金融数学

在金融领域的应用

摘要

数学是一门针对现实的空间形式与数量研究的科学，它被广泛应用于解决各种应用问题，二者紧密相连；伴随当今社会经济发展与金融理论的逐渐完善与成熟，金融理论相较于以往也变得愈发复杂，人们针对各种问题也逐渐要求精确化、精准化，因此数学作为一门科学基础工具在其应用中显得尤为重要，在日益深化的金融交流活动中诞生出了金融数学这一数学学科的分支。本文通过描述简要介绍金融数学的发展历程，其基本理论与以后的发展趋势，此外，数学模型作为其核心内容，也对于数学模型在金融领域方面的应用进行了一些简单的介绍。

关键词：金融数学；数学模型；金融领域；应用

一、金融数学的概述

（一）、金融数学的产生和发展

金融数学又称分析金融学，数学金融学，是数学在金融领域的典型应用，算得上是一门新兴的边缘学科，是金融和数学交叉糅合的产物。金融数学主要针对存在于金融市场的风险资产交易进行研究，从而达到对不同种类具有未知风险的不清晰权益合理地定价，从而实现对于潜在风险的规避。金融数学作为一个现代科学术语是在大约30年前提出的，但它的活动可以追溯到上上个世纪末由金融学家欧文·费雪(Irving Fisher)第一次提出的关于基本估值关系的概念。这种关系可以说是现代金融的一个关键理念，它明确了资产的价值是与资产在未来所能产生的现金流价值具有等同关系。在紧接着的一些时间里，证卷市场

发展迅速，投资者异常希望能够找到如何对具有较高风险证券定价的方法以及对未来价格进行预测的方法。因此到上世纪初法国数学家，L·Bachelier在其博士毕业论文《投机的理论》中第一次用Brown运动有针对性的对股票价格变化展开预测，这对于后来金融发展的促进作用，尤其是当今期权定价的发展奠定了基调。然而，不幸运的是，当时并没有很多人在意L·Bachelier的论文，直到又过了半个多世纪，到了上世纪60年代，这一理论才由著名的经济学家保罗·萨缪尔森 (Paul A. Samuelson)引入到金融世界。同时伴随着计算机与信息技术的高速发展，到上世纪50年代，金融数学再次变得活跃起来，在这一时期涌现了大量了以数学作为工具对金融问题进行研究而获得诺贝尔经济学奖的案例，这一切使得金融数学在业内的应用得到了广泛的认可。哈里·马科维茨（Harry Markowitz）于上世纪50年代初在其发表的论文《投资组合选择》中首次提出了投资组合理论，这一理论单期投资组合作为经济学的研究理论基础，这次理论的提出也被称之为首次华尔街。在此后不久，约翰·林特纳(John Lintner）、威廉·夏普（William Sharpe）、简·莫幸（Jan Mossin）三个人基于马科维茨投资组合选择理论，创造性的提出了关于风险资本的资产定价模型。

这个模型是首个用于研究在不确定状况下如何对资产定价的数学理论模型。这一模型得出在市场均衡的条件下，证券市场里预期的收益率和风险资产两者之间的关系以及均衡价格形成的过程。在接下来的15年中，这一模型独领风骚，成为当今证券市场一个极为重要的数学模型。正是夏普对此付出了巨大的贡献，他与马科维茨一起在1990年被授予诺贝尔经济学奖；然而，科学的步伐从未停止过，1977年，罗尔针对资产定价模型提出了怀疑态度，他解释道，在具体实践应用中，这一模型还没有得到实证的验证；至今对于这一问题的争辩仍不绝于耳。在1973年，在华尔街发生了第二次，起因是斯科尔与布莱克共同提出了Black-Scholes这一著名的定价公式，并给出了如何对欧式期权进行定价的表达式。同时，默顿在《合理的期权定价理论》中对这一公式进行补充及完善，并进一步提出了“未定权益分析”。1997年，默顿和斯科尔斯一起因此贡献被授予了诺贝尔经济学奖。1976年，罗斯与考克斯共同提出了风险中定价理论。在此基础上，Harrison和Kreos在1979年给出了多时段的鞅方法与套利，这一

