第３卷 第ｌ８期（２００９年） 第１１９—１２０页 中学课程辅导・教学研究 Ｓｅｃｏｎｄａｒｙ Ｓｃｈｏｏｌ Ｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ Ｃｏａｃｈｉｎｇ・Ｔｅａｃｈｉｎｇ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｖｏｌ ３． （２００９） Ｎｏ．１８ Ｐ１ １９一Ｐ１２０ 常用逻辑用语学习中的常见错误 沈芬君 摘要：本文分析了数学常用逻辑用语教学实践中出现的错误，并给出了一些建议。 关键词：逻辑用语；错误；数学 中图分类号：Ｇ６３２．０ ’ 文章编号：１９９２—７７１１（２００９）１８—０１１９—０２ 文献标识码：Ａ 我国最新《普通高中数学课程标准（实验）》中明确 指出：“正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备 的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工 作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维 ”通过 学习常用逻辑用语，使学生能“体会逻辑用语在表述和 论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容． 更好地进行交流。”常用逻辑用语由“命题及其关系”、“简 单的逻辑联结词”和“全称量词与存在量词”三部分组 成，在教学实践中，笔者发现学生中存在一些比较常见 的错误： 一、简单命题与复合命题问题 不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为简单 命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题。 所以，在判断命题形式或书写复合命题时，大部分学生 都认为一旦句子中含有逻辑联结词“或”、“且”就是复合 命题，不含就是简单命题，导致出错。 例ｌ：命题Ｐ：对角线互相垂直的四边形是菱形。命 题ｑ：对角线互相平分的四边形是菱形。请写出“ｐ或ｑ”、 ｐ且ｑ”形式的复合命题。 作业反馈得到的情况是两个班级没有一个学生答 对，他们都认为“复合命题Ｐ或ｑ”是“对角线互相垂直或 互相平分的四边形是菱形”：“命题Ｐ且口”是“对角线互 相垂直且互相平分的四边形是菱形”。学生虽然把“或” 与“且”写进了新的命题，但其实并不符合要求 他们只 不过把两个命题的条件按照要求复合了，所以都是复合 条件的简单命题 为了纠正这一错误．首先笔者要求学生运用“真值 表”分析他们的回答。因为命题Ｐ、ｑ都是假命题，所以Ｐ 或ｑ，／９且口也都应该是假命题，但命题“对角线互相垂 直且互相平分的四边形是菱形”却是真命题，所以按学 生们的方法构造新的复合命题肯定有错。 然后．笔者强调教材中规定：用逻辑联结词“且”、 “或”把命题Ｐ和命题ｑ联结起来，得到的新命题分别称 为Ｐ且ｑ命题、ｐ或ｑ命题．这里的“且”、“或”必须是逻 辑联结词，作为逻辑联结词“且”、“或”和作为一般连词 “且”、“或”是有区别的，作为逻辑联结词“且”、“或”用来 “最后，帮助学生认识到：“对角线互相垂直的四边形 是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形”才是Ｐ或口 形式，“对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相 平分的四边形是菱形”才是Ｐ且ｑ形式。 二、命题真假判断问题 在数学中，可以判断真假的陈述句是命题，其中判断 为真的语句叫做真命题，判断为假的命题为假命题。