山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第6章 西姆松定理及应用

习题A

1．由西姆松定理，知L，M，N三点共线，注意到P，L，N，B及P，M，C，L分别四点共

sinBC圆，知LPNB，LPMC．又由张角定理，有

PLsinBsinCPMPN，即

mnsinAlnsinBlmsinC再应用正弦定理，得mnalnblmc．

2．根据直径所对的圆周角是直角，知BDPADP90，BFPCFP90，CEPAEP90，即知D，A，B；B，F，C；C，E，A分别三点共线．

又PDAB于D，PEAC于E，PFBC于F，P是△ABC外接圆周上一点，由西姆松定理，知D，

E，F三点共线．

3．延长BE，CD相交于点K，延长CG，BF相交于点L．设CG与BE相交于点I，则I为△ABC的

111CAIBACCKI90CIK90BCBAC222内心．由，而，从而A，I，C，K四点共圆．

又ADCK于D，AEKB于E，AGCI于G，A是△ICK外接圆上任一点，由西姆松定理，知D，

E，G三点共线．同理，B，I，A，L四点共圆，AEBI于E，AGIL于G，AFBL于F，由西姆

松定理，知E，G，F三点共线．故F，G，E，D四点共线．

4．设正△ABC外接圆弧AB上任一点P到边BC，CA，AB的距离分别为ha，hb，hc，其垂足分别为D，E，F，正三角形边长为a．由面积等式可得

hahbhc3a2．此式两边平方，得

32hahb2hc22hahbhbhchahca24．

hbhsinPACsinPBDaPB，有haPAhbPB． 由PA同理，haPAhcPC，故haPAhbPBkPC．

又P，F，E，A及P，D，B，F分别四点共圆，有PFDPBDPAC，PDFPBFPCA，

hchhaPBaaPCbaDF，同理，DE,EF，即

得△PFD≌△PAC，故

PAhahchbhahchbkEFDEEF由西姆松定理，知D，E，F共线，即DFFEDE．于是

£hbhahbhahchbhc(DEDFEF)k0，

32hahb2hc2a24． 故

5．设以△ABC的三个顶点为圆心的三圆，皆经过同一点M，而M在△ABC的外接圆上，A与B

另交于D，A与C另交于E，B与C另交于F．

注意到A与B中，公共弦MD连心线AB；A与C中，公共弦ME连心线AC；B与C中，

公共弦MF连心线BC．对△ABC及其外接圆周上一点M，应用西姆松定理，知D，E，F三点共线．

习题B

1．(Ⅰ)设从点P向BC，CA，AB作垂线，垂足分别为X，Y，Z．由对称性，知XY为△PUV的中位线，故UV∥XY同理，VW∥YZ，WU∥XZ．由西姆松定理，知X，Y，Z三点共线，故U，V，W三点共线．

(Ⅱ)由P，C，A，B四点共圆，有PCEABP．亦有PCV2PCE2ABPPBW．

又PCQPBQ，则PCVPCQPBWPBQ．

S△QCV即QCVQBW，从而

S△QBWCVCQBQBW．

S△QAW同理，

S△QCUAWAQCQCUS△QBU，

S△QAVBQBUS△QCVS△QAWS△QBU1AQAVS△QBWS△QCUS△QAV．

于是，

BDCEAFS△QBUS△QCVS△QAW1DCEAFBS△QCVS△QAVS△QBW

由梅勒劳斯定理的逆定理，知D，E，F三点共线．

2．由西姆松定理知P，Q，R三点共线．而DPCDQC90，则D，P，C，Q四点共圆．于是，DCADPQDPR．同理，由D，Q，R，A共圆，有DACDRP．故△DCA∽△DPR．

类似地，△DAB∽△DQP，△DBC∽△DRQ，从而

DADRDBQR/BCQPBADCDPDBPQ/BAPQBC,故

PQQRDABADCBC,而ABC和ADC的角平分线分AC的比分别为

BABCDA和DC．即可证．

3．设P在BC，由PDBPFBPECPEA，知B，P，D，F四点共圆，P，F，A，E四点共圆，从而PFDPBDPBCPAEPFE，故F，D，E共线（当

PBDPECPFB90时，即为西姆松定理）．

4．由PCEA及AA∥BB，有ABGD (G为PA与BB的交点)，即PCEBGD．又

CBBCPB，从而在△BGD和△PCE中，有BDPCEP，即知D，P，E，C四点共圆，有

PDEPCEA，故AA∥DE．

同理，AA∥DF，所以D，E，F共线（当PABC时，即为西姆松定理）．

另证设PB与AB交于点X．注意到BB∥CC，则知BBCC为等腰梯形，有BCBC，即有

BPCBAC．

从而AXPXACAXPXPC．

于是EF．

同理ED，FD．故EDF．

由卡诺定理（即上一题）知D、E、F三点共线．

5．设Q，P顺次在BC上，由PCEPBA．有PCVPBW．又PCQPBQ，有

S△QCNQCVQBW．故S△QBWVCQCPCQCWBQBPBQB．

S△QAW同理，

S△QCUPAQAS△QBVPBQBPCQCS△QAVPAQA,．

于是，

BDCEAFS△QBUS△QCUS△QAWPBQBPCQCPAQA1DCEAFBS△QCUS△QAVS△QBWPCQCPAQAPBQB

由梅勒劳斯定理的逆定理，知D，E，F共线（当P，Q重合时，即为西姆松定理）．

6．设K点在BC上，连OC，则OPOQOC，又POCCOQ，则△OPC∽△COQ，有

2OCPOQC．又OKCOQCKCQ，OCKOCPKCP，而

OCPOQC，知PCKKCQ，即QCV2KCE． OKCOCK， 同理，QBW2KBA．又KCEKBA，则QCVQBW，有

S△QCVS△QBWCVCQPCQCQBWBPBQBS△QAW．同理

S△QCUPAQAS△QBUPBQBPCQCS△QAVPAQA,．故

BDDEAFS△QBUS△QCVS△QAW1DZEAFBS△QCUS△QAVS△QBW，

故D，E，F共线[当P（或Q）在圆周上时，即为西姆松定理]