圆锥曲线小题专练作业含答案

12x2y2

1．经过抛物线y＝x的焦点和双曲线－＝1的右焦点的直线

4178方程为( )

A．x＋48y－3＝0 B．x＋80y－5＝0 C．x＋3y－3＝0 答案 D

解析 易知抛物线的焦点坐标，双曲线的右焦点坐标分别为0－1

(0,1)，(5,0)，则过这两点的直线方程为y－0＝·(x－5)，即x＋5y

5－0－5＝0.

x2y2x2y2

2．(2014·广东名校质检)已知椭圆2＋2＝1和双曲线2－23m5n2m3n＝1有公共的焦点，则双曲线的渐近线方程是( )

215A．y＝±x

1543C．y＝±x

3答案 D

解析 由已知可得椭圆和双曲线的焦点在x轴上，且3m2－5n2

3＝2m＋3n，即m＝8n，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，故

4

2

2

2

2

D．x＋5y－5＝0

15B．y＝±x

23D．y＝±x

4

选D项．

3．(2014·合肥名校三模)下列双曲线中不是以2x±3y＝0为渐近线的是( )

x2y2

A.－＝1 94

y2x2

B.－＝1 49

x2y2

C.－＝1 49答案 C

y2x2

D.－＝1 1227

x2y2x2y2

解析 由于双曲线－＝1的渐近线方程可表示为－＝0，

4949即3x±2y＝0，故选C.

x2y2

4．(2014·江西八校联考)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、

ab右焦点分别为F1，F2，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则线段OB的长度为( )

A．b C．eb 答案 B

解析 延长F2B交F1P于点Q，则由题意知△PQF2是等腰三角1

形，且|PF2|＝|PQ|，|F2B|＝|BQ|，又|F1O|＝|OF2|，所以|BO|＝|F1Q|＝

2111

(|PF1|－|PQ|)＝(|PF1|－|PF2|)＝×2a＝a. 222

x2y2

5．(2014·河北衡水中学一模)已知F1，F2分别是椭圆2＋2＝ab1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也→→→→

在椭圆上，且满足OA＋OB＝0(O为坐标原点)，AF2·F1F2＝0，若椭圆2的离心率等于，则直线AB的方程是( )

2

A．y＝2x 2

B．y＝－

2x 2

B．a D．ea

3C．y＝－x

23D．y＝x

2

答案 A

→→c2y2

解析 ∵AF2·F1F2＝0，∴AF2⊥F1F2.设A(c，y)，则2＋2＝1，

abb22c

∴y＝.∵椭圆的离心率e＝＝，∴a＝2c，b2＝a2－c2＝c2，A(c，

a2a→→2c)．又OA＋OB＝0，∴A，B关于原点对称，则直线AB的方程是y2

2＝x.故选A. 2

x2y2

6．(2014·重庆)设F1，F2分别为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、

ab右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为( )

A.2 C．4 答案 D

解析 由双曲线的定义可得‖PF1|－|PF2‖＝2a，从而可将已知等式转化为关于a，b的方程，求出a，b之间的关系，再将双曲线的离心率用a，b表示即可．

根据双曲线的定义‖PF1|－|PF2‖＝2a，由(|PF1|－|PF2|)2＝b2－

b2b3ab，可得4a＝b－3ab，即b－3ab－4a＝0，所以－3－4＝0，aa

2

2

2

2

B.15 D.17 bc

解得＝4(负值舍去)．所以e＝＝

aa17. a2＋b2＝a2b21＋2＝1＋16＝

a

7．(2014·江西九校联考)若两曲线在交点P处的切线互相垂直，x2y2x2

则称该两曲线在点P处正交．设椭圆＋2＝1(022xy

y2＝1在交点处正交，则椭圆＋2＝1的离心率为( )

4b

1A. 2C.3 2

2B. 2D.3－1

答案 C

24b＋12

解析 联立椭圆方程与双曲线方程得x＝2，根据椭圆与b＋2

双曲线的对称性不妨设它们在第一象限的交点P(x，y)，则y>0.将椭－bxb2圆方程变形为y＝4－x，y′＝，所以椭圆在点P处的切2224－x22线的斜率k1＝.同理将双曲线方程变为y＝x－2，y′＝

224－x，所以双曲线在点P处的切线的斜率k2＝，由题22x－22x－2

22

4b＋12

意得k1·k2＝－1，得×＝－1，将x＝2代入22b＋224－x2x－2

－bx

xx

－bx

x

c得b＝1，又椭圆的长半轴长a＝2，所以c＝a－b＝3，所以e＝

a

22＝

3. 2

x2y2

8．(2014·福州质检)已知F1，F2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的

ab

bx

左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝对称，

a则该双曲线的离心率为( )

