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浙江省永康市古山中学胡云辉 《新课程标准》重视知识之间的联系与综合，这包 现规律，进而鼓励学生推测出１＋３＋５＋７＋…＋１９ 括同一领域内容之间的相互连接，也包括选择若干具 —１０。． 体内容，体现数与代数、空间与图形、统计与概率之间 此后，还可以根据学生的实际情况，把这个问题 的实质性关联，展示数学的整体性．对于数与代数的 进一步推广到一般的情形，推出１＋３＋５＋７＋… 内容，教材重视有关内容的几何背景，运用几何直观 ＋（Ｚｎ－１）一 。，并加以验证． 帮助学生理解、解决有关代数问题．我们常说，发现一 ２利用图形求面积的计算，帮助学生理解合 个问题往往比解决一个问题更重要，而“发现”靠的并 不都是逻辑思维，直观性的思维有时更能出奇制胜． 并同类项法则、多项式与多项式相乘、平方差 数学科学的形成本身就经历了实际（直观教材）一抽 公式、完全平方公式等恒等式 象（数学知识）一应用（问题解决）的一个螺旋式的过 ２．１合并同类项法则 程，而直观的东西一直贯穿其中，起着十分重要的作 例２如图２，长方形由两个小长方形组成，用不 用，因为直观的东西一般容易被人接受． 同的形式表示长方形的面积． 在初中数学代数教学中，利用直观教学，了解其 从图２可以看出，这个长方形 几何背景，不仅能使课堂教学活泼起来，亦能激发学 的面积可用代数式表示为８ ＋５ 生的学习兴趣，加深理解． 或（８＋５） ，从而８，ｚ＋５ｎ＝（８＋５） 一１３ ． 图２ １利用几何直观，帮助学生探索规律，得出 结论 这就是说，在计算８ ＋５ 时，可以先将它们的系 数相加，再乘以 就可以了． 例１完成下列计算：１＋３一？ ２．２多项式与多项式相乘 １＋３＋５一？ 例３ 用不同的方法表示图３ １＋３＋５＋７一？ 所拼长方形的面积Ｓ． １＋３＋５＋７＋９＝？ 方法１：Ｓ：（ ＋６）（ ＋ａ）； 根据计算结果，探索规律． 方法２：Ｓ＝ 口＋ｍｎ＋ｂｎ＋ｂａ． 教学中，可先让学生思考：从上面这些算式中你 从上图可看出（ ＋６）（ ＋ａ） 能发现什么？让学生经历观察（每个算式和结果的特 一ｍ ＋ｍ口＋ｂ ＋ｂ口． 点），比较（不同算式之间的异同），归纳（可能具有的 从而得出：多项式与多项式相乘，先用一个多项 规律），提出猜想的过程．如果学生一时未能发现 式的每项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积 其中的规律，可以鼓励学生相互交流，进一步探索，同 相加． 时，教师也可以提供一些帮助．例如，如图１，根据平面 ２．３完全平方公式 规则点阵中的排列规律来帮助学生理解． 例４如图４，一块边长为ａ的 正方形，将其边长增加ｂ米，形成一 个新的正方形，用不同的形式表示 新的正方形的面积Ｓ． 方法１：Ｓ一（口＋６）。； 利用图１的点阵，可使学生从数与形的联系中发 方法２：Ｓ—ａ。＋ａｂ＋ａｂ＋ｂ。 维普资讯 http://www.cqvip.com
一ｎ ＋２ａｂ＋ｂ ． 从而得出（ｎ＋６） 一ｎ ＋２ａｂ＋ｂ ． ２．４平方差公式 （１）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）； （２）一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）； （３）足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的 例５如图５，边长为ｎ的大正方形中，剪去一个 关系）；（４）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）． 边长为ｂ的小正方形，把剩下的部分拼成一个长方 形，分别计算图５、图６中阴影部分的面积Ｓ． 解：（１）Ｃ；（２）Ｄ；（３）Ａ；（４）Ｂ． 例８如图９，反映了某公司产品的销售收入与 销售量的关系及该公司产品的销售成本与销售量的 关系，根据图意回答： （１）当销售量为２吨 图５ 图６ 时，销售收入与销售成本各 是多少？ Ｓ＝ａ ＋ｂ Ｓ一（ｎ＋６）（ｎ一６） 从而得到（ｎ＋６）（ｎ一６）一ｎ 一ｂ （２）当销售量为６吨 时，销售收入与销售成本各 是多少？ ３利用数轴直观地表示不等式（组）的解集 例６解不等式组： ｆ５ｘ－－２＞３（ ＋１）， （１） （３）当销售量为多少 时，销售收入等于销售成本？ ９ 弋－１≥７一 解：解不等式（１）得 ＞ ５； 解不等式（２）得 ≥４． （４）当销售量为多少时，该公司赢利（收入大于成 （２） 本）？当销售量为多少时，该公司亏损（收入小于 成本）？ 解：（１）当销售量为２吨时，销售收入２０００元，销 售成本为３０００元； 在同一条数轴上表示不等式（１）、（２）的解集，如图７： （２）当销售量为６吨时，销售收入６０００元，销售 成本为５０００元； （３）当销售量为４吨时，销售收入等于销售成本； （４）当销售量大于４吨时，公司赢利；当销售量小 所以原不等式组的解集为ｚ≥４． 通过形象的展示，适时地将数与形有机地结合起 于４吨时，公司亏损． 观察理解函数图象的变化规律，便于人们直观的 来，使不等式的解集更真实的呈现在学生的面前．可 判断事物发展的方向，作出相应的对策，寻求解决问 以说，数轴的引进，是数形结合较为理想的载体．通过 题的方法．著名数学家华罗庚指出：“数”与“形”是数 数轴能直观的表示不等式组中各不等式的解集及其 学中最本质、最古老的两样东西．它们既分别发展着，公共部分，由此得到不等式组的解集，相比口诀：同大 同时又互相渗透、互相启发，共同推动着数学科学的 取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解． 利用数轴，更易于学生理解接受． 向前发展，形与数相比较，有着直观上的优势．初中学 生相对于抽象思维，普遍更喜欢形象思维，对图形的 记忆也总强于对文字、数式的记忆．教师应注意到学 生思维方式上的这些特点，在讲授有关的数学知识 时，尽可能数形结合、形数对照，使学生对所学内容更 易于理解和记忆．而在解决实际问题时，同样应教给 ４ 利用函数图象理解事物发展变化的趋势 例７下列情境分别可以用图８中的哪幅图来近 似地刻画？ ， ｌＪ Ｌ ｌ／ Ｏ ｊ Ｏ Ｏ —ｊ Ａ 学生数形结合的思想方法，启发他们学会对一些数量 关系作出“形”的解释，发掘其中“形”的因素，以增加 、 Ｏ 解决问题的有效途径． 总之，在初中数学的代数教学中，重视相关内容 的几何背景，运用几何直观，使学生的思维有了一定 的载体，不再空洞乏味，在学生便于理解的同时，也增 图８ 加了学生学习数学的兴趣和自信心．
