教学创新·理科园地
渗透多思少算理念 培育数学核心素养
—— 一道解析几何题解法探析引起的思考
□桂林市桂林中学 柳建显 关剑锋
【摘 要】本文以一道解析几何题解法探究为例，论述培养学生数学核心素养的方法，提出让学生掌握流程步骤以塑造优异品格，让学生领悟合理选择参数以走向正确方向，培养几何分析意识，优化解题过程。
【关键词】解析几何 数算 核心素养【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-98（2020）02B-0144-04
坐标法是解析几何的基本方法，此方法的核心思想是利用解析几何图形中的彼此关系，将其转化为点的坐标、直线或曲线方程中的有关系数等变量来处理。由于高考命题越发关注解题方向的选择及计算方法的合理性。因此，除了坐标法，多思少算理念在简化计算的过程中成为一种趋势。在教学中，教师如何引导学生选择合理的解题方向、怎样运用恰当的方法以简化运算、如何贯彻多思少算的理念，是不可忽视的问题。下面以一道解析几何题解法探究为例，与读者交流。
一、试题再现
在平面直角坐标 xoy 中，点 B 与点 A（-1，1）关于原点 O
1
P 是动点，对称，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 -。
3
（Ⅰ）求动点 P 的轨迹方程；
N，（Ⅱ）设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M，问是否存在点 P 使得 △PAB 与 △PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。
二、解法探究
分析易得动点 P 的轨迹方程为 x+3y=4（x≠±1），过程在此省略。下面我们重点关注第二问不同思考方向引出的不同的解答过程。
y0）yM）N（3，，点 M（3，，〖解法 1〗设点 P 的坐标为（x0，yN），则
y0-1直线 AP：y-1=(x+1)
x0+1y0+1
(x-1) 直线 BP：y+1=
-x01令 x=3，得
4y0+x0-32y0-x0+3yM=,yN=
x0+1x0-1
144
2
2
`MN=yN-yM=
2
2x0y0+2x0-6x0-6y0=2
x0-1
2y0(x0-3)+2x0(x0-3)2(y0+x0)(x0-3)
=22
x0-1x0-1
又易得直线 AB 的方程为 x+y=0，点 P 到直线 AB 的距离 d=
x0+y02`S3PAB =11:AB:d=:2222:x0+y02=x0+y0又 aS3PMN
2
x0+y0(x0-3)1
=yM-yN(3-x0)=2
2x0-1
当 S3PAB=S3PMN 时，得 x0+y0又 ax0+y0!0
22
`(x0-3)=x0-1
(x-3)=02:x0+y0
-x01
2
解得 x0=
5
3
22
又 ax0+3y0=4(x0!!1)
`y0=!3395,!3
339)。
∴ P 点坐标为 (
所以直接从点入手，这是学生容易想［评注］因为是求点，
y0）到的。通过对面积相等这一设定，假设 P 坐标 P（x0，，利用条件对图形中的几何特征进行分析，构造面积相等的方程，从而求解。难点在于构建 M，N 两点的纵坐标和求解过程，以及 MN 长度的化简。N 坐标，此法设且求 M，设而不求 MN 长度。其中用到的方程思想、参数设点法都是解析几何的常规方法，整个过程适合培养学生数算和逻辑推理等素养。
BP 斜率存在，且不为零，可设直〖解法 2〗已知直线 AP，y-1=k（x+1）线 AP：，则
直线 BP：y+1=-由 )3
(x-1)3k
，消去 y，整理得
y-1=k(x+1)
2
x+3y=42
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理科园地·教学创新^1+3k2hx2+^6k2+6khx+3k2+6k-1=0
y0）设 P（x0，，则-1+x0=得 x0=
-6k2-6k1+3k
2
1+3k
2
设且求相关点 M，N 坐标，整体代换，运用方程思想等让问题得以解决。从解题过程不难发现，选择斜率作为参数时难点也非常突出，在有限的时间里，这对学生的运算能力提出了很高的要求，并且在化简时也极易出错。参数设线法，这种常规设法在此解法里也得到了很好的体现。
y0），则〖解法 3〗设点 P 的坐标为（x0，
-3k2-6k+1
-3k2+2k+1
1+3k
2
代入直线 AP 方程得 y0=又由 )由 *y-1=k(x+1)x=3
S3PAB=S3PMN=若 S3PAB
1
:PA:PBsin+APB2
1