结论对后来的金融学发展产生了至关重要的影响，由两次发生于华尔街的性变化直接导致金融数学d额诞生。

金融数学是数学与金融交叉的前沿学科，是在两次华尔街的基础上迅速发展起来的，其最为关键的内容是在随机、不确定环境下进行投资的最优组合及资产的定价理论。均衡、套利、最优是金融数学重要的三个概念及经济思想。在国际上，该学科已有50多年的历史，特别是近年来，在众多专家学者的努力下，许多金融数学理论得到了验证、模拟和完善。金融数学的快速发展推动了现代金融市场中金融产品的快速创新，使得金融交易的范围和层次更加丰富和多样化。这一新兴学科也与我国金融改革发展密切相关，在我国的发展前景是无限的。

（二）、金融数学中的基本理论 1、有效资本市场理论

市场有效性意指一种新证券自身的价格能够反映出这一证券的全部信息。这一概念最开始是被法玛和罗伯茨所提出的，主要依据市场有效性当前的强弱情况，将资本市场分为三种假设形式：强有效市场、半强有效以及弱有效。在具体进行投资时，三种不同强弱程度的有效市场能够反映的市场信息是不完全相同的，投资者也会根据当前有效性市场的强弱来自身的投资行为；近些年来，随着金融学愈发重要，对于有效资本市场的争论一直处于很高的热度。

可以用数学表达式来描述市场资本理论。

E[R(T)/S(t)]r(t),Tt.

在公式中，R(T) 是从时间t到T这一段时间持有某种资产的收益率，r(t)主要含义是在时间t这一时刻的机会成本率，S(t)的含义则是能够得到的信息集，从这一公式能够知道投资者在进行某个投资时能够得到的预期收益率同全部资本的机会成本是相等的。 2、投资组合管理基本理论 2.1、马科维茨投资组合选择理论

马科维茨的基本假设是建立在具有理性的投资者和其行为特征之上的，“均值-方差”这一反映有效投资边界的分析模型被进行了深入的讨论。他把投资者投资组合中的证券投资单独列出来，并将其组合的价格当作一列随机变量，将其均值当作收益，而视其方差作为风险。当投资能够带来的收益固定且具有最小风险的投资组合时，可以借助二次规划的思想寻求投资组合的最优解。马科维茨投资组合理论理论所强调的是统筹考虑最小化风险与最大化收益，他不仅详细推导了模型的求解方法，也证明了可以通过组合多种证券投资的方式来降低风险。但需要说明的是，该模型成立的条件是满足多种假设条件，若仅是根据单期投资模型建立的，是非常难发挥切实作用的。 2.2、资本资产定价模型

由于马科维兹的市场均衡投资组合价格选择理论是在其严格定价理论假设下的系统性缺陷，为了有效避免大量复杂的投资组合计算，夏普等人在深入研究市场均衡资本资产价格结构形成的规律过程中，在1965年左右提出了著名的CAPM市场均衡资本组合资产的定价计算理论。CAPM模型充分地描述了系统投资组合与风险和收益之间的关系和内部结构，它只与各个投资组合相关的因素有关，与单个系统投资组合的种类没有明显的关系。CAPM进一步地解释了系统投资者的风险主要包括两类:单个系统投资组合风险和非系统投资组合风险。其中，系统投资组合风险的收益可以通过系统风险的补偿方式得到相应的回报，而非系统投资组合风险的收益可以通过新的系统投资风险或者组合收益方式进行风险分解。 3、套利定价理论