判断 真假的方法很多，可根据学过的定义、定理、公理、公式、 事实、能否举出反例等来判断，但像下面这种特殊命题 判断真假时学生出错较多 例２：命题：“若ｋ＜０，则方程 ＋（２ｋ＋１）ｘ＋ｋ＝０必有两 个相异实数根”的逆否命题是——命题（填真或 假） 有些学生的思路是先写出其逆否命题再判断其真 假，他们认为命题“若ｋ＜０，则方程 ＋（２ｋ＋１）ｘ＋ｋ＝Ｏ必有 两个相异实数根”的逆否命题是“若方程ｘ２＋（２ｋ＋１）ｘ＋ｋ＝Ｏ 没有两个相异实数根，贝Ｉｊ晟≥０”，而若方程 ＋（２后＋１）卅 ｋ＝Ｏ没有两个相异实数根，则△≤０，即：（２ ＋１） 一４ｋ≤０， 解得舭：＋１≤０．得ｋ无解，学生认为这样的ｋ都不存在， 怎么能确定其大于等于０呢？从而它是假命题。 笔者认为学生这一错误的主要原因是他们认为命 题“若ｋ无解，则‘ ≥０”是假命题。为此，笔者提醒学生“ｋ 无解”就是ｋ∈ ，“ ≥０”就是“ｋ属于非负实数”，而属于 空集的元素属于任何集合，所以命题“若 无解，则ｋｉ＞０” 是真命题．从而命题“若方程 ｚ＋（２七＋１）ｘ＋ｋ＝０没有两个 相异实数根，则ｋ＜０”是真命题。 三、命题的否定问题 般地，对一个命题Ｐ的全盘否定，就得到一个新 命题，记作 Ｐ，读作“非Ｐ”或“Ｐ的否定”。在教学中，发现 学生会因为放错“不”的位置导致没有真正否定结论。 例３：“全等三角形一定是相似三角形”的否定是 一（ ） Ａ．全等三角形一定不是相似三角形 Ｂ．不相似三角形不一定是全等三角形 Ｃ．不相似三角形一定不是全等三角形 Ｄ。全等三角形不一定是相似三角形 联结两个命题或语句，作为连词“且”、“或”用来联结两 个对象。 受思维定势的影响，想起以往教师一再强调“都是” 的否定是“不都是”．学生认为“一定”的否定是“不一 作者简介：沈芬君，任教于浙江省绍兴县越崎中学。 圈Ｉ 沈芬君 常用逻辑用语学习中的常见错误 定”，马上选了Ｄ。其实“不一定全等”含了“全等”与“不 全等”两类，使其在简易逻辑的范围内无法判断其真假， 在简易逻辑中不能再看成命题，从而Ｄ不是一个命题， 所以学生的回答是错的。 何为“可以判断真假”？即可以下肯定的判断或否定 的判断。当一个语句的主项概念所指对象不确定时，这 个语句就不是命题。类似的词除了“一定”，还有“必然”、 “可能”等，事实上像这种包含“必然”、“可能”等逻辑常 项的逻辑系统叫“模糊逻辑”，超出了简易逻辑的讨论范 围，这些“必然”、“可能”、“一定”等类似的词是语气助 不同交点， 所以抛物线ｙ＝ ＋，础一１与 轴的两个交点在【０，３】 ……① 同时抛物线＇，＝ ２＋， 一１的顶点在直线ＡＢ：ｘ＋ｙ－３＝Ｏ 的上方……② ｒ一３％３ｍ一１≤０ 由①得｛０＜号＜３ 得２＜ｍ≤ 【△＝ｍｚ－４＞Ｏ 由②得詈＋（ ｍ２—１）一３＞０解得ｍ＜一１一、／可或ｍ＞一１＋ 词，不是谓语动词，这里的“是”才是谓语动词，因此“一 定是”的否定是“一定不是”，因此正确的答案是Ａ。 四、命题的否定与命题的否命题问题 命题的否定与命题的否命题虽只一字之差，但两者 综上得一ｌ＋Ｖ ＜ｍ≤ 。反之也成立。 是不同的，学生在学习时常出错。 这一解法存在几点错误：ｆ１）充分性、必要性的概念 例４：写出命题“实数的绝对值是正数”的否命题是 不清。（２）推理能力欠缺。有许多同学通过粗糙的图形， ．．．．．．．．．．．．．．． －．．．．一（） 认为其充要条件是抛物线ｙ＝一 ＋眦一ｌ与 轴的两个交 有一些学生认为其否命题是“实数的绝对值不是正数”， 点在ｆ０，３１上，同时抛物线＇，＝ ：＋， 一１的顶点在直线ＡＢ 也有一部分学生认为是“不是实数的绝对值不是正数”。 的上方，使ｍ的范围扩大。 认为否命题是“实数的绝对值不是正数”的同学，其 本题笔者结合几何画板，让学生认识到：当抛物线 实是混淆了命题的否定与命题的否命题两个不同的概 ｙ＝叫２＋ｍ３ｃ一１的顶点在直线ＡＢ：ｘ＋ｙ一３＝０的下方时，也可 念。首先，两者的存在性不同：任一命题Ｐ都有它的否定 以符合题意。事实上，抛物线的顶点不一定非要在直线 命题，即“非Ｐ”。而否命题是就原命题而言的，如果一个 的上方不可，只需抛物线＇，＝ ｚ＋ 一１上存在这样的点， 命题不是“若Ｐ则ｑ”或者不可以改写成这种形式，那就 使得它在直线ＡＢ： ＋ｙ一３＝０的上方。