:PM:PN:sin+MPN2
=S3PMN ，则 PA:PB=PM:PN=
PNPB
，可得 yM=4k+1
y+1=-x=3
13k+2(x-1)=-yN，可得 3k3k
`
PAPM
若存在点 P，使 S3PAB=S3PMN，则 P 必在直线 AB 的右
上方，且 yN>yM。
x＋y＝0 的距离又点 P 到直线 AB： d=
x0+y02=x0+y02=
-6k2-4k+22(1+3k)2
-4k-23k
2由三角形相似可得x0+13-x0
=
3-x0x0-1
22即 x0-1=(x0-3)，解得 x0=22
又 ax0+3y0=4(x0!!1)
53
又 aMN=yN-yM=yN-yM=-故 即
11ABd=MN^3-x0h22
`y0=!3395
,!3
339)。
∴ P 点坐标为 (
2-6k2-4k+211212k+6k+2=:(--4k-2)::22:222 23k1+3k2^1+3kh12
-2k-1):(12k2+6k+2)`-6k-4k+2=(-3k
222
`3k(3k+2k-1)=(6k+3k+1)
利用三角面积公式求解。初看 PA，［评注］也从点入手，
但把乘积转换为比例后，利用PB，PM，PN 都不易求，
三角形相似，化定积为定比。此解法妙不可言，突出了用几何法解决几何问题能简化运算、优化解题思路的特点。利用相似比化定积为定比充分体现多思少算的理念，利用相似三角形来处理解析几何中涉及线段长度类问题，是培养学生核心素养的好方法。
yS）交直线 x＝3 于点 S（xS，，设点 〖解法 4〗延长直线 AB，P 的坐标为（x0，y0）。若存在点 P，使得 S3PAB=S3PMN，则 P 必在直线 AB 的右上方。
∴ S△PAB＋S四边形PBSM＝S△PMN＋S四边形PBSM即 S△SAM＝S△SBN
aS3SAM=11:MS:(3-xA)=:MS:63-(-1)@=2MS2211
:NS:(3-xB)=:NS:(3-1)=NS22
整理得 36k+27k+15k+9k+1=0即 (1+3k)(12k+9k+1)=0而 a1+3k!0
2
`12k+9k+1=0
22
2
432
12k+1
即 k=-9
代入
2
12k+1
-3k+6+1
-3k2-6k+159==x0=22
31+3k1+3k
2
22
又 ax0+3y0=4(x0!!1)
2
S3SBN=
`NS=2MS∴ M 为 NS 中点
xA＝－1，xS＝3，由已知 xB＝1，可知 xB=
xA+xS
2
`y0=!339339)。
5
∴ P 点坐标为 (,!
3
∴ B 为 AS 中点
AM 为 △ASN 的两条中线，∴ BN，故 P 为 △ASN 的重心。
-1+3+3xA+xS+xN5==`x0=
333
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引进斜率 k，则参数唯一且目标明确。通［评注］从线入手，
过转化让相关点都与斜率有关，运用韦达定理求点 P 的坐标。
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22
又 ax0+3y0=4(x0!!1)
“问题所需量”时，“设线”具有变量少、运算思路简洁的特点。而设点相对而言变量较多，变量间的关系较复杂，但思维量的提升能使运算量降低。特别是当直线无法方便地将“问题所需量”与之联系起来时，设点往往是较优方案。案例中设点、设线都可以用，我们可以梳理一下思路，如下表所示：信息推理联想P是动点，M，设 P 点坐直线 AP 和 AB 分P 是在曲线上的主动点，NN 是线线相交的从动点别与直线 x＝3 交于点 M，标点B与点A（-1，1）关于原点对称，直线AP与BP的斜率直线 AP 斜率 k 确定，则直设直线 AP1BP线 斜率确定，其他相关-之积等于，与直线x＝3斜率 k3量也可用 k 表示N交于点 M，`y0=!339335
,!)39。
利用补形思想，结合图形的对称性，［评注］仍从点入手，∴ P 点坐标为 (
利用面积关系挖掘题目中隐藏的几何条件—— 中点的信息，通过中点构建几何图形的中位线并利用其性质解决相关问题。解法 4 通过平面几何知识将复杂的圆锥曲线问题进行简单、有条理地推理，计算量很小，体现数学化繁为简的真谛。平面几何知识的分析处理手段，很好地体现多思少算的理念，是培养学生数算和多思少算理念的很好素材。
三、教学反思
解析几何作为培养运算能力的沃土，是培养数算核心素养的最佳载体，在高考中起着重要的选拔功能作用。基于本题的解法探究，对解析几何的运算教学，笔者有以下几点思考。
（一）让学生掌握流程步骤，塑造优异品格