5A. 2C.2

B.5 D．2

答案 B 解析

|bx－a×0|bcbx

依题意得点F2(c,0)到直线y＝的距离为＝＝b，所22aca＋b以|PF2|＝2b，根据双曲线定义，|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF1|＝2b－2a.又因为|OF2|＝|OP|＝|OF1|＝c，所以PF2⊥PF1，所以|PF2|2＋|PF1|2＝|F1F2|2，所以(2b)2＋(2b－2a)2＝(2c)2，所以(b－a)2＝a2，解得b＝2a或b＝0(舍去)，所以b2＝4a2，所以c2－a2＝4a2，即c2＝5a2，所以该c

双曲线的离心率e＝＝5，故选B.

a

x2y21

9．(2014·河南洛阳一模)设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，ab2右焦点F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)在( )

A．圆x2＋y2＝2上 C．圆x2＋y2＝2外 答案 B

B．圆x2＋y2＝2内 D．以上三种情况都有可能

解析

bx＋x＝－，ac112

由题意知e＝＝，a2c

x1x2＝－a，

2222

a－cb2cc722

∴x2＋x＝(x＋x)－2xx＝＋＝＋1＝2－＝<2，∴222121212

aaaa4

点P(x1，x2)在圆x2＋y2＝2内．

x2y2

10．(2014·西安四校联考)双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点与

ab抛物线C：y2＝16x的焦点重合，且抛物线C的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积为163，则双曲线的方程为( )

x2y2

A.－＝1 124x2y2

C.－＝1 812答案 B

解析 抛物线y2＝16x的焦点F(4,0)，准线为x＝－4，所以双曲线中c＝4，即a2＋b2＝16.因为抛物线y2＝16x的准线与双曲线的两条b渐近线所围成的三角形的面积为163，所以当x＝－4时，|y|＝－x

a

22a＋b＝16，b

＝43，即＝3，所以由b

a

a＝3，

x2y2

B.－＝1 412x2y2

D.－＝1 128

a＝2，得所以双曲线b＝23，

x2y2

的方程为－＝1.选择B.

412

x2y2

11．(2014·芜湖三校一模)设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率

ab为2，右焦点是F(2,0)．若A，B为双曲线上关于原点对称的两点，且AF⊥BF，则直线AB的斜率为( )

7A．±

33C．±

7答案 B

37B．±

777D．±

3

2y

解析 易得双曲线的方程为x2－＝1，由AF⊥BF，得|OA|＝

32|OF|，即|OA|＝2.设A(x0，y0)，则有x20＋y0＝2，又A点在双曲线上，

722

x＋y＝2，x0＝±，00

2

故联立方程2y2解得0

3x－03＝1，y0＝±，2



所以直线AB的斜率

37是±.

7

12．(2014·湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它π

们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之

3和的最大值为( )

43A.

3C．3 答案 A

解析 方法一 利用椭圆、双曲线的定义和几何性质求解． 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2π22

＝r2＋r－2rrcos，得4c2＝r212121＋r2－r1r2. 3

r1＋r2＝2a1，r1＝a1＋a2，

由得 r1－r2＝2a2，r2＝a1－a2.

23B. 3D．2

11a1＋a2r1∴＋＝＝. e1e2cc

r24r24411令m＝2＝22＝＝，

cr1＋r2－r1r2r22r2r2123

1＋－－＋r1r1r124r2116r143当＝时，mmax＝，∴()max＝. r123c31143即＋的最大值为. e1e23

方法二 利用椭圆、双曲线的定义和几何性质，柯西不等式求解． 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，

π2依题意得(2c)2＝r2＋r－2rrcos，① 1212

3在椭圆中，①式化简得4c2＝4a21－3r1r2， 3r1r21

则2＝2－1.② 4ce1

在双曲线中，①式化简得4c2＝4a22＋r1r2， r1r21

则2＝－2＋1.③ 4ce213

联立②③得2＋2＝4.

e1e2

113113211

由柯西不等式，得(1＋)(2＋2)≥(1×＋×2)，解得＋3e1e2e1ee1e23433≤，当且仅当e1＝，e2＝3时等号成立．

33

13．(2014·合肥调研)点P到图形C上的点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点A的距离相等的点M的轨迹不可能是( )

A．圆

B．椭圆

C．双曲线的一支 答案 D

D．直线

解析 设定圆的半径为r，如图①，令定点A为定圆的圆心，动点M为定圆半径AP的中点，则|AM|＝|MP|，此时点M的轨迹为一个圆，圆心为A，半径为|AM|，选项A可能．

如图②，以F1为定圆的圆心，|F1P|为其半径，在F1P上截|MP|＝|MA|，∵|PF1|＝r，∴|MF1|＋|PM|＝|MF1|＋|MA|＝r>|F1A|，由椭圆的定义可知，点M的轨迹是以F1，A为焦点的椭圆，选项B可能．

