2014届高考数学一轮复习 第3章《三角函数、解三角形》(第4课时)知识过关检测 理 新人教A版

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第3章《三角函数、

解三角形》（第4课时）（新人教A版）

一、选择题

1

1．(教材习题改编)下列各式的值为的是( )

4

2π2

A．2cos－1 B．1－2sin75°

122tan22.5°C. D．sin15°cos15° 2

1－tan22.5°

ππ332tan22.5°2

－1＝cos＝；1－2sin75°＝cos150°＝－；2126221－tan22.5°

11

＝tan45°＝1；sin15°cos15°＝sin30°＝.

24

2

2．已知sinα＝，则cos(π－2α)等于( )

3

解析：选D.2cos

2

A．－5 31B．－

9D.5 3

1C. 9

4122

解析：选B.cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sinα)＝2sinα－1＝2³－1＝－. 99

π1

3．(2011²高考辽宁卷)设sin＋θ＝，则sin2θ＝( )

43

71A．－ B．－

9917C. D. 99

7π122π

解析：选A.sin2θ＝－cos＋2θ＝2sin＋θ－1＝2³－1＝－.

9243

37ππ4．(2012²高考山东卷)若θ∈，，sin2θ＝，则sinθ＝( ) 842

34A. B. 55C.7 4

3D. 4

πππ解析：选D.因为θ∈，，所以2θ∈，π，所以cos2θ≤0，所以cos2θ＝4221193222

－1－sin2θ＝－.又cos2θ＝1－2sinθ＝－，所以sinθ＝，所以sinθ＝，选

881

D.

24θ

5．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝，则cos的值为( )

252

1

A.35 B.45 C．±345 D．±5

解析：选C.∵θ为第二象限角， ∴θ2为第一、三象限角．∴cosθ

2

的值有两个． 由sin(π－θ)＝2425，可知sinθ＝24

25，

∴cosθ＝－725.∴2cos2θ

182＝25. ∴cosθ32＝±5.

二、填空题

6．(预测题)已知sinα＝35且α∈π2，π，则sinπ

α＋3＝ ________.

解析：∵α∈π32，π，且sinα＝5， ∴cosα＝－1－sin2α＝－

1－352

4

＝－5，

∴sin

α＋π3＝sinαcosππ3＋cosαsin3 ＝35³12＋4－533－43³2＝10. 答案：3－4310

7．(2013²烟台质检)已知6sinx＋2cosx＝1

m，则m的取值范围是________．解析：6sinx＋2cosx＝22sinπ

x＋6.

∴－22≤122

m≤22，解得m≤－4或m≥4.

答案：－∞，－24∪24，＋∞ 8．若

cos2α

＝－2

，则cosα＋sinsin

α－π42

α＝________. 解析：cos2α

sinπα－4 ＝

cosα－sinαcosα＋sinα2＝－22

sinα－cosα2

， 则cosα＋sinα＝1

2

.

答案：12

2

三、解答题

9．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x.

π(1)求f的值； 4

2α(2)设α∈(0，π)，f＝，求sinα的值．

22

解：(1)∵f(x)＝sin2x＋cos2x，

πππ∴f＝sin＋cos＝1. 224

2α(2)∵f＝sinα＋cosα＝. 22

π1π3∴sinα＋＝，cosα＋＝±. 4242

ππsinα＝sinα＋－ 441222∓63

＝³－±³＝. 22224∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.故sinα＝

2＋6

. 4

ππ2π

10．已知函数f(x)＝2sin＋x－3cos2x，x∈，.

442

(1)求f(x)的最大值和最小值；

ππ(2)若不等式|f(x)－m|＜2在x∈，上恒成立，求实数m的取值范围． 42

π解：(1)f(x)＝1－cos＋2x－3cos2x 2

π＝1＋sin2x－3cos2x＝1＋2sin2x－， 3

ππ2πππ又∵x∈，，∴≤2x－≤， 63342ππ1∴≤sin2x－≤1，即2≤1＋2sin2x－≤3. 332

∴f(x)max＝3，f(x)min＝2.

ππ

(2)∵|f(x)－m|＜2⇔f(x)－2＜m＜f(x)＋2≤x≤.

24

∴m＞f(x)max－2且m＜f(x)min＋2， ∴1＜m＜4，即m的取值范围是(1,4)．

一、选择题

sinα＋cosα1

1．(2012²高考江西卷)若＝，则tan2α＝( )

sinα－cosα2

33A．－ B.

4444C．－ D.

33

sinα＋cosα1

解析：选B.∵＝，∴2sinα＋2cosα＝sinα－cosα，整理得sinα＝

sinα－cosα2

3

sinα2tanα3

－3cosα，即＝－3＝tanα，∴tan2α＝＝.故选B. 2

cosα1－tanα4

3π2．若cosx－＝－，则sin2x的值为( )

44

A.

2

42 4

1B．－

81D. 8

C．－ππ1π322解析：选D.sin2x＝cos－2x＝cos2x－＝2cosx－－1＝2³－－1＝. 2244

二、填空题

3．设α是第二象限的角，tanα＝－43，且sinα2＜cosα2，则cosα

2

＝________.

解析：∵α是第二象限的角， ∴α

2可能在第一或第三象限后半段， 又sinαα2＜cos2. ∴α2为第三象限的角．∴cosα

2

＜0. ∵tanα＝－43，∴cosα＝－3

5，

∴cosα

1＋cosα5

2＝－

2＝－5

. 答案：－

55

4．在△ABC中，已知cos

π4＋A

＝35，则cos2A的值为________．

解析：cosπ4＋Aππ＝cos4cosA－sin4sinA ＝

22(cosA－sinA)＝3

5

， ∴cosA－sinA＝325

＞0.①

∴0＜A＜ππ

4，∴0＜2A＜2

. 由①两边平方得1－sin2A＝18

25

，

∴sin2A＝7

25

.

∴cos2A＝1－sin2

2A＝2425

. 答案：2425 三、解答题

5．(2011²高考天津卷)已知函数f(x)＝tanπ

2x＋4， (1)求f(x)的定义域与最小正周期；

84

(2)设α∈0，π4，若fα2＝2cos2α，求α的大小．

解：(1)由2x＋π4≠π

2

＋kπ，k∈Z，

所以x≠π8＋kπ

2

，k∈Z.

所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠πkπ

8＋2

，k∈Z}，

f(x)的最小正周期为π

2

.

(2)由fα2＝2cos2α得tan

α＋π4＝2cos2α， sinα＋π4cosπ

α＋4＝2(cos2α－sin2

α)， 整理得sinα＋cosαcosα－sinα＝2(cosα－sinα)(cosα＋sinα)，因为α∈

0，π4，所以sinα＋cosα≠0，

因此(cosα－sinα)2

＝12

，

即sin2α＝12，因为α∈π

0，4，

所以α＝π

12

.

5