坐标法是解析几何的基本思想，数形结合、设而不求、设而要求、整体代入、整体运算、韦达定理、面积公式、长度公式、点到线的距离公式都是我们常见的基本方法和基本公式，设点、设线是解析几何中两种重要的设参方法。这些常见方法、思想在解法 1 和解法 2 得到了很好的体现。教学中我们应该脚踏实地地贯彻典例中处理解析几何问题的基本流程：
要解决什么问题（求点 P 的坐标）—— 问题对象的几何特征（面积相等）—— 用代数语言描述几何要素及其关系（相关点、线）—— 运算解决问题（长度、距离等）—— 分析运算结果的几何含义（坐标、长度、面积等）—— 解决几何问题（坐标）。
而这个过程性教学恰恰是我们常规教学的核心。我们要反复强化这一流程，让学生熟能生巧，掌握基本模式，让他们知道基本思想、明白基本方法、基本流程。解法 1 和解法 2 都应让学生理解掌握。
教育的根本任务是育人。数学为磨炼学生的意志和提高耐挫力提供了绝好的平台，意志品质水平的高低与数学成绩的优劣有着极为密切的内在联系。“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，解法 1 和解法 2 运算量相对较大，这样运算较大的常规思路方法，在平时教学中不能省略，而应勇敢地带领学生突破运算瓶颈。解法 1 求 M 和 N 坐标，求 MN 长度；解法 2 让学生努力化简得到方程 36k4+27k3+15k2+9k+1=0，当他们用坐标思想最终解出点 P 的坐标时，这一艰难且惊心动魄的过程对他们内心的震撼是可想而知的。要让学生在解法 1 和解法 2 中体验挫折和失败的过程中，形成百折不挠的良好心理素质。这对磨炼学生的毅力，塑造坚忍不拔的品格，提升学生的自信，无疑有着不可估量的作用。这既是高考的要求又是今后人生发展的需要。也只有这样才能真正实现和完成数学学科核心素养的目标和立德树人的根本任务。
（二）让学生领悟合理选择参数，走向正确方向
设点、设线是解析几何中两种重要的设参方法。正常情况下，设线时不超两个未知数。当所设直线能够方便地表达出
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合理设参是培养学生目标意识的重要方法，解法 1 和解法 2 生动地体现这两种设参的运算能力要求，是设参方法的好案例。在平时的教学中要经常引导学生使用这种常见的设参方法，但是用设点法或设线法求解时，注意“主”与“辅”的关系，要始终围绕目标和解题计划展开求解，抓住问题的主要矛盾，抓住矛盾的主要方面。
我们应该意识到解析几何问题中参数的选择是策略性知识。策略性知识是指学习者在学习情境中对任务的认识、对学习方法的选择和对学习过程的，它是由学习方法、学习和元认知等要素构成的监控系统。这种知识仅靠学是无法获取的，它需要在分析中比较，在评价中优化，在创造中创新。在平时的教学中，我们可多进行一些探究式教学，激发学生学习数学的兴趣，引导学生进行参数选择分析。比如，点线相关分析、路径预判分析。多一些理性的思考，少一些运算。这样既可以训练思维的发散性，又可以训练思维的收敛性，从而发展学生的数学核心素养。
（三）培养几何分析意识，优化解题过程
解析几何是一门用代数的方法研究几何问题的科学，但我们不应忽视解析几何问题的本质仍是几何问题，离不开对几何要素分析。解法 3 将乘积转换为比例后，利用三角形相似，化定积为定比。解法 4 利用补形思想，结合图形的对称性，挖掘题目中隐藏的几何条件—— 中点的信息，构建几何图形的中位线，并利用其性质解决问题。这两种方法运算量少，妙不可言。借助平面几何的性质降低了坐标法的运算量，也许并不是所有问题都有这么巧，都可以用，但平时的教学中这种意识培养并不可少。这种几何意识的分析是培养“多思少算”，优化解题的好策略。当然，解法 1 和解法 2 中的整体代换、设而不求的运算思想具有很好的作用，也应当学会。
几何分析在解题中起到重要作用，它有利于渗透数形结合的思想，使问题获得巧解、妙解，有时常会取得事半功倍的效果。因此在教学过程中穿插平面几何的知识必不可少，比如，（1）与平行线相关的几何性质：①三角形中位线性质；②梯形中位线性质；③平行线分线段成比例定理；④直线的对称性。（2）与三角形相关的几何性：①等腰三角形性质；②直角三角形性质；③角平分线性质定理；④相似三角形相关性质。（3）与圆相关的几何性质：①直径的性质；②垂径（下转第148页）
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少、如何安排，主要依据化学教材中涉及的课程内容，且以必修部分为主。这样造成实验教学视域狭隘，学生可接触的化学器材、原料、方法等稀少，显然不利于创新能力培养。
