江西省吉安一中2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷(文科) Word版含解析

江西省吉安一中2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷（文科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）在直角坐标系中，直线x+y﹣3=0的倾斜角（） A．

B．

C．

D．

2．（5分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（） A． 4x+2y=5 B． 4x﹣2y=5 C． x+2y=5 D．x﹣2y=5 3．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（） A． 2 B． ﹣8 C． 2或﹣8 D．8或2 4．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 其中正确命题的序号是（） A． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D．①和④

5．（5分）在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）

A． 30°

B． 45°

C． 60°

D．90°

6．（5分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，又BC1⊥AC，过C1作C1H⊥

底面ABC，垂足为H，则点H一定在（）

A． 直线AC上 B． 直线AB上 C． 直线BC上 D．△ABC的内部 7．（5分）已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆半径为1，则该几何体体积为 （）

A． 24﹣

B． 24﹣

C． 24﹣π

D．24﹣

8．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为（）

A． 10

B． ﹣10 C． 6 D．﹣6

2

2

9．（5分）已知点P（a，b）关于直线l的对称点为P′（b+1，a﹣1），则圆C：x+y﹣6x﹣

2y=0关于直线L对称的圆C′的方程为（）

2222

A． （x﹣2）+（y﹣2）=10 B． （x﹣2）﹣（y﹣2）=10 C． （x﹣2）2222+（y+2）=10 D． （x+2）+（y﹣2）=10

10．（5分）若直线y=kx﹣1与曲线 A． （0，]

B．

C．

有公共点，则k的取值范围是（）

D．

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11．（5分）已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+11=0平行，则实数m的值是． 12．（5分）一平面截一球得到直径为2cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是． 13．（5分）圆心在直线2x﹣y﹣7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4）、B（0，﹣2），则圆C的方程为．

14．（5分）已知点P（x，y）满足

，过点P的直线l与圆C：x+y=14相交于A、

2

2

B两点，则AB的最小值为． 15．（5分）正三棱锥P﹣ABC的底面边长为1，E，F，G，H分别是PA，AC，BC，PB的中点，四边形EFGH的面积为S，则S的取值范围是．

三、解答题（共6小题，满分75分） 16．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在直线方程为2x﹣y﹣2=0，点C（2，0）．

（1）求直线CD的方程；

（2）求AB边上的高CE所在直线的方程．

17．（12分）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=

，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：

（Ⅰ）EC⊥CD；

（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；

（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．

18．（12分）已知点M（1，m），圆C：x+y=4．

（1）若过点M的圆C的切线只有一条，求m的值及切线方程；

（2）若过点M且在两坐标轴上的截距相等的直线被圆C截得的弦长为2，求m的值． 19．（12分）如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，AB=2，BC=1，DC=，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC．

2

2

（1）求三棱锥C﹣ABE的体积； （2）证明：平面ACD⊥平面ADE；

（3）在CD上是否存在一点M，使得MO∥平面AE？证明你的结论．

20．（13分）已知点P（x，y）为圆C：x+y﹣4x+3=0上一点，C为圆心．

22

（1）求x+y的取值范围； （2）求的最大值； （3）求

21．（14分）已知P是直线l：3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆C：x+y﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A、B是切点．

（1）求四边形PACB面积的最小值；

（2）直线l上是否存在点P，使∠BPA=60°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

2

2

2

2

•（O为坐标原点）的取值范围．

江西省吉安一中2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）在直角坐标系中，直线x+y﹣3=0的倾斜角（）

A． B． C． D．

考点： 直线的倾斜角． 专题： 直线与圆．

分析： 设直线x+得

y﹣3=0的倾斜角为θ，直线方程变形为斜截式：．可

，即可得出．

y﹣3=0的倾斜角为θ，

．

解答： 解：设直线x+直线方程变形为：∴

，

∵θ∈

分析： 先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式． 解答： 解：线段AB的中点为

，kAB=

=﹣，

∴垂直平分线的斜率 k==2，

∴线段AB的垂直平分线的方程是 y﹣=2（x﹣2）⇒4x﹣2y﹣5=0，

故选B．

点评： 本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法． 3．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（） A． 2 B． ﹣8 C． 2或﹣8 D．8或2

考点： 空间两点间的距离公式． 专题： 计算题．

分析： 直接利用空间两点间的距离公式求解即可．

解答： 解：因为空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，

所以=，所以（x+3）=25．解得x=2或﹣8．

2

故选C．

点评： 本题考查空间两点间的距离公式的应用，基本知识的考查． 4．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ

③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 其中正确命题的序号是（） A． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D．①和④

考点： 空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系． 专题： 证明题；压轴题；空间位置关系与距离．

分析： 根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．

解答： 解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l， 又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；

对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题； 对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线， 而平面α是正方体下底面所在的平面，

则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；

对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面， 则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确． 综上所述，其中正确命题的序号是①和② 故选：A

点评： 本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．

5．（5分）在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）

A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°

考点： 异面直线及其所成的角． 专题： 常规题型．

分析： 连接C1B，D1A，AC，D1C，将MN平移到D1A，根据异面直线所成角的定义可知∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角，而三角形D1AC为等边三角形，即可求出此角． 解答： 解：连接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A ∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角 而三角形D1AC为等边三角形

∴∠D1AC=60° 故选C．

点评： 本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．

6．（5分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，又BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H一定在（）

A． 直线AC上 B． 直线AB上 C． 直线BC上 D．△ABC的内部

考点： 棱柱的结构特征． 专题： 证明题．

分析： 由已知中斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，又BC1⊥AC，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面ABC1，故AC⊥平面ABC1内的任一直线，则当过C1作C1H⊥底面ABC时，垂足为H，C1H⊂平面ABC1，进而可以判断出H点的位置． 解答： 解：∵在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°， ∴AB⊥AC

又∵BC1⊥AC，BC1∩AB=B ∴AC⊥平面ABC1，

则C1作C1H⊥底面ABC， 故C1H⊂平面ABC1， 故点H一定在直线AB上 故选B

点评： 本题考查的知识点是棱柱的结构特征，线面垂直的判定定理和性质定理，其中熟练掌握线面垂直的性质定理和判定定理，并熟练掌握它们之间的相互转化是解答本题的关键． 7．（5分）已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆半径为1，则该几何体体积为 （）

A． 24﹣

B． 24﹣

C． 24﹣π

D．24﹣

考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题．

分析： 由三视图知几何体是一个长方体截去一个半圆柱，长方体的长宽高分别是4，2，3，截取的半圆柱的底面圆的半径是1，高是3，体积做差得到结果． 解答： 解：由三视图知几何体是一个长方体截去一个半圆柱， 长方体的长宽高分别是4，2，3 ∴长方体的体积是4×2×3=24，

截取的半圆柱的底面圆的半径是1，高是3，

∴半圆柱的体积是

∴要求的几何体的体积是24﹣

故选A．

点评： 本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出几何体各个部分的长度，本题是一个基础题．

8．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为（）

A． 10 B． ﹣10 C． 6 D．﹣6

考点： 简单线性规划． 专题： 解题思想．

分析： 根据约束条件，作出平面区域，平移直线2x+4y=0，推出表达式取得最小值时的点的坐标，求出最小值．

解答： 解：作出不等式组 ，所表示的平面区域

作出直线2x+4y=0，对该直线进行平移， 可以发现经过点C（3，﹣3）时 z取得最小值﹣6； 故选D．

点评： 本题主要考查线性规划中的最值问题，属于中档题，考查学生的作图能力，计算能力，在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．

9．（5分）已知点P（a，b）关于直线l的对称点为P′（b+1，a﹣1），则圆C：x+y﹣6x﹣2y=0关于直线L对称的圆C′的方程为（）

2222

A． （x﹣2）+（y﹣2）=10 B． （x﹣2）﹣（y﹣2）=10 C． （x﹣2）2222+（y+2）=10 D． （x+2）+（y﹣2）=10

考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程． 专题： 计算题；直线与圆．

22

分析： 依题意，将圆C：x+y﹣6x﹣2y=0的方程化为标准方程（x﹣3）+（y﹣1）=10，可知圆心（3，1）关于直线l的对称点，即圆C′的圆心，从而可得答案． 解答： 解：∵点P（a，b）关于直线l的对称点为P′（b+1，a﹣1），

2222

圆C：x+y﹣6x﹣2y=0的标准方程为：（x﹣3）+（y﹣1）=10， ∴圆心（3，1）关于直线l的对称点为（1+1，3﹣1）即为（2，2），

22

∴圆C′的方程为（x﹣2）+（y﹣2）=10． ∴故选：A．

点评： 本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，求得圆C′的圆心是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．

10．（5分）若直线y=kx﹣1与曲线 A． （0，]