如图③，以F1为定圆的圆心，|F1P|为其半径，延长F1P到点M，使得|MA|＝|MP|，则有|MF1|－|PM|＝r，∴|MF1|－|MA|＝r<|F1A|，由双曲线的定义可知，点M的轨迹是以F1，A为焦点的双曲线的右支，选项C可能．

如图④，定点A在定圆F上，则满足题意的点M的轨迹是以F为端点的一条射线，选项D不可能．

二、填空题

14．(2014·湖南岳阳一模)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为2.过F1的直线l交C2

于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．

x2y2

答案 ＋＝1

168

2c

解析 由△ABF2的周长为4a＝16，得a＝4.又离心率为，即2a2＝，得c＝22，所以a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，∴C的方程2x2y2

为＋＝1. 168

x2y2

15．(2014·绵阳诊断)设F1，F2是离心率为3的双曲线C：2－2ab＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，则△PF1F2的最小内角的大小为________．

π答案

6

|PF1|＋|PF2|＝6a，

解析 不妨设P点在双曲线右支上，则由可

|PF1|＋|PF2|＝2a，

|PF1|＝4a，得又|F1F2|＝2c>2a.∴在△PF1F2中，PF2边最短，∴∠|PF2|＝2a.

PF1F2最小．

|PF1|2＋|F1F2|2－|PF2|216a2＋4c2－4a2

cos∠PF1F2＝＝＝

2|PF1|·|F1F2|2·4a·2c12a2＋4c2

. 16ac

又e＝3，∴c2＝3a2.

3π

∴cos∠PF1F2＝，∴∠PF1F2＝. 26

16．(2014·赣州4月模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，若点A，π

B是抛物线上的点，∠AFB＝，线段AB的中点M在抛物线准线上

2|MN|

的射影为N，则的最大值为________．

|AB|

2答案

2

解析 依题意，设A，B到抛物线准线的距离分别为d1，d2，根d1＋d2π

据抛物线的性质得|MN|＝，又∠AFB＝，所以|AB|＝

22|AF|＋|BF|＝2

2

|MN|12

d2＋d，所以＝12

|AB|

1

≤22d22＋d12

d1＋d2d1＋d2

2＝，22d1＋d22

|MN|2即的最大值为. |AB|2

17．(2014·武汉调研)

x2y2

如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆2＋2＝ab1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．

答案 27－5

xy

解析 由题意并结合图形得直线lA1B2：＋＝1，即－bx＋ay

－abba＋cxy

＝ab ①，lB1F：＋＝1，即bx－cy＝bc ②，由①②得y＝，

c－ba－c2ac2acba＋c

代入②得x＝，∴T(，)，则线段OT的中点M的坐标

a－ca－ca－cb2a＋c2acba＋ca2c2

为(，)．又M在椭圆上，∴2＋＝1，化a－c2a－caa－c24b2a－c2简得3a2－10ac－c2＝0，两边同时除以a2得e2＋10e－3＝0.又椭圆的离心率满足018．(2104·湖南)

如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a原点O为AD的中点，抛物线y＝2px(p>0)经过C，F两点，则＝a

2

________.

答案

2＋1

解析 根据两正方形的边长及O为AD的中点，求出点C，F的坐标，将两点坐标代入抛物线方程列式求解．

∵正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点，

aa

∴C(，－a)，F(＋b，b)．

22

又∵点C，F在抛物线y2＝2px(p>0)上，

2a＝pa，b∴2解得＝2＋1. aab＝2p2＋b，

x2y2

19．(2014·成都三次诊断)已知双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)的

ab

1＋5离心率为，圆C是以坐标原点O为圆心，实轴为直径的圆．过

2双曲线第一象限内的任一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，其切点分b2

别为A，B.若直线AB与x轴，y轴分别相交于M，N两点，则

2|OM|2a2－的值为________． 2|ON|2答案

5＋1

4

x02y02

解析 由题知P，A，O，B四点共圆，其方程为(x－)＋(y－)2212222

＝(x20＋y0)，又圆C的方程为x＋y＝a，两式作差，得公共弦AB4

22

aa

的方程为x0x＋y0y＝a2，分别令x＝0，y＝0，得|ON|＝，|OM|＝.y0x02

x2y2c0022222

又点P(x0，y0)在双曲线上，故2－2＝1，即b2x20－ay0＝ab.又e＝2aba

a2＋b21＋52b21＋5b2a2b2a2

＝2＝()，所以2＝.故－＝－＝

a2a22|OM|22|ON|22a42a4x2y200

22

b2x2b21＋50－ay0

＝2＝. 2a42a4