CAPM是建立在一系列严格规定和假设的经济条件前提下，但在实际应用的现代市场经济环境中往往不能完全地满足这些经济条件。因而，美国经济学家罗斯于1976年创新型的提出了APT套利定价理论。该理论认为，现代有效经济市场的决定性因素之一便是套利；若市场资本没有出现均衡，就可以出现没有风险套利的情况。套利指的是借助于同一证券或者不一致的价格的实物资产获得无风险收益；套利机会是在没有风险与额外资本的状况下从投资中获利的机会。

4、期权定价理论

期权合同是一种证券交易合同，它是赋予了所有者在未来某个特定的时间以自己预定的价格进行买卖标的资产的一种权利。根据不同的期权分类，可以细分为欧式看跌期权和美式的看涨期权，也有的可以细分为欧式的看跌期权和美式期权。看跌的期权一般是指所有者可以在将来某一天或一定的时期内，按照所规定的价格和交易数量，卖出某种特定标的资产，而美式看涨的期权一般是指只买入某种特定标的资产;欧式的期权是指只能在到期日当天内行使，而美式的期权是指可以在期限内的任何一个时间段内行使。看跌期权的定价，即对其持有的选择权本身的定价。世界上有两种广泛使用的期权定价模型，即二项式期权定价模型和Black-Scholes公式。

4.1、二项式期权定价模型

二项式期权定价模型又被称为二叉树期权定价模型，这一模型是一种离散时间模型。若假定该模型在一个时间周期

[tj,tj1] ，股价波动的方式只有一个:

上涨或下跌，在整个周期内，股票价格变动模式的波动概率和幅度没有变化。这个模型将整个阶段时期股价波动划分为几个主要阶段，并根据之前时期股价的走势和波动路径模拟出之前时期股票在整个阶段时期内所有阶段可能的股价波动路径，并对每阶段中一条可能路径上的所有阶段和节点的计算得出美式期权的收益和应用的贴现方法，并以此为基础来分析和确定美式期权的收益和价格。在分析和确定美式期权的价格时，该模型有很明显的特点和优势，相对直观，及使未掌握太多的经济和数学知识也是完全可以直接加以学习和应用。

4.2、Black-Scholes期权定价模型

在期权定价模型中，应用最广泛的就是Black-Scholes期权定价模型。这一模型的建立是基于随机微分方程理论而得出的期权定价模型，这一模型具有合理的定价，在计算上也也更为简洁，主要表现出了反映股票实时变化的一个模型，可用数学表达式表示如下。

CSN(d1)EertN(d2),lnd1S1S1(r2)tln(r2)t E22,d2E.tt公式种S 的含义为股票现价；C 的含义为期权现价； N(d) 则是标准正态分布函数；e 表示的是自然对数的底数；E 是期权行权时的价格；r 的含义为无风险的连续利息力； 表示期权合同标的资产连续复利收益率的标准差。

t 的含义为距离期权到期日的时间；我们很明显的看到，上式并没有股票出现，仅仅只有预测股票价格这一变量出现；进一步说明了该变量并不会对期权的价值带来影响；其具有中性的风险；这也是这一模型与套利理论所不同的地方。 （三）、金融数学的前景 1、不断面临新的问题

考虑到金融模型一般建立于各种假设之上，也就注定只有满足假设条件，才能有金融模型的成立；但有些假设往往过于理想化甚至与实际生活相冲突，因此想要解决实际问题，很多金融模型应用效果并不理想，适用范围也有限，需要进一步完善和发展。此外，世界上不同国家其金融背景或者管理方式不尽相同，因此也十分有必要建立起符合各国国情的金融模型及分析方法。例如，CAPM理论对于欧式期权的契合度较高，但对于我国及美式期权就显得不太合适；同时，即便金融数学模型的假设是合理的，但由于金融环境的不断变化，也需要对金融理论不断进行创新，唯有如此，才能推动金融理论与金融数学朝着更高层次发展。

