江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)2023届高三三模数学试题及答案

宿迁七市2023届高三第三次调研测试

数学

本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知U＝R，A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x||x－3|＞1}，则A∪A.{x|1≤x≤4}C.{x|1≤x＜2}ðUB＝（）B.{x|2≤x≤3}D.{x|2＜x≤3}

2.设向量a,b均为单位向量，则“ab”是“2aba2b”的（A.充分不必要条件C.必要不充分条件B.充要条件）D.既不充分也不必要条件3.某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（A.120种B.240种）C.360种D.480种4.星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为Er

3

EP107，其中EP是激光器输出的单脉冲能量，Er是S水下潜艇接收到的光脉冲能量，S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：km2，光斑第1页/共26页面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减T满足10lg

Er（单EP位：dB）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2，则此时Γ大小约为（A－76.02）（参考数据：1g2≈0.301）B.－83.98C.－93.01D.－96.02.

其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为5.已知底面半径为r的圆锥SO，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（A.29r，3）C.23B.39D.2392x2

6.已知F为椭圆C：y21的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：x2y31上4一点，则PQ＋PF的最大值为（A.3C.423）B.6D.523）D.7已知cos40cos40cos800，则tan（.

A.3B.

33C.33）38.已知log2alog3b，log2blog3c（b＞1），则（A.2a12b2c

C.2log5blog5alog4c

B.2b12a2c

D.log5blog4alog5c

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（A.若z∈R，则z＝zC.若z2＋1＝0，则z＝i）B.若z2∈R，则z∈RD.若（1＋i）z＝1－i，则|z|＝1）10.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，E为AB的中点，则（A.BC1∥平面A1ECB.二面角A1－EC－A的正弦值为C.点A到平面A1BC1的距离为55217第2页/共26页D.若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的半径为21611.已知函数fx及其导函数fx的定义域均为R，fx2fx，fx4fx，且当0x1时，fxx33x，则（A.f32C.f

）B.fπfeD.f

33f227

02

12.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且PA则（）131

，PB，PAB，342A.PAB

1

6B.PBA

34C.PBPBA

D.PABAB

712三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某工厂月产品的总成本y（单位：万元）与月长量x（单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知y与x线性相关．如果回归方程是yx3.5，那么表格中数据a的值为______．x/万件13.825.6348.2y/万件a14.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，a1＋a5＝3a2，则S10_____．a20x2y215.已知F1，F2，分别为双曲线C：221（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作Cab的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若cosMF1N____．在△ABC所在平面内，分别以AB，记16.如图，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG．5

，则C的离心率为13ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知S

4asinCsinB，则FH＝_____________．3

，且asinA＋csinC＝4

第3页/共26页四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.将函数fxsinx的图象先向右平移标变为原来的π

个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐41

（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数ygx的图象．（1）若2，求函数ygx在区间

ππ

,上的最大值；44

ππ

（2）若函数ygx在区间,上没有零点，求ω的取值范围．42

18.已知数列an满足a11，a25，an25an16an．（1）证明：an12an是等比数列；（2）证明：存在两个等比数列bn，cn，使得anbncn成立．19.综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有1

的概率提升为A等级：原获C等级的学4

生有11

的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概56率，每名学生复评结果相互．第4页/共26页（1）若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的概率．20.如图，三棱锥P－ABC的底面为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分别为AC，BC的中点，PD⊥平面ABC，点M在线段PE上．（1）再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并给予证明；（2）在（1）的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值．条件①：PD

2；条件②：∠PED＝60°；条件③：PM＝3ME：条件④：PE＝3ME．21.已知抛物线C1:y2px(p0)与C2:x2qy(q0)都经过点A(4,8)．2

2（1）若直线l与C1,C2都相切，求l的方程；9

（2）点M,N分别在C1,C2上，且MANAOA，求AMN的面积．422.已知函数fxxcosx，gxasinx．（1）若a1，证明：当x0,



π

时xgxfx；2

第5页/共26页fxsinxππ

（2）当x,00,时，，求a的取值范围．22gxx

江苏省南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、

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数学

本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知U＝R，A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x||x－3|＞1}，则A∪A.{x|1≤x≤4}C.{x|1≤x＜2}【答案】A【解析】【分析】先化简集合A，B，再利用集合的补集和并集运算求解.【详解】解：因为Ax1x3，Bxx4或x2，ðUB＝（）B.{x|2≤x≤3}D.{x|2＜x≤3}所以ðUBx2x4，AðUBx1x4，第6页/共26页故选：A．

