平方根与算术平方根概念辨析

平方根与算术平方根概念辨析

平方根与算术平方根是初中数学中的两个重要概念，因为它们定义相近，联系紧密，所以初学的同学很容易混淆。为帮助同学们正确理解和区分这两个概念，现将它们的区别与联系总结如下：

一、区别： 1、定义不同。

平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即2是4的平方根，

，那么这个数x叫做a的平方根。例如，

，

，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。

，那么这个正数x叫做a的算术平方根（特

，但－2不是正数，所

算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即别规定：0的算术平方根是0）。例如，以－2不是4的算术平方根。

2、表示方法不同。

平方根：一个非负数a的平方根记做

，正数2是4的算术平方根。虽然

。例如，5的平方根记做。

。

算术平方根：一个非负数a的算术平方根记作。例如，5的算术平方根记作

3、个数不同。

平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。例如，16的平方根有两个，一个是4，另一个是－4。 算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个，且这个数是正数。例如，16的算术平方根只有一个，是4。

二、联系

1、二者之间存在着从属关系。

一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根，算术平方根是平方根中的一个。

例如，的两个平方根是，其中是的算术平方根。

2、二者被开方数的取值范围相同。

只有非负数才有平方根，负数没有平方根。

只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根。 一个数没有平方根，它一定也没有算术平方根。

三、典型例题

例1 求下列各数的平方根。

（1）121 （2） 解：（1）因

（3）0 （4），故121的平方根是

。

（2）因（3）因（4）因

，故的平方根是。

，故0的平方根是0。

，故

的平方根是

。

评析：求数a的平方根，就是要把平方后等于a的数都找出来。正数的平方根有两个，不要丢掉负的平方根。

例2 求下列各数的算术平方根。

（1）225． （2） 解：（1）因

（3）0.49 （4），故225的平方根是

，取正的平方根，即225的算术平方根是15。

（2）因（3）因（4）因

，故的算术平方根是，即。

。

，故0.49的算术平方根是0.7，即，而

，所以

的算术平方根是5。

评析：求正数a的算术平方根，只需找出平方后等于a的正数。

例3 下列说法是否正确？为什么？ （1）5是25的平方根。 （2）25的平方根是5。 解：（1）正确。因（2）不正确。因

，所以5是25的平方根。 都等于25，所以25的平方根是

。

，那么x就是a的平方根，求a的平方根，

评析：判断x是不是a的平方根，只需看则需将所有平方后等于a的数全部找出来。

例4 下列说法正确的是（ ） A. －5是B. 81的平方根是

的算术平方根

是否等于a，若

C. 2是－4的算术平方根 D. 9的算术平方根是

解：选B。 评析：解答此题的关键是理解、掌握平方根和算术平方根的联系和区别。只有非负数才有平方根和算术平方根，所以选项C错误；一个正数有两个平方根，其中正的平方根才叫做算术平方根，所以选项A、D错误。

例5 求下列各式的值。

（1） 解：（1）（2）

（2）

（3） （4）

（3）（4）

表示a的平方根，

表示a的算术平方根，

表示

评析：解这类题的关键是弄清三种符号的意义：a的负的平方根。

例6 下列各式正确的是（ ） A. C. 解：选D

B. D.

评析：解答此题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义和表示方法。一个正数a的平方根记为结果是互为相反数的两个数，所以C错误。一个正数a的算术平方根记为错误。

，它的

，它的结果是一个正数，所以A、B