第六章 平面向量及其应用
6．１ 平面向量的概念
素养目标·定方向
素养目标 学法指导 １．向量是一个既有大小又有方向的量，学１．理解向量的有关概念及向量的几何表示.（直观想象） ２．理解共线向量、相等向量的概念.（数学抽象） ３．正确区分向量平行与直线平行.（逻辑推理） ４．能够利用向量知识解决实际问题，培养数学建模能力.（数学建模） 习时可以结合物理中的矢量来学习，同时对比数量来感受要素的差异. ２．向量可以用有向线段来表示，因而必然具备有向线段的三要素：起点、方向、长度.学习向量的有关概念时注意类比有向线段，通过对特殊向量的认识，逐步把握向量的特征. ３．相等向量与共线向量之间有一些特殊关系，要善于对比数量特征加深认识.
必备知识·探新知
知识点１ 向量的基本概念与表示 １．向量的概念
（１）向量：既有__大小__又有__方向__的量叫做向量. （２）数量：只有大小没有__方向__的量称为数量. ２．有向线段
（１）有向线段：具有__方向__的线段叫做有向线段.
（２）表示方法：以A为起点，B为终点的有向线段记作__错误!__.
（３）有向线段错误!的长度：线段AB的长度也叫做有向线段错误!的长度，记作__|错误!|__. （４）有向线段的三要素：__起点__、__方向__、__长度__. ３．向量的表示方法
几何表示 字母表示 用__有向线段__来表示向量，有向线段的长度表示向量的__大小__，有向线段的方向表示向量的__方向__.即用有向线段的起点、终点字母表示，如错误!，… 用小写字母a，b，c，…表示 [知识解读] 用小写字母表示向量，手写时必须加箭头，如：a，b，c.书写用错误! ，错误! ，错误! . ４．向量的相关概念
向量的模 零向量 单位向量
知识点２ 相等向量与共线向量
１．平行向量：方向__相同或相反__的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，记作__a∥b__；规定：零向量与任意向量 __平行__，即对任意向量a，都有__0∥a__.
２．相等向量：长度__相等__且方向__相同__的向量叫做相等向量，记作a＝b. ３．共线向量：平行向量也叫做共线向量.
[知识解读] １．理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的.
２．共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上，共线向量（平行向量）有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.共线向量是相等向量的必要条件.
关键能力·攻重难
向量错误!的大小称为向量错误!的长度（或模），记作__|错误!|__ 长度为0的向量叫做零向量，记作__0__ 长度等于__１个单位长度__的向量，叫做单位向量
题型探究
题型一 向量的有关概念 １时间、摩擦力、重力都是向量；
２两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；
３若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；
４在菱形ABCD中，一定有错误!＝错误!. 其中所有正确命题的序号为__３４__.
[分析] 利用向量定义、相等向量、单位向量的定义进行判断. [解析] 时间不是向量，故１不正确.
两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故２不正确.
单位向量的长度为１，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，１为半径的圆上，故３正确.
４显然正确，故所有正确命题的序号为３４.
[归纳提升] 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度.如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有，长度是0；规定零向量与任一向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
【对点练习】１ 下列说法中正确的是（ D ） Ａ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
Ｂ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 Ｃ．向量的大小与方向有关 Ｄ．向量的模可以比较大小
[解析] 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.
题型二 向量的几何表示及应用
典例２ 某人从A点出发向东走了５米到达B点，然后改变方向按东北方向走了１0错误!米
到达C点，到达C点后又改变方向向西走了１0米到达D点.
（１）作出向量错误!，错误!，错误!. （２）求错误!的模.
[分析] 先确定好向量的起点和终点，用有向线段表示出所求向量. [解析] （１）作出向量错误!，错误!，错误!，如图所示：
（２）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝１0错误!米，CD＝１0米，所以BD＝１0米.△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝５米，BD＝１0米，所以AD＝错误!＝５错误（!米），所以|错误!|＝５错误!.
[归纳提升] 向量的两种表示方法及应用
（１）几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点.便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础.
（２）字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示但需是黑体，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如错误!，错误!，错误!等.便于向量的运算.
【对点练习】２ 在如图的方格纸中，画出下列向量.
（１）|错误!|＝３，点A在点O的正西方向；
（２）|错误!|＝３错误!，点B在点O北偏西４５°方向； （３）求出|错误!|的值.
[解析] 取每个方格的单位长为１，依题意，结合向量的表示可知，（１）（２）的向量如图所示.
（３）由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以|错误!|＝错误!＝３． 题型三 共线向量与相等向量
典例３ 如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E、F、D分别是AC，AB，BC的中点.
（１）写出与错误!共线的向量； （２）写出与错误!长度相等的向量； （３）写出与错误!相等的向量.
[分析] （１）共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；（２）在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；（３）相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与线段EF平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与错误!的方向相同的向量.
[解析] （１）∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，
∴与错误!共线的向量为错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!. （２）∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点， ∴EF＝错误!BC，BD＝DC＝错误!BC，∴EF＝BD＝DC.
∵AB，BC，AC均不相等，∴与错误!长度相等的向量为错误!，错误!，错误!，错误!，错误!. （３）与错误!相等的向量为错误!，错误!. [归纳提升] 相等向量与共线向量的探求方法
寻找相 等向量 寻找共 线向量 先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线 先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量 【对点练习】３ 如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有__１２３__.（填序号）
１错误!＝错误!；２错误!∥错误!； ３错误!与错误!共线；４错误!＝错误!.
[解析] ∵错误!与错误!方向相同，长度相等，∴１正确； ∵A，O，C三点在一条直线上， ∴错误!∥错误!，２正确；
∵AB∥DC，∴错误!∥错误!共线，３正确； ∵错误!与错误!方向不同，∴二者不相等，４错误.
易错警示
混淆向量的有关概念 Ａ．0个 Ｃ．２个 [错解] D
[错因分析] 对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值混淆.
[正解] １忽略了0与0的区别，a＝0；２混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；３两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；４当b＝0时，a、c可以为任意向量，故a不一定平行于c.
[误区警示] 明确向量及其相关概念的联系与区别：
（１）区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关. （２）零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的.零向量的方向是任意的.
（３）平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量. 【对点练习】４ 下列说法正确的是（ C ） Ａ．平行向量就是向量所在直线平行的向量 Ｂ．长度相等的向量叫相等向量 Ｃ．零向量的长度为0
Ｄ．共线向量是在一条直线上的向量
[解析] 平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错.故选Ｃ．
Ｂ．１个 Ｄ．３个
