安徽工业大学概率论与数理统计BA卷答案及评分标准

一 1 0.6 ； 2 0.8 ；3 0.5328 ；4 20 ；5 1 ；6 0.25； 二 1 2 3 4 5 6 答案 D A B B A B 三1解：（1）由分布函数的性质F()0,F()1,知

AB(2)0AB(2)1 所以A112,B 即F(x)121arctanx，x 4分 （2）P(1X1)F(1)F(1)

(121arctan1)(121arctan(1)) 1214121(4)12 8分

（3）f(x)F(x)(112arctanx)

1(1x2),x 12分 2解：因为X与Y是两个相互的随机变量，所以

fZ(z)fX(zy)fY(y)dy 2分

当0z1时，0yz，此时fzZ(z)zy0edy1e 4分

当z1时，z1yz，此时

fyzZ(z)zz1edye1ez(e1)ez 6分

当z0时，fZ(z)06分

1ez0z1所以f(e1)ezZ(z)z1 8分

0其他3解： F(Y)P(Yy)P(eXy) 2分

2 当y0,F(Y)P(Xlny)1x22lnyedx 4分

当y0,F(Y)0 6分

1(lny)2所以f(y)F(Y)e2y0Y 6分

y20y04解：因为(X,Y)关于X的边缘密度函数为： fX(x)f(x,y)dy104xydy2x

即fx1X(x)2x,0,其他， 3分

0同理可得f2y,0y1Y(y)0,其他 5分

所以对任意实数x,y均有f(x,y)fX(x)fY(y)，

故X与Y是相互的。 8分 5解：令ZXY，则Z～N(0,2)

min(X,Y)XYXY2 所以 2分

Emin(X,Y)EXYXY2EXEYEZ1EZ22EZ1z24z22edz1z240zedz2 3分

所以Emin(X,Y)12EZ1 5分 6解：设Bi抽取的是第i班 i=1，2，3

A抽取的第一位同学是已献血的，

C抽取的第二位同学是未参加献血的 1分

（1）由全概率公式

P(A)P(B1)P(AB1)+PB2PAB2+P(B3)P(AB3) 1121151204331632532560 3分 （2）即求P(AC)P(AC)P(C)

P(AC)P(B1)P(ACB1)P(B2)P(ACB2)P(B3)P(ACB3)131241151012053716153252432524180 P(CBAB1244341)P(CAB1)P(C1)1615161516

P(C)P(B1)P(CB1)P(B2)P(CB2)P(B3)P(CB3)

13416110151732532560 所以P(AC)P(AC)P(C)3751 5分

7 证明：

P(XY1)P(X1,Y1)P(X1,Y1)P(AB)P(AB)

P(XY1)P(X1,Y1)P(X1,Y1)P(AB)P(AB)

EX1P(A)1P(A)P(A)P(A)

同理EYP(B)P(B) 2分

EXEYP(A)P(A)P(B)P(B)2P(A)12P(B)14P(A)P(B)2P(B)2P(A)1

E(XY)1P(AB)P(AB)1P(AB)P(AB)4P(AB)2P(B)2P(A)1 4分

所以，若X和Y不相关，则Cov(X,Y)0，即E(XY)EXEY 由上面所得P(AB)P(A)P(B)，从而A与B相互。

若A和B相互，即P(AB)P(A)P(B)，则E(XY)EXEY 所以，X和Y不相关。 5分