2.设向量a,b均为单位向量，则“ab”是“2aba2b”的（A.充分不必要条件C.必要不充分条件【答案】B【解析】B.充要条件）D.既不充分也不必要条件

【分析】将2aba2b两边平方转化为ab0，从而得到与ab之间的关系.222

【详解】若ab，则ab0，所以2ab4a4abb5，222a2ba4ab4b5，所以2aba2b，满足充分性；2aba2b若，两边平方得ab0，所以ab，满足必要性．故选：B．3.某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（A.120种【答案】A【解析】【分析】将两个1捆绑在一起，可以设置的不同数字密码有A5种，计算即可.5

【详解】将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有A5120种.）C.360种D.480种B.240种5

故选：A4.星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为Er

3

EP107，其中EP是激光器输出的单脉冲能量，Er是SEr（单EP水下潜艇接收到的光脉冲能量，S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：km2，光斑面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减T满足10lg

位：dB）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2，则此时Γ大小约为（A.－76.02【答案】B【解析】）（参考数据：1g2≈0.301）B.－83.98C.－93.01D.－96.02第7页/共26页【分析】由Er即可.EEr3

4109，代入10lgr，由对数的性质求解EP107，可得EPEPS

3

EP107，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2，S【详解】因为Er

Er337101074109，所以EPS75则10lg410910lg490100.6029083.98，故选：B．5.已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（A.29r，3）C.23B.39D.239【答案】D【解析】【分析】由SO1M~SOB可得OO1侧面积，即可得出答案.【详解】圆锥的高为3r，如图，223SOr，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥33由SO1M~SOB可得：∴OO1

1O1MSO11

，∴SO1SO，3OBSO3223SOr,331

323432rπr，39第8页/共26页圆柱侧面积S12πr

圆锥侧面积S2故选：D．S431231

2πr2r2πr2，1.2S29292x2

6.已知F为椭圆C：y21的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：x2y31上4一点，则PQ＋PF的最大值为（A.3C.423【答案】D【解析】【分析】由椭）B.6D.523圆的定义结合题意可得PQPFPM1PFPMr4PF15MF1，即可求出PQ＋PF的最大值.【详解】圆M：x2y31的圆心为M0,3,r1，2

设椭圆的左焦点为F1，如下图，由椭圆的定义知，PFPF12a4，所以PF4PF1，所以PQPFPM1PFPMr4PF15PMPF15MF1，当且仅当M,P,F1三点在一条直线上时取等，M0,3，F13,0，MF123，PQPFmax523.故选：D．7.已知cos40cos40cos800，则tan（A.3【答案】A【解析】B.

）D.333C.33【分析】利用和差角公式展开，得到2cos40coscos80cossin80sin0，即第9页/共26页可得到tan

2cos40cos80

，再利用两角差的余弦公式计算可得.sin80

【详解】因为cos40cos40cos800，所，所以2cos40coscos80cossin80sin0，所以2cos40cos80sin80tan0，所以tan