2、实证研究逐渐成为研究的主要方向

金融国际市场数学基础理论的概念和实证数学研究主要侧重于对金融市场数学的概念进行调查和综合研究,从实际的金融市场中获取一些相应的概念和数据,进行综合分析,最后建立相应的金融市场数学基础理论模型。一旦数学研究失去了对相关概念和数据的支撑和检验,盲目地从传统数学概念和实证数学理论的基础上进行数学模型分析到实证数学模型的综合分析,将难以准确揭示国际金融市场的一个整体独特性和发展变化规律。特别是对于我国的金融市场而言,具有较强的中国现代特色的金融市场数学模型需要进行更多的实证数学研究。

3、金融数学在我国的发展

金融系统是一个具有复杂性、非线性、随机的系统，这无疑加大了研究金融系统的难度，特备是在整个金融市场处于极大波动的状况下，随机性、波动性、市场不对称、信息不对称等问题都带给了金融数学很大的难题；对于我国的金融市场出现的波动可以将其视为随机问题，但在实际金融市场中，大多数情况与金融假设缺乏一致性，随机的异常波动也时有发生。最近一些年，一般可借助于在自回归条件下的异方差模型来解决实际的问题。然而，对于一些较小概率下发生的现象，使用一般的分析理论很难解释一些重大金融冲击形成的原因，但分形理论可以很好的用于解释这些现象。于此同步，包括冲击理论以及突变理论也在金融领域得到了广泛的应用。总之，伴随着我国金融市场的发展与完善，相关的金融制度与金融体系需要进一步的治理与完善。

二、数学模型的应用

（一）、在金融领域运用数学方法的必要性 1、金融研究的对象具有可计量性

金融学所反映的是金融活动种的数量关系，金融研究的对象普遍具有可计量性。与其它的一些经济活动相类似，金融现象与过程存在定性和定量的决定性因素，这让数学方法在金融研究种得以应用变得可行。在金融活动中一样存在许多的数据，在研究金融理论的过程中，对这类数据采取收集与整理，借助数学模型对货币金融活动中的汇率、利率、收益率、货币供求、等诸多数据进行分析，得出的结论才能更加准确。

2、数学具有高度的逻辑性、高度的准确性、严密的抽象性

金融研究由于其固有的抽象性，可以通过对数学方法的抽象，更好地发现经济变量在真实金融问题背后的作用，从而理清复杂的关系。数学分析由于其固有的严密数学逻辑而逐渐成为了科学逻辑推理的主要方法和手段,一些其他的数学方法难以准确解释的逻辑关系也可以用简明扼要的数学方法准确地加以描述和解释。

（二）数学模型在金融领域的应用典例 1、资产评估模型

众所周知，资金是有时间价值的。在不同的时间点和不同的时期上的资金，其价值并不总是相同的，在计算时不能简单地进行直接的相加减或比较。为了

解决这个问题，美国经济学家欧文·费雪在1986年提出了这一观点，即资产的现值等于未来现金流贴现值的总和，成为资产评估模型的基础。

最简单的评估模型之一是复制公式。数学表达式如下：

其中C(t) 为某项投资在未来某时刻t 的现金流量；R(t) 为贴现率；n 是期数；PV 为总的现值。

这一数学表达式，它为证券投资价值的资本化方法奠定了基础，其表现形式可以根据不同的情况而有所不同。并且以此为基础，也诞生了贴现现金流模型，揭示了股票的内在价值：

P(t)Dtk1ik11k

其中，Pt 为t 时刻时的股票价格，Dtk 是tk 时刻获得的股息，

i 为表示合适的贴现利率的常数。

2、证券组合模型

证券组合模型主要研究在未来的不确定竞争因素中如何合理配置资源。在投资收益一定的情况下，怎样使风险最小；或者在风险一定的情况下，如何获取最大收益，如：

RiRi,i1n2i2i2ijijiji1i1j1nnn

Wi表示投资组合的权重，Ri表示预期收益，i和j表示标准差，Pij表示相关系数。

上式我们不难发现，ij 和2 是正比例关系，相关系数越小，投资风险值也越小。这就表明，在实际中，我们完全可以选择负相关的证券来进行投资，以此来降低非系统性风险。 3、资本资产定价模型