这是一个特称命题， 无所谓否命题。其次，如果原命题是“若Ｐ则ｑ”，那么这 要解决这个问题，我们可采用它的反面求解，即：抛物线 个命题的否命题是“若非Ｐ，则非口”，而这个命题的否定 ’，： ＋，碱一１上任意点都在直线ＡＢ：ｘ＋ｙ一３＝０下方，也就 是“若Ｐ则非ｑ”。再次．两者的真假性不一定一致。因命 是 — ２＋，础一１—３≤０恒成立。从而△＝（ｍ＋１）２－４Ｘ４≤０，解 题的否定的结论构成的集合是原命题的结论构成集合 得一５≤ｍ≤３。当然此题也可采用方程思想求解，这里不 的补集，所以命题的否定与原命题一定是一真一假，而否 再介绍。 命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假．否 常用逻辑用语是数学语言的组成部分，是描述、判断、 命题与原命题的真假之间没有关系。 推理的工具，学习数学离不开常用逻辑用语。在逻辑的 另一方面笔者又引导学生，该命题的否定并非是“实 教学中，教师一定要谨慎，不要想当然，随意出题，多斟 数的绝对值不是正数”。其实命题“实数的绝对值是正数” 酌：也可以和语文老师沟通，探讨语言、语法结构上的判 是省略了全称量词的全称命题：“（所有）实数的绝对值 断词、联结词、量词与数学语言的差别和联系，在一些命 （都）是正数”。既然要求写出否命题，所以先写成“若Ｐ 题的表述过程中将文字语言与数学符号有机地结合起 则ｑ”的形式，再写出“若非Ｐ，则非ｑ”。原命题“实数的绝 来使用；同时应多注意培养、提高学生转换命题与构造 对值是正数”可表述为“若 为实数，则 的绝对值是正 命题的能力，使学生能在自己的创造过程中发现问题。作 数”，所以正确的否命题是“存在某个数不是实数．其绝 为教师，我们不要害怕学生出错，要宽容学生的错误，找 对值不是正数”，或者说“存在某个非实数．其绝对值不 出错误的原因，提取错解中的合理成分，只有当学生自 是正数”。 命题的否定形式是“实数的绝对值不都是正 主参与，在活动中经历错误矫正，才能更好地感悟数学， 数”，或者说，“存在一个实数的绝对值不是正数”。 形成正确的认识。 五、充分必要问题 条件的充分性与必要性是教学中的又一个难点．学 参考文献： 生对到底是充分条件还是必要条件常有疑问。 【１】人民教育出版社中学数学室．全日制普通高级中学教 例５：已知抛物线 ２＋懈一１和点Ａ（３，０）、Ｂ（Ｏ，３）， 科书ｆＳ】．北京：人民教育出版社，２０００． 求抛物线ｙ＝ ＋，碱一１与线段ＡＢ有两个不同交点的充 【２】樊洪安，肖渊明．有关“命题”的几个问题的教与学【Ｊ］． 要条件。 中学数学研究，２００７（３）． 有许多同学的解法如下： 充分性：因为抛物线，，＝ ２．卜， 一１与线段ＡＢ有两个 （作者单位：浙江省绍兴县越崎中学 ３１２０５０） Ｃｏｍｍｏｎ Ｅｒｒｏｒｓ ｉｎ Ｓｔａｐｌｅ Ｌｏｇｉｃａｌ Ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ Ｌｅａｒｎｉｎｇ Ｓｈｅｎ Ｆｅｎｊｕｎ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ａｎａｌｙｚｅｓ ｓｏｍｅ ｅｒｒｏｒｓ ｉｎ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｌｏｇｉｃａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ ａｎｄ ｐｕｔｓ ｆｏｒｗａｒｄ ｓｕｇｇｅｓｔｉｏｎｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｌｏｇｉｃａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ；ｅｒｒｏｒｓ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ 中学课程辅导・教学研究