以cos40cossin40sincos40cossin40sincos80cossin80sin0

2cos40cos80

sin80sin80



2cos12080cos80

2cos120cos80sin120sin80cos803sin80

3.sin80sin80

）故选：A．，则（8.已知log2alog3b，log2blog3c（b＞1）A.2a12b2c

C.2log5blog5alog4c【答案】C【解析】【分析】分别取b3，b4，a4，利用对数运算求解判断.【详解】若b3，则log2

B.2b12a2c

D.log5blog4alog5c

ln3a1，∴a2，lncln22

，2a12b，故A错．若b4，则log24log3c，∴c9，2c2b1，故B错．2ln23

若a4，则b9，lnc3.5，ce3.5．ln2对于C，log54log4e

3.5

log54log5e3.5log54e3.53.5log54e>2log59，故C对，3.5

对于D，log591log5e故选：C．log55e3.5，而e320，故D错，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（A.若z∈R，则z＝z第10页/共26页）B.若z2∈R，则z∈RC.若z2＋1＝0，则z＝i【答案】AD【解析】D.若（1＋i）z＝1－i，则|z|＝1【分析】设zabi.A选项，b0，后由共轭复数定义可得答案；B选项，注意到i21；C选项，注意到-i正误.【详解】设zabi.A选项，因z∈R，则b0，则zabiabiz，故A正确；B选项，注意到i21R，但iR，故B错误；C选项，注意到-i21；D选项，利用复数除法可得z，后由复数模公式可判断选项21，则z有可能为i，故C错误；21i2ii，则z1，故D正确.1iD选项，z

1i1i1i2故选：AD10.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，E为AB的中点，则（A.BC1∥平面A1ECB.二面角A1－EC－A的正弦值为C.点A到平面A1BC1的距离为55）217216D.若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的半径为【答案】ACD【解析】【分析】A选项，连接A1C,AC1，使相交于F，连接EF，通过证明EF∥BC1即可判断选项正误；B选项，通过证明CE平面ABB1A1，可得二面角A1－EC－A的平面角为A1EA；C选项，利用等体积法结合VBAA1C1可得答案；D选项，利用正弦定理，可得ABC外接圆半径，后可得球的半径.【详解】A选项，连接A1C,AC1，使相交于F，连接EF，因F，E分别为AC1,AB中点，则EF∥BC1，因EF平面A1CE，BC1平面A1CE，则BC1平面A1EC，故A正确；B选项，由题可得A1A平面ABC，又CE平面ABC，则CEA1A.又CEAB，第11页/共26页AA1∩ABA，AA1平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，则CE平面AA1B1B.又A1E平面AA1B1B，则CEA1E，结合CEAB，可知二面角A1－EC－A的平面角为A1EA，则sinα

AA1A1E1114

255，故B错误；C选项，设点A到平面A1BC1的距离为d，取AC中点为G，连接BG.则VBAAC

11

11

SAACBGSABCdVAABC，111111

33113，BA1BC1AA1A1C1，BG

2222,A1C11，由余弦定3142又SAAC

11

2213

理可得cosA1BC1，则sinA1BC1447，421，7得S

A1BC1

17.则dSAA1C1BGBA1BC1sinA1BC1

SABC2411

3474故C正确.D选项，设ABC外接圆半径为r，由正弦定理，2r

132r

33.又设三棱锥外接球半径为R，则三棱锥外接球与以ABC,A1B1C1外接圆为底面的圆柱外接球相同，则R故选：ACD1r2BB122113421.故D正确611.已知函数fx及其导函数fx的定义域均为R，fx2fx，第12页/共26页fx4fx，且当0x1时，fxx33x，则（A.f32C.f

）B.fπfeD.f

33f227

02

【答案】BC【解析】【分析】本题根据函数对称性，周期性与导数与单调性相关知识可得结果.【详解】因fx2fx，则fx关于x1对称，又因f4xfx，则fx关于2,0对称，所以fx的周期为4，A：因f4xfx，所以f1f30，当0x1时，fxx3x，所以f1132，∴f32，故A错．3B：当0x1时fx3x30，∴fx在0,1上单调递减，fπf4π，2

fef4ef22efe2，因0e24π1，所以fe-2f4π，即fe-2f4π，所以fπfe，故B正确.C：fx关于x1对称且关于2,0对称，所以fx关于0,0对称，即fx为奇函数，fx为偶函数，故C正确.D：因fx在0,1上单调递减，fx关于0,0对称，所以fx在1,0上单调递减，因fx的周期为4，所以fx在3,4上单调递减，所以f故选：BC.12.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且PA则（）7

0，D错误.2

131

，PB，PAB，342A.PAB

1

6B.PBA

34C.PBPBA【答案】BCD【解析】D.PABAB

712第13页/共26页【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得.【详解】对于A：PABPAPBPAB，所以PAB

111

PAB，2341

，故A错误；12对于B：PABPABPA，PAB

111，∴PAB，12341

PAB43

PBA，故B正确；14PA31

P(AB)1211

，PB，∴P(BA)P(B)，故C正确.对于C：P(BA)