（三）化学实验教学评价制度忽视创新性要素。高中化学实验教学评价制度普遍存在重结果而不重过程的弊端，如“焰色反应”只关注最后燃烧的颜色、产物，制备氢氧化亚铁的实验只关注最后的沉淀物特征，而实验过程的评价相对模糊。但创新性要素又大多存在实验过程之中，这就容易学生创新能力培养的主动性、积极性。究其原因，一方面是因为我国在高中化学实验考核方面并未形成系统、完整的考核评价体系，大部分高中化学实验并未列入高考序列，更不用提对实验创新的加分机制。另一方面，与高中化学实验教学管理制度有密切关系，实验教学更强调安全性、节约性，尤其化学实验需要消耗一定教育成本，创新性要素势必会增加资源消耗。
三、化学实验教学中学生创新能力培养的策略
（一）建立清晰的化学实验教学创新能力培养模式。立足高中化学实验教学整体层次，教师应建立适用于每一种实验的创新能力培养模式。具体可按以下“三步走”实现。
第一步，强调学生对化学实验理论与实践的统一性认识。应该认识到，高中化学理论课堂与实验课堂是高度一致的，理论、实践只是相对存在，并在不同教学场景下存在主次之分，而不存在理论、实践的绝对隔离。在常规课堂教学模式下，要注重实验教学内容的渗透，如根据公式、定理等衔接实验步骤、过程。相对应的，化学实验教学过程中也要强调理论知识的应用，避免学生陷入照葫芦画瓢的单一模仿境地。
第二步，强调对学生创新意识及创新思维的唤醒和强化。进入实验室环境后，倡导学生自主、探索、合作地进行实验，避免教师进行过多的干预。但在各环节上，可给予学生一定的启发，以此唤醒学生创新意识、强化创新思维，使学生能够在实验过程中形成新的想法。
第三步，强调对学生创新知识和创新技能的掌握和应用。在一轮实验结束之后，鼓励学生对已经操作过的实验步骤、过程、仪器等进行反思，提出创新的实验设计。
（二）制订合理的化学实验教学创新能力培养步骤。根据以上模式的构思，在化学实验教学中培养学生创新能力至少要通过两个课时实现，且两个课时均是围绕同一个实验项目展开，（上接第146页）定理的应用；③切线长定理、切割线定理、相交弦定理。我们要有这种意识，“几何证明选讲”的内容不是不考了，而是考得更加隐蔽了，更加灵活了，更加有深度了。在解析几何中，合理利用几何法解题，不仅思路简捷、运算量小、证题明快，而且富有规律，这对开拓视野、启迪思维、提高解题能力大有裨益。
要培育学生数学核心素养，突破运算瓶颈不是一朝一夕就能完成的。我们要长期引导学生对算理进行深入研究，帮助和指导学生运用已有的知识感悟其中的算理，让学生不断经历分析、探究、解决问题的过程，并在这一过程中完善认知结构、拓展思维。只有这样才能快速找到运算的方法进行正确迅速地运算，从而真正达到“想得多算得快、算得少”的境界。
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【作者简介】柳建显（1981— ），男，汉族，浙江文成人，硕士，桂林市桂林中学教师，一级教师，研究方向：高中教学。
（责编 卢建龙）
【基金项目】广西教育科学“十三五”资助项目（2019B177）；桂林教育科学“十三五”资助项目（2018A-04）。
具体步骤如下。
第一，实验体验。第一课时重点让学生感受实验内容，形成直观想象思维。例如，《物质的分离与提纯》实验，让学生重点体验过滤、萃取、结晶、分液等操作技能，在混合物的提纯、分离操作方面形成科学的逻辑顺序。
第二，实验反思。第一课时结束之后，鼓励学生总结“标准试验”的优势、缺陷，以及可能存在的改进之处，并将之作为创新能力培养的突破口。以《物质的分离与提纯》为例，让学生反思不同分离方法的原理，通过对比总结适用范围，例如“过滤和结晶”之间的差异，“结晶和蒸馏”应该如何组合运用。
第三，实验创新。基于创新的独特性要求，教师应引导学生发掘生活中的现象，利用化学实验教学所掌握的知识、技能解决现实问题。在实验对象上要尽量避开教科书上的实验项目，这样更能够突出创新能力培养的“显性”成果。例如，化学教材上有关《物质的分离与提纯》实验都是基于试剂形态展开的，如“氯化钾和钾固体混合物”。在现实生活中很少有机会看到这样的“混合物质”，可以将实验对象改为“糖水如何提纯”“糖和盐如何分离”等问题。学生在课下进行创新实验设计，进入第二课时之后进行相关操作。教师将评价重点放在学生实验设计、实验过程上，对实验结果可适度放宽。
化学实验教学不仅是培养学生创新能力的绝佳途径，而且是提升学生化学核心素养的必要手段。高中化学教师要积极转变教学理念、改进教学方式、丰富教学资源，为学生创新能力提升奠定坚实基础。
【参考文献】
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