B．

C．

有公共点，则k的取值范围是（）

D．

2222

考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 计算题；数形结合． 分析： 曲线表示圆心为（2，0），半径为1的x轴下方的半圆，直线与曲线有公共点，即直线与半圆有交点，根据题意画出相应的图形，求出直线的斜率的取值范围．

解答： 解：曲线表示圆心为（2，0），半径为1的x轴下方的半圆，

直线y=kx﹣1为恒过（0，﹣1）点的直线系， 根据题意画出图形，如图所示：

则直线与圆有公共点时，倾斜角的取值范围是． 故选：D．

点评： 此题考查了直线与圆的位置关系，考查转化及数形结合的思想，其中根据题意画出相应的图形是解本题的关键．

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11．（5分）已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+11=0平行，则实数m的值是8．

考点： 直线的一般式方程与直线的平行关系． 专题： 计算题．

分析： 由直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+11=0平行，可得=≠解答： 解：∵直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+11=0平行， ∴=≠

，∴m=8，

，解得m的值．

故答案为 8．

点评： 本题考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比．

12．（5分）一平面截一球得到直径为2cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该

3

球的体积是36πcm．

考点： 球的体积和表面积． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： 设球心为O，截面圆心为O1，连结OO1，由球的截面圆性质和勾股定理，结合题中数据算出球半径，再利用球的体积公式即可算出答案．

解答： 解：设球心为O，截面圆心为O1，连结OO1，则OO1⊥截面圆O1， ∵平面截一球得到直径为2cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm， ∴Rt△OO1A中，O1A=cm，OO1=2cm，

∴球半径R=OA=因此球体积V=故答案为：36πcm

3

3

=3cm，

=36πcm，

点评： 本题着重考查了球的截面圆性质、球的体积表面积公式等知识，属于基础题 13．（5分）圆心在直线2x﹣y﹣7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4）、B（0，﹣2），

22

则圆C的方程为（x﹣2）+（y+3）=5．

考点： 圆的标准方程． 专题： 计算题．

分析： 由垂径定理确定圆心所在的直线，再由条件求出圆心的坐标，根据圆的定义求出半径即可．

解答： 解：∵圆C与y轴交于A（0，﹣4），B（0，﹣2）， ∴由垂径定理得圆心在y=﹣3这条直线上．

又∵已知圆心在直线2x﹣y﹣7=0上，∴联立∴圆心C为（2，﹣3）， ∴半径r=|AC|=

2

，解得x=2，

=

2

．

∴所求圆C的方程为（x﹣2）+（y+3）=5．

22

故答案为（x﹣2）+（y+3）=5．

点评： 本题考查了如何求圆的方程，主要用了几何法来求，关键确定圆心的位置；还可用待定系数法．

14．（5分）已知点P（x，y）满足

，过点P的直线l与圆C：x+y=14相交于A、

2

2

B两点，则AB的最小值为4．

考点： 简单线性规划． 专题： 计算题．

分析： 通过约束条件画出可行域，确定P的位置使得到圆心的距离最大，然后求出弦长的最小值．

解答： 解：点P（x，y）满足，P表示的可行域如图阴影部分：

原点到直线x+y=4的距离为OD，所以当P在可行域的Q点时，Q到圆心O的距离最大，当AB⊥OQ时，AB最小． Q的坐标由所以AB=2故答案为：4．

确定，Q（1，3），OQ=

=4．

=

，

点评： 本题考查简单的线性规划，正确画出可行域判断P的位置，是解题的关键． 15．（5分）正三棱锥P﹣ABC的底面边长为1，E，F，G，H分别是PA，AC，BC，PB的中点，四边形EFGH的面积为S，则S的取值范围是（

，+∞）．

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： 由已知中正三棱锥P﹣ABC的底面边长为1，E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，

PD的中点，我们可判断出四边形EFGH为一个矩形，一边长为，另一边长大于底面的外接圆的半径的一半，进而得到答案．

解答： 解：∵棱锥P﹣ABC为底面边长为1的正三棱锥 ∴AB⊥PC

又∵E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点， ∴EH=FG=AB=，EF=HG=PC 则四边形EFGH为一个矩形 又∵PC＞∴EF＞，

∴四边形EFGH的面积S的取值范围是（

，+∞），

， ，

故答案为：（，+∞）

点评： 本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中根据正三棱锥的结构特征，判断出AB⊥PC这，进而得到四边形EFGH为一个矩形是解答本题的关键．

三、解答题（共6小题，满分75分） 16．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在直线方程为2x﹣y﹣2=0，点C（2，0）．