14P(A)43对于D：PABABPABPAB

1

PAB，12PBPABPAB，∴∴PABAB故选：BCD.311PAB，∴PAB，442117

，所以D正确.12212三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某工厂月产品的总成本y（单位：万元）与月长量x（单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知y与x线性相关．如果回归方程是yx3.5，那么表格中数据a的值为______．x/万件13.825.6348.2y/万件a

【答案】6.4##【解析】32

5【分析】分别求出工厂总成本和月长量的平均值，代入回归方程，即可求出表格中数据a的值.【详解】由题意及表知，第14页/共26页x

117.6a12345

，y3.85.6a8.2，4244∵回归方程是yx3.5，∴17.6a

2.53.5，4∴a6.4．故答案为：6.4.S10_____．14.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，a1＋a5＝3a2，则a20【答案】【解析】【分析】由a1a53a2，得到a1与d的关系，再利用等差数列的前n项和公式和通项公式求解.【详解】解：a1a53a2，∴2a14d3a13d，∴a1d，11

##2.754S1010a145d55d11．a20a119d20d4故答案为：11

4x2y215.已知F1，F2，分别为双曲线C：221（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作Cab的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若cosMF1N____．【答案】5【解析】【分析】根据二倍角公式求出5

，则C的离心率为13b

2，再求出离心率即可.a5，13【详解】易知MN关于x轴对称，令MF1F2，cos2∴cos

2

15924422

1tansintan，，∴，∴．213131393第15页/共26页bcbcyxxcbca22a2，M,tan，，322abcbyxcyc322aa

∴b

2，a2cb∴e15．aa故答案为:5.3

，且asinA＋csinC＝416.如图，在△ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG．记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知S

4asinCsinB，则FH＝_____________．【答案】32【解析】【分析】通过正弦定理化简已知条件，再结合面积公式和余弦定理即可求出FH的长度.【详解】由题意，在ABC中，S

3

，asinAcsinC4asinCsinB，4由正弦定理，∵S

abc，sinAsinBsinC13acsinB，24∴a2c24acsinB6，第16页/共26页连接BF,BH,FH如下图所示，在△BFH中，由余弦定理，FH2FB2HB22FBHBcosFBH，又FBH

23π

B，222∴FHFBHB2FBHBcos∴FH32．故答案为：32.3πB2c2a24acsinB18，2四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.将函数fxsinx的图象先向右平移标变为原来的π

个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐41

（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数ygx的图象．（1）若2，求函数ygx在区间

ππ

,上的最大值；44

ππ

（2）若函数ygx在区间,上没有零点，求ω的取值范围．42

【答案】（1）22（2）0,1,．22【解析】【分析】（1）由函数图象变换知识可得gxsin2x

15





π

，后由ygx单调性可得最4

第17页/共26页ππ

kπ44值情况；（2）由（1）结合题意可知，kZ.后由ππk1π245

4k1≤2k可进一步确认k大致范围，后可得答案.2【小问1详解】函数fxsinx的图象先向右平移π

个单位长度，则解析式变为：4π1

sinx，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），4

则解析式变为sinωx



ππ

gxsin2x则..

44

当

ππ3πππx时，≤2x≤，444443ππππ

,上单调递减，在,上单调递增，22443πππ2,sinsin.

