第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.1 离散型随机变量 课时训练6 离散型随机变量
一、选择题
1.抛掷一枚质地均匀的硬币一次,随机变量为( ). A.掷硬币的次数 B.出现正面向上的次数
C.出现正面向上或反面向上的次数 D.出现正面向上与反面向上的次数之和 答案:B
解析:出现正面向上的次数为0或1,是随机变量. 2.下列随机变量是离散型随机变量的是( ). ①抛5颗骰子得到的点数和; ②某人一天内接收到的电话次数; ③某地一年内下雨的天数; ④某机器生产零件的误差数. A.①②③ C.①④ 答案:A
解析:由离散型随机变量的定义知①②③均是离散型随机变量,而④不是,由于这个误差数几乎都是在0附近的实数,无法一一列出. 3.已知下列随机变量:
①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;
②一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分;
③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X; ④在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数X. 其中X是离散型随机变量的是( ). A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.③④
B.④ D.②③
1
答案:C
解析:③中X的值可在某一区间内取值,不能一一列出,故不是离散型随机变量.
4.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取得黑球,则另换一个红球放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回5个球”的事件为( ). A.X=4 答案:C
解析:第一次取到黑球,则放回1个球,第二次取到黑球,则放回2个球……共放了五回,第六次取到了红球,试验终止,故X=6.
5.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( ).
A.第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品 B.第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品 C.前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品 D.前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品 答案:D
6.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( ). A.20 答案:B
解析:由于后四位数字两两不同,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列,故有=24(种). 二、填空题
7.在考试中,需回答三个问题,考试规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是 . 答案:-300,-100,100,300 解析:若答对0个问题得分-300;
若答对1个问题得分-100; 若答对2个问题得分100; 若问题全答对得分300.
8.一袋中装有5个同样的球,编号依次为1,2,3,4,5,从该袋中随机取出3个球.记三个球中最小编号为ξ,则“ξ=3”表示的试验结果是 . 答案:取出编号为3,4,5的三个球
B.24
C.4
D.18
B.X=5
C.X=6
D.X≤4
2
9.在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取一件,取到次品就停止,取后不放回,抽取次数为X,则“X=3”表示的试验结果是 . 答案:前两次均取到正品,第三次取到次品 三、解答题
10.写出下列各随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果: (1)盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔,从中任意取出3支,其中所含白粉笔的支数ξ; (2)从4张已编号(1~4号)的卡片中任意取出2张,被取出的卡片号数之和ξ. 解:(1)ξ可取0,1,2,3.
ξ=i表示取出i支白粉笔,3-i支红粉笔,其中i=0,1,2,3. (2)ξ可取3,4,5,6,7.
其中ξ=3表示取出编号为1,2的两张卡片. ξ=4表示取出编号为1,3的两张卡片. ξ=5表示取出编号为2,3或1,4的两张卡片. ξ=6表示取出编号为2,4的两张卡片. ξ=7表示取出编号为3,4的两张卡片.
11.一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ. (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值;
(2)若规定抽取3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果都加上6分,求最终得分η的可能取值,并判定η的随机变量类型. 解:(1)
ξ 0 1 取得1取得3 个黑球 个 白球2个 黑球 2 取得2个 白球1个 黑球 取得3 个白球 3 结果
(2)由题意可得η=5ξ+6,而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3},则η对应的各值是5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6,
故η的可能取值为{6,11,16,21},显然η为离散型随机变量.
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12.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果. (1)离开天安门的距离η;
(2)袋中有大小完全相同的红球5个,白球4个,从袋中任意取出一球,若取出的球是白球,则过程结束;若取出的球是红球,则将此红球放回袋中,然后重新从袋中任意取出一球,直至取出的球是白球,此规定下的取球次数ξ.
解:(1)η可取[0,+∞)中的数.η=k表示离开天安门的距离为k(km).不是离散型随机变量.
(2)ξ可取所有的正整数.
{ξ=i}表示前i-1次取出红球,而第i次取出白球,这里i∈N*.
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