（1）求直线CD的方程；

（2）求AB边上的高CE所在直线的方程．

考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的点斜式方程． 专题： 计算题．

分析： （1）利用四边形ABCD为平行四边形，边AB所在直线方程为2x﹣y﹣2=0，确定CD的斜率，进而我们可以求出直线CD的方程；

（2）求出AB边上的高CE的斜率，从而可以求出AB边上的高CE所在直线的方程． 解答： 解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD．﹣﹣﹣（1分） ∴kCD=kAB=2．﹣﹣﹣﹣﹣（3分） ∵点C（2，0）

∴直线CD的方程为y=2（x﹣2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分） 即2x﹣y﹣4=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

（2）∵CE⊥AB，∴∵点C（2，0） ∴直线CE的方程为

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）

即x+2y﹣2=0

点评： 本题考查直线方程，考查两直线的平行与垂直，解题的关键在于确定所求直线的斜率，属于基础题．

17．（12分）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=

，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：

（Ⅰ）EC⊥CD；

（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；

（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 专题： 综合题；空间位置关系与距离．

分析： （Ⅰ）利用面面垂直的性质，证明EC⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质证明EC⊥CD；

（Ⅱ）在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，证明四边形ADMG为平行四边形，可得AG∥DM，即可证明AG∥平面BDE； （Ⅲ）利用分割法即可求出几何体EG﹣ABCD的体积． 解答： （Ⅰ）证明：由平面ABCD⊥平面BCEG，

平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE⊂平面BCEG， ∴EC⊥平面ABCD，…（3分）

又CD⊂平面BCDA，故EC⊥CD…（4分）

（Ⅱ）证明：在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，

则由已知知；MG=MN，MN∥BC∥DA，且，

∴MG∥AD，MG=AD，故四边形ADMG为平行四边形，∴AG∥DM…（6分） ∵DM⊂平面BDE，AG⊄平面BDE，∴AG∥平面BDE…（8分） （Ⅲ）解：=

…（12分）

…（10分）

点评： 本题考查面面垂直、线面平行，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用面面垂直、线面平行的判定定理是关键．

18．（12分）已知点M（1，m），圆C：x+y=4．

（1）若过点M的圆C的切线只有一条，求m的值及切线方程；

（2）若过点M且在两坐标轴上的截距相等的直线被圆C截得的弦长为2，求m的值．

考点： 直线和圆的方程的应用． 专题： 综合题；直线与圆．

分析： （1）根据直线与圆的位置关系，经过圆上一点作圆的切线有且只有一条，因此点

22

A在圆x+y=4上，将点A坐标代入圆的方程，解出m．再由点A的坐标与直线的斜率公式算出切线的斜率，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到所求切线的方程；

（2）由题意，直线不过原点，设方程为x+y﹣a=0，利用直线被圆C截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为1，求出直线的方程，即可求出m的值． 解答： 解：（1）圆x+y=4的圆心为O（0，0），半径r=2． ∵过点A的圆的切线只有一条，

2222

∴点A（1，m）是圆x+y=4上的点，可得1+m=4，解之得m=±当m=时，点A坐标为（1，），可得OA的斜率k=． ∴经过点A的切线斜率k'=﹣

，

=﹣

（x﹣1），化简得x+

y﹣4=0；

y﹣4=0．

y﹣4=0．

2

2

22

．

因此可得经过点A的切线方程为y﹣

同理可得当m=﹣时，点A坐标为（1，﹣），经过点A的切线方程为x﹣

∴若过点A的圆的切线只有一条，则m的值为±，相应的切线方程方程为x±（2）由题意，直线不过原点，设方程为x+y﹣a=0， ∵直线被圆C截得的弦长为2， ∴圆心到直线的距离为1， ∴

=1，

∴a=±，

∴所求直线方程为x+y±=0， ∴m=﹣1±．

点评： 本题给出圆的方程与点A的坐标，求经过点A的圆的切线方程．着重考查了圆的方程、直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题． 19．（12分）如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，AB=2，BC=1，DC=，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC． （1）求三棱锥C﹣ABE的体积； （2）证明：平面ACD⊥平面ADE；

（3）在CD上是否存在一点M，使得MO∥平面AE？证明你的结论．

考点： 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： （1）利用平行四边形的性质得到AC的长度，利用体积公式解答； （2）利用面面垂直的判定定理，只要DE⊥平面ADC；

（3）在CD上存在点M，使得MO∥平面ADE，M为DC 的中点；利用线面平行的判定定理和性质定理解答． 解答： 解：（1）∵四边形DCBE为平行四边形， ∴CD∥BE，