4424

因函数ysinx在

π

sin1，maxsin

2

∴1≤sin2x【小问2详解】



πππ22,ygx，∴在区间上的最大值为．≤44422ππππππππgxsinx，当x时，x，42444424ππ

kπ44ππ

要使gx在,上无零点，则，kZ.42ππk1π

24553

4k1≤≤2k，kZ，0，4k1≤2kk≤，224当k0时，1

115

；当k1时，3≤≤0≤，222当k2时，0舍去．15

综上：的取值范围为0,1,．22

第18页/共26页18.已知数列an满足a11，a25，an25an16an．（1）证明：an12an是等比数列；（2）证明：存在两个等比数列bn，cn，使得anbncn成立．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由an25an16an构造出an22an1qan12an，用等比数列定义证明即可；（2）通过两次构造等比数列，求出an的通项公式，根据通项公式得出结论即可.【小问1详解】由已知，an25an16an，∴an22an15an16an2an1，∴an22an13an16an3an12an，显然an12an0与a11，a25矛盾，∴an12an0，an22an13，∴an12an∴数列an12an是首项为a22a1523，公比为3的等比数列.【小问2详解】∵an25an16an，∴an23an15an16an3an1，∴an23an12an16an2an13an，显然an13an0与a11，a25矛盾，∴an13an0，an23an12，∴∴an13an∴数列an13an是首项为a23a1532，公比为2的等比数列，∴an13an2，①，又∵由第（1）问，an12an3，②，∴②①得，an32，nn∴存在bn3，cn2，两个等比数列bn，cn，使得anbncn成立．nnnn

19.综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），第19页/共26页，[60，70），[50，60）上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导[70，90）学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有1

的概率提升为A等级：原获C等级的学4生有11

的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概56率，每名学生复评结果相互．（1）若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的概率．【答案】（1）分布列见解析，23

20（2）18113【解析】【分析】（1）求出的所有可能取值及其对应的概率，即可求出ξ的分布列，再由期望公式求出ξ的数学期望；（2）记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，由条件概率公式代入求解即可.【小问1详解】的所有可能取值为0，1，2，3，144434411414

P0，P1C1，2

4554552545525P2

311331141111

C2，P3，4554554455100∴的分布列如下：第20页/共26页P01234251425143100E

141911523．25210010020【小问2详解】记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，1

PAB185PBA．PA0.610.1510.0511134560.15

20.如图，三棱锥P－ABC的底面为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分别为AC，BC的中点，PD⊥平面ABC，点M在线段PE上．（1）再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并给予证明；（2）在（1）的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值．条件①：PD

2；条件②：∠PED＝60°；条件③：PM＝3ME：条件④：PE＝3ME．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】P0,0,t【分析】（1）如图，建立以D为原点的空间直角坐标系，设，PMλPE，由t2

平面MBD⊥平面PBC，可得两平面法向量互相垂直，即可得λ2，据此可知可选t1择①④或②③；（2）由（1）所建立空间直角坐标系及平面MBD法向量，利用向量方法可得答案.第21页/共26页【小问1详解】因PD⊥平面ABC，DB平面ABC，DC平面ABC，则PDDB,PDDC，又由题可知DBDC，则如图，建立以D为原点的空间直角坐标系，则B

设P0,0,tt0，PMλPE0λ1.则DB

22

2,0,0，D0,0,0，C0,2,0，E2,2,0，

2,0,0，PB

DP0,0,t.22,,t，2,0,t，PC0,2,t，PE22

22λ,λ,1λt.故DMDPPMDPλPE22



设平面MBD法向量为n1x1,y1,z1，

DBn12x102λ

；则，令y11，可得n10,1,222λ1tx1y11tz10DMn1

22



设平面PBC法向量为n2x2,y2,z2，

2PBn22x2tz20

则，可令x2y21，可得n21,1,

.tPCn22y2tz20要使平面MBD⊥平面PBC，需满足n1n21注意到条件①t

22λt0λ.2λ1t2t21

2，PD⊥平面ABC，DE平面ABC，又由题可知DE1，则条件②tPDDE，条件③λ

3，32

，条件④λ.43t2

则当条件①④成立或条件②③成立时，都有λ2，即可以使平面MBD⊥平面PBC；t1

【小问2详解】由（1），当选择①④时，t

2，P0,0,2，

2

.3第22页/共26页

BP2,0,2则，平面MBD法向量为n10,1,





2λ

0,1,1，2λ1t



BPn1

21；设BP与平面MBD所成角为，则sin222BPn1

当选择②③时，t

3，P0,0,3，

3

.42λ6

0,1,，则BP2,0,3，平面MBD法向量n10,1,

22λ1t



BPn1

设BP与平面MBD所成角为，则sinBPn1

322552

3；5.21.已知抛物线C1:y2px(p0)与C2:x2qy(q0)都经过点A(4,8)．2

2（1）若直线l与C1,C2都相切，求l的方程；9

（2）点M,N分别在C1,C2上，且MANAOA，求AMN的面积．4【答案】（1）2xy20（2）27【解析】【分析】（1）根据题意求得C1:y16x，C2:x2y，利用导数的几何意义，求得切线2x0l的方程yx0x，根据l为曲线C1,C2的公切线，联立方程组，结合Δ0，进而求得l

