m210

又x0y010恒成立，m2或m25

222m的取值范围是210,2525,210



1