这里所说的资本资产定价模型就是以之前提到的夏普、林特纳、莫辛提出的模型为基础建立的。该模型必须满足一系列理想假设，其数学表达式为：

E(ri)rj

ErMriM2rM 或E(ri)rjE(rM)rji

rj是零风险利率，E(rM)是证券市场所有证券的预期收益率，M2是证券市场所有证券的预期方差，E（ri）是证券i的预期收益率，rM是证券i的平均收益率，irM/M2是预期收益率与平均收益之间的协方差。

利用CAPM模型建立了风险与收益之间的关系，完整表达了风险收益的内部结构，即风险收益属于影响证券所有收益的相关影响因素的风险组合。 4、金融预测中的回归分析

金融市场可以说是一个极为复杂的混沌系统，充斥着各种非确定性。依靠于金融预测研究对未来的金融市场发展非常重要。借助于数学模型能够帮我们对未来的金融、经济发展有一个更好的把握，更让我们接近真实的市场。回归分析便是经常使用的一种方法，回归分析主要是研究不确定量之间互相依赖关系的，回归方程的建立可以借助数学模型，然后依据最小二乘法的经验公式求出具体的回归方程，然后运用回归方程展开预测，并推导出预测的数值。 （三）、在金融领域运用数学方法的局限性 1、非经济因素的影响

金融学研究相对复杂，不易量化，有许多非经济因素，比如文化、政治、心理、习俗等。但数学模型具有相对性、非绝对性、及有条件性，因此建立数学模型理论的前提必然是存在着相应的假设基础。而这些假设有时并不与真实的市场状况相吻合，此时数学模型便失去了应有的分析能力，再以此模型进行预测也就失去了应有的准确性。 2、数学方法应用的不明确性

数学的本质也是一类表述语言。一些现象之所以采用数学加以描述，而不通过其它一些形式的语言加以描述的本质原因在于，数学语言与其它一些语言相比较具有准确性更高、语言相对更简洁等一些列优势。若通过数学语言，不能够达到追求准确与简洁的目的，那么我们就应该借助于其它语言形式了；但另外一点是，我们不能将丰富的数学知识当作领先他人的资本，以此来掩饰对于金融理论与知识认知的匮乏。

三、结语

在当今环境下，经济与社会的迅速发展推动了当今金融体系的完善与成熟，金融理论正变得越来越复杂，人们对各种经济问题也越来越重视，对其结果的准确性得要求也越来越高，在这种背景下，金融数学作为当今金融领域的宠儿，也在飞速的发展与进步。在飞速发展的同时，肯定也会伴随着各种各样的问题，为了能更好的利用金融数学理论解决金融问题，这些问题亟待解决。如金融数

学理论应用的环境过于理想，其假设过多；如同实践才是检验真理的唯一标准，金融数学理论需要大量的实践加以证实验证，尤其是在我国的特色社会主义环境下，显得更加尤为重要。如何解决好这些问题，是我们当下的任务之一，只有处理好这些问题，我们才能更好的运用金融数学这把宝剑。

作为金融数学的核心，面对一个经济问题，如何运用好数学模型成为了解决问题的关键。面对一个经济问题，如何将其量化、简单化，并将其套用到合适的数学模型成为当下的首要任务。模型虽好，但仍需要大量的假设和数据，面对一个经济问题如何对其分解分析，如何收集大量的、有效的数据也是我们应该首先考虑的。与数学理论一样，各种的数学模型也需要大量的实践来验证，而我国独特的社会主义经济更需要大量的实践来验证。我坚信，在我们的努力和不断地实践下，我们一定能运用好金融数学理论和数学模型来攻克一个又一个的经济难题。