222的方程；9

（2）设Mt,4t1，N2t2,2t，根据MANAOA，列出方程得到关系式42122第23页/共26页t1t2t1t22t1t20，分类讨论，即可求解．【小问1详解】因为曲线C1,C2都过点A4,8，所以即C1:y16x，C2:x2y

2

x0x2

设直线l与曲线C2相切于点Qx0,，令fx，可得fxx，22

22xx00则切线的斜率kfx0x0，所以切线方程为yx0xx0，即yx0x，222

8p

，解得p8,q1，1616q

22x0yx0x22由2，整理得x0y16y8x00，y216x

3因为l为曲线C1,C2的公切线，所以Δ25632x00，解得x02，所以直线l的方程为y2x2，即2xy20．【小问2详解】设Mt1,4t1，N2t2,2t2，又A4,8，2292MANA8t122t2,164t12t24,89,18，48t122t29t122t210所以，可得2，2164t2t18t2t101212两式相减得到t1t2t1t22t1t20，

N2,2tt1M1,4当1时，，此时MA3,12，NA6,6，，2

MA153NA62则，，且MANA90，

MANA90159cosMA,NAsinMA,NA可得，所以，15362306MANA306所以SAMN119MANAsinMA,NA1536227；223062当t1t2时，t1t22，此时t12t150方程无解，（舍去），综上，可得AMN的面积为27．22.已知函数fxxcosx，gxasinx．第24页/共26页（1）若a1，证明：当x0,



π

时xgxfx；2

fxsinxππ

（2）当x,00,时，，求a的取值范围．gxx22

【答案】（1）证明见解析（2）,01,．【解析】【分析】（1）令hxxsinx，对hx求导，得到hx的单调性可证得xsinx，令πkxsinxxcosx，对kx求导，可得kx在0,上单调递增，即可证得2sinxxcosx，即可证得xgxfx；fxsinxπsinxxcosx

Fx0恒（2）由题意分析可得要使恒成立即x0,时，xasinxgxx2

成立，通过放缩变形证明Fx0恒成立，即可求出a的取值范围.【小问1详解】当a1时，gxsinx，所以即证：xsinxxcosx，x0,先证左边：xsinx，令hxxsinx，hx1cosx0，



π，2

hx在0,单调递增，∴hxh00，即xsinx．2π再证右边：sinxxcosx，令kxsinxxcosx，kxcosxcosxxsinxxsinx0，π∴kx在0,上单调递增，2∴kxk00，即sinxxcosx，∴x0,



π

时，xgxfx．2

【小问2详解】sinxfxsinxxcosx

，xgxxasinx令Fx

sinxxcosxππ

，x,00,，xasinx22

第25页/共26页π因为FxFx，所以题设等价于Fx0在0,恒成立，2由（1）知，当x0,



π

时，xsinxcosx，于是：2

①当a0时，Fx0恒成立；②当a0时，Fx0等价于asin2xx2cosx0，222

（i）当0a1时，asin2xx2cosxaxxcosxxacosx，令pxacosx，因为pxacosx在x0,且p0a10,p



π

上递增，2

ππ

a0，所以存在0,，使p0，

22

2

所以当0x，px0，即xacosx0，不合题意；(ii)当a1时，asin2xx2cosxsin2xx2cosx

22

令rxsinxxcosx，x0,



π，2

22

则rx2sinxcosx2xcosxxsinx2sinxcosx2sinxxsinx，x222x2

x21cosxsinxx4sin2sinx42sin



2

x

sinx0，2

π所以rx在0,上单调递增，2所以rxr00，所以asin2xx2cosx0，所以Fx0.综上：a的取值范围为,01,．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数的取值范围的问题，常见的几种方法有：（1）直接构造函数法：证明不等式f(x)g(x)转化为证明f(x)g(x)0，进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x)；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.第26页/共26页