高中数学几何证明题

1、已知四边形ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点 （1） 求证：EFGH是平行四边形

（2） 若BD=23,AC=2,EG=2;求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角;

A B

F C

G D

E H

证明：在ABD中,∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH同理,FG//BD,FG2 90° 30 °

考点：证平行利用三角形中位线,异面直线所成的角

1BD 21BD∴EH//FG,EHFG∴四边形EFGH是平行四边形; 22、如图,已知空间四边形ABCD中,BCAC,ADBD,E是AB的中点; 求证：1AB平面CDE;

2平面CDE平面ABC;

A BCAC证明：1CEAB

AEBE同理,

E ADBDDEAB

AEBEB C

又∵CEDEE ∴AB平面CDE 2由1有AB平面CDE

又∵AB平面ABC, ∴平面CDE平面ABC 考点：线面垂直,面面垂直的判定

D

3、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AA1的中点, 求证： A1C//平面BDE;

证明：连接AC交BD于O,连接EO, ∵E为AA1的中点,O为AC的中点

∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内,A1C在平面BDE外

A1 D1

B1 E C1

A D B ∴A1C//平面BDE; 考点：线面平行的判定

4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC． 证明：∵ACB90° BCAC

又SA面ABC SABC BC面SAC BCAD

C SDACB又SCAD,SCBCCAD面SBC 考点：线面垂直的判定

5、已知正方体ABCDA1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点.

D1A1DOABB1C1面AB1D1． 求证：１ C1O∥面AB1D1；2AC1证明：1连结A1C1,设

A1C1B1D1O1,连结AO1

∵ ABCDA1B1C1D1是正方体 A1ACC1是平行四边形

∴A1C1∥AC且 A1C1AC 又O1,O分别是A1C1,AC的中点,∴O1C1∥AO且O1C1AO

CAOC1O1是平行四边形 C1O∥AO1,AO1面AB1D1,C1O面AB1D1 ∴C1O∥面AB1D1 CC1面A1B1C1D1 CC1B1D! ∵A1C1B1D1B1D1 又, B1D1面AC11C 即AC1A1CAD1D1B1AD1D12同理可证

, 又

面AB1D1 AC1考点：线面平行的判定利用平行四边形,线面垂直的判定

6、正方体ABCDA'B'C'D'中,求证：1AC平面B'D'DB；2BD'平面ACB'.

考点：线面垂直的判定

7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．1求证：平面A1BD∥平面B1D1C； 2若E、F分别是AA1,CC1的中点,求证：平面EB1D1∥平面FBD．

D1 A1 B1 C1 F

证明：1由B1B∥DD1,得四边形BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD,

又BD 平面B1D1C,B1D1平面B1D1C, ∴BD∥平面B1D1C．

E D A G B C

同理A1D∥平面B1D1C．

而A1D∩BD＝D,∴平面A1BD∥平面B1CD．

2由BD∥B1D1,得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G,∴AE∥B1G．

从而得B1E∥AG,同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．

考点：线面平行的判定利用平行四边形

8、如图P是ABC所在平面外一点,PAPB,CB平面PAB,M是PC的中点,N是AB上的

点,AN3NB 1求证：MNAB；2当APB90,AB2BC4时,求MN的长; 证明：1取PA的中点Q,连结MQ,NQ,∵M是PB的中点,

∴QN是MN在平面PAB内的射影 ,取 AB的中点D,连结 PD,∵PAPB,∴

PM∴MQ//BC,∵ CB平面PAB ,∴ MQ平面PAB

CAPDAB,又AN3NB,∴BNND

N ∴QN//PD,∴QNAB,由三垂线定理得MNAB B1 2∵APB90,PAPB,∴PDAB2,∴QN1,∵MQ平面PAB.∴MQNQ,且

21MQBC1,∴MN2 2考点：三垂线定理

10、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面BDG.

证明：∵E、F分别是AB、AD的中点,EF∥BD 又EF平面BDG,BD平面BDGEF∥平面BDG ∵D1GEB四边形D1GBE为平行四边形,D1E∥GB

又D1E平面BDG,GB平面BDGD1E∥平面BDG

EFD1EE,平面D1EF∥平面BDG

考点：线面平行的判定利用三角形中位线

11、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AA1的中点. 1求证：A1C//平面BDE； 2求证：平面A1AC平面BDE. 证明：1设ACBDO,

∵E、O分别是AA1、AC的中点,A1C∥EO

平面BDE,EO平面BDE,A1C∥平面BDE 又AC12∵AA1平面ABCD,BD平面ABCD,AA1BD 又BDAC,

ACAA1A,BD平面A1AC,BD平面BDE,平面BDE平面A1AC

考点：线面平行的判定利用三角形中位线,面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形,PA平面ABCD,AB2,PAAD4,E为BC的中点．

1求证：DE平面PAE；2求直线DP与平面PAE所成的角． 证明：在ADE中,AD2AE2DE2,AEDE ∵PA平面ABCD,DE平面ABCD,PADE 又PAAEA,DE平面PAE 2DPE为DP与平面PAE所成的角

在RtPAD,PD42,在RtDCE中,DE22 在RtDEP中,PD2DE,DPE30 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形,侧面PAD是等边三角形,且平面PAD垂直于底面ABCD．

1若G为AD的中点,求证：BG平面PAD； 2求证：ADPB；

3求二面角ABCP的大小．

证明：1ABD为等边三角形且G为AD的中点,BGAD 又平面PAD平面ABCD,BG平面PAD 2PAD是等边三角形且G为AD的中点,ADPG 且ADBG,PGBGG,AD平面PBG,

00PB平面PBG,ADPB

3由ADPB,AD∥BC,BCPB 又BGAD,AD∥BC,BGBC PBG为二面角ABCP的平面角

在RtPBG中,PGBG,PBG45

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法定义法

0平面MBD． 14、如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M为CC1 的中点,AC交BD于点O,求证：AO1证明：连结MO,A1M,∵DB⊥A1A,DB⊥AC,

A1AACA,

平面A1ACC1 ∴DB⊥A1O． ∴DB⊥平面A1ACC1,而AO1设正方体棱长为a,则A1O2在Rt△A1C1M中,A1M2323a,MO2a2． 2492222OM．∵A1OMOA1M,∴AO a．14

∵OM∩DB=O,∴ A1O⊥平面MBD．

考点：线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图２,在三棱锥Ａ－BCD中,BC＝AC,AD＝BD,

作BE⊥CD,Ｅ为垂足,作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD． 证明：取AB的中点Ｆ,连结CF,DF． ∵ACBC,∴CFAB．

∵ADBD,∴DFAB．

又CFDFF,∴AB平面CDF． ∵CD平面CDF,∴CDAB． 又CDBE,BEABB, ∴CD平面ABE,CDAH．

∵AHCD,AHBE,CDBEE, ∴ AH平面BCD． 考点：线面垂直的判定

16、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC1D

D1 C1 A1 B1 D C

A B 证明：连结AC

∵BD⊥AC∴ AC为A1C在平面AC上的射影

BDA1CA1C平面BC1D同理可证A1CBC1

考点：线面垂直的判定,三垂线定理

17、如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证：平面ABC⊥平面BSC．

证明∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O,连AO、SO,则AO⊥BC,SO⊥BC,

2∴∠AOS为二面角的平面角,设SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°,∴BC=2a,SO=2a,

11222222222

AO=AC－OC=a－2a=2a,∴SA=AO+OS,∴∠AOS=90°,从而平面ABC⊥平面BSC．

考点：面面垂直的判定证二面角是直二面角