∵DC⊥平面ABC， ∴AB是圆O的直径，

∴BC⊥AC，∴AC=∴S△ABC=AC∴VC﹣ABE=

BC=

=

，

，又BE=DC=

，

=；

（2）∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴DC⊥BC，

∵BC⊥AC，并且DC∩AC=C， ∴BC⊥平面ADC． ∵DE∥BC，

∴DE⊥平面ADC， 又∵DE∥BC，

∴DE⊥平面ADC，

∴平面ACD⊥平面ADE；

（3）在CD上存在点M，使得MO∥平面ADE，M为DC 的中点； 证明：取BE的中点N，连接MO，MN，NO， ∴M，N，O分别为CD，BE，AB的中点， ∴MN∥DE，

∵DE⊂平面ADE，MN⊈平面ADE， ∴MN∥平面ADE，

同理可得NO∥平面ADE， ∵MN∩NO=N，

∴平面MNO∥平面ADE，

∵MO⊂平面MNO， ∴MO∥平面ADE．

点评： 本题考查了空间线面关系的评定和证明；考查了线面平行是判断和性质定理的运用以及线面垂直的判断和性质．

20．（13分）已知点P（x，y）为圆C：x+y﹣4x+3=0上一点，C为圆心．

22

（1）求x+y的取值范围； （2）求的最大值； （3）求

•

（O为坐标原点）的取值范围．

2

2

考点： 圆方程的综合应用． 专题： 综合题；直线与圆．

分析： （1）将圆C化为标准方程，找出圆心与半径，作出相应的图形，所求式子表示圆

22

上点到原点距离的平方，从而求x+y的取值范围；

（2）令=k，则y=kx，代入圆的方程，利用△≥0，求的最大值； （3）

•

=（2﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x+y﹣2x=2x﹣3，即可求

2

2

•（O为坐标

原点）的取值范围．

22

解答： 解：（1）圆C化为标准方程为（x﹣2）+y=1，圆心为（2，0），半径为1

222

根据图形得到P与A（3，0）重合时，离原点距离最大，此时x+y=3=9，P与B（1，0）

222

重合时，离原点距离最大，此时x+y=1=1． 22

∴x+y的取值范围是； （2）令=k，则y=kx．

代入圆的方程，整理得（1+k）x﹣4x+3=0．

依题意有△=16﹣12（1+k）=4﹣12k=4（1﹣3k）≥0，即k﹣≤0， 解得﹣

≤k≤

， ；

2

2

2

2

2

2

2

2

故的最大值是（3）

•

=（2﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x+y﹣2x=2x﹣3，

∵1≤x≤3，

∴﹣1≤2x﹣3≤3， ∴

•

（O为坐标原点）的取值范围是．

点评： 本小题主要考查直线和圆相交，相切的有关性质，考查数形结合、化归转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．

21．（14分）已知P是直线l：3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆C：x+y﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A、B是切点．

（1）求四边形PACB面积的最小值；

（2）直线l上是否存在点P，使∠BPA=60°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

22

考点： 直线和圆的方程的应用． 专题： 综合题；直线与圆．

分析： （1）由圆C的标准方程可得圆心为（1，1），半径为1，由于四边形PACB面积等

于2×PA×AC=PA，而PA=，故当PC最小时，四边形PACB面积最小，又PC的

最小值等于圆心C到直线l的距离d，求出d 即可得到四边形PACB面积的最小值；

（2）假设存在一点使∠BPA=60°，此时∠CPA=30，根据直角三角形性质可知，圆心到直线上P（x，y）点距离为半径2倍，也就是2，可见它小于圆心到直线的最短距离3，可得结论．

2222

解答： 解：圆C：x+y﹣2x﹣2y+1=0，即（x﹣1）+（y﹣1）=1，表示以C（1，1）为圆心，以1为半径的圆．

由于四边形PACB面积等于2×PA×AC=PA，而PA=故当PC最小时，四边形PACB面积最小．

又PC的最小值等于圆心C到直线l：3x+4y+8=0 的距离d，而d=故四边形PACB面积的最小的最小值为

=2

；

=3，

，

（2）假设存在一点使∠BPA=60°，此时∠CPA=30，根据直角三角形性质可知，圆心到直线上P（x，y）点距离为半径2倍，也就是2，可见它小于圆心到直线的最短距离3，因此该点不存在．

点评： 本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，判断故当PC最小时，四边形PACB面积最小，是解题的关键．