二面角的求法

1. 引言

在高中空间几何的问题中，如何去求解两个平面的二面角的问题对很多同学来说十 分棘手。许多同学一遇到这种问题就比较头疼， 特别是针对那些所给已知条件比较少 的问题。例如：在求二面角的问题中，许多都是没有给出直观的二面角的平面角，这 就要求同学们会作辅助线，同时，一些问题中还需要很高的计算能力。 在历年的高考 题中，很多都出现了求二面角的题目，如 2010年的安徽卷（第18题）、2010年的浙 江卷（第20题）、2010年的陕西卷（第18题）、2009年的山东卷（第18题）、2009 年的安徽卷（第18题）等等。这就说明，二面角问题在高考中是一个热门的考点。 因此，研究求解二面角问题的方法，有很大的研究价值。

2. 二面角及二面角的平面角的概念

先来叙述一下中学教材中二面角的概念以及二面角的平面角的概念。

（［弓I］）

2.1二面角的概念

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的 棱，这两个半平面叫做二面角的面。

2.2二面角的平面角的概念

如图1所示，在二面角

I

的棱l上任意取一点O,以点O为垂足，在半平面

和 内分别作垂直于棱I的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的 AOB叫做二面角 的平面角。

图1

3. 求解二面角问题的几个难点

在求解空间几何问题的时候，经常会遇到求二面角的问题，求此类问题的难点具体 体现在以下三个方面：

3.1需要添加辅助线

从二面角的定义来看，二面角的条件要求比较高，要求两条射线分别在两个半平面 内且都垂直于这两个半平面的交线，在一般的空间图形中很难直接发现满足这样条件 的角。在这样的情况下只有借助添加辅助线等方法来解决问题，

而添加辅助线是一个

各个平面所

很难掌握的技巧。同时新添加的辅助线的长度以及它们与其余各条直线、

成的角度，还需要经过进一步计算才能够得到。 这无形中给二面角的求解过程带来了 很多困难。

3.2线面关系隐藏的深

在有些问题中，没有直接给出直线所成的角度，只给出了空间图形中的部分线段长 度。这类问题，不仅要求答题者有很好的空间想象能力， 还要求他们能根据长度求角 度。

3.3计算量巨大

一般是根据长度求角度，这就会用到余弦公式，余弦公式是一个计算量十分大的公 式。有些问题还可以用空间坐标系的向量间的角度来解决， 同样也需要做很多很复杂 的计算。

4. 二面角问题的求解方法

对不同的求二面角的问题，可以用不同的方法来解决。总体上来讲，可以分为四种 方法，分别是：概念法、空间变换法、空间向量法、另类方法。

4.1概念法

顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。

例1:如图2所示，在四面体 ABCD中，AC AB 1, CD BD 2, AD 3。求二

面角A BC D的大小。

分析：四面体ABCD的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度 的问题。

解：设线段BC的中点是E，接AE和DE。

根据已知的条件 AC AB 1 , CD BD 2，可以知道AE BC且DE BC。又BC 是平面ABC和平面DBC的交线。 根据定义，可以得出： 可以求出AE

3

AED即为二面角A BC D的平面角。

，DE 3，并且AD 3。 2

根据余弦定理知：

AE2 DE2 AD2

2AE

(

cos AED

DE

f)2 為彳 3 2

2 並罷 4

2 arccos7。

4

7

即二面角A BC D的大小为

同样，例2也是用概念法直接解决问题的。

例2:如图3所示，ABCD是正方形，PB 平面ABCD，PB AB 1，求二面角

A PD C的大小。

解：作辅助线CE PD于点E，连接AC、AE

由于AD CD， PA PC，所以三角形PAD 三角形PCD。即AE PD。由于

CE PD，所以AEC即为所求的二面角的大小。

通过计算可以得到：PC」2 , PD 「3，又CD 1,在三角形PCD中可以计算 得到CE

6

。由此可以得到：AE CE 6，又AC 2 3 3 cos AEC

2 2 3 3

2? 3

2

由余弦定理

AC |AE |CE| 2 卜E| |AC 22 2即: AEC

4.2空间变换法

空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等 方法。

下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。

例3：如图4所示，现有平面 和平面，它们的交线是直线DE，点F在平面 内, 点C在平面

图4

分析：过点C作辅助线CA垂直于DE，作CB垂直于平面 于点B

4.2.1补角法

直接求解二面角F DE C的大小是有些困难的，那么可以先求解二面角 C DE B。因为二面角

F DE C与二面角C DE B是互补的关系，现在先求出 二面角C DE B后，二面角F DE C的大

小就很容易计算了。

4.2.2三垂线法

由于CA DE , CB 平面 。那么根据三垂线定理可以得知： CA在平面 内的 射影AB垂直于

两平面的交线DE。即AC DE且AB DE ,根据定义可知，二面角 C DE B的大小即为 CAB的大小。那么二面角F DE C的大小可以用补角法得 到。

4.2.3切平面法

切面法的基本思想是做一个垂面，它垂直于两个平面的交线，在所得的图形中就可 以很容易观察与计算二面角。如图 4所示，可以作平面CAB垂直于两个平面的交线 DE，平面CAB与平面 的交线是AC，平面CAB与平面 的交线是AB，根据二面 角的定义知 CAB即为所求二面角的补角，根据补角法，可以求出二面角F DE C 的大小。 下面用例4来详细讲解一下切平面法。

例 4：在图 5 中，PA 平面 ABC， ABC 90o。其中 PA AB 1，PB BC 2。E是PC的中点，DE PC。求二面角C BD E的大小。

图 5

解：由于E是PC的中点，且 PBC是等腰三角形，那么BD PC 又DE PC，可以推出：PC 平面BDE。所以：PC BD。 又PA 平面ABC，则BD PA，所以BD 平面PAC。 可以得出：平面PAC是平面CBD和平面EBD的公共切平面。 由此，根据切平面法知

CDE即为所求二面角的平面角。

CD

CACP

CEPA

由于VCDE CPA，那么:

1 1 _ — 1 2.3

又：CE —PC BP2 BC2

2 2 2

【厂2 1。

4 1

2

1 j 2

3

1

cos CDE

CD2 DE2 CE2 2CD DE

_3=3_3 2 5 23

3 3

1

在三角形CDE中根据余弦定理可知:

那么 CDE 60o

即求二面角C BD E的大小是60o

4.2.4补形法

以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法，以下通过一个单独的例子 来讲解第四种方法一一补形法。

例5:在图6中，PA 平面ABCD，四边形ABCD是一个直角梯形，其中PA 1， 1

AD 1，CD 1， AB 。 BAD ADC 90。求平面 PAD 与平面 PBC 所成二 2

面角的大小。

解：延长直线DA与BC，它们相交于点E，连接PE

由题意可知，BA平行于CD，AB的长度是CD的一半，且BA AD，BA PA，

那么 BA 平面 PED , CD 平面 PED , AE 1, PE 、、2 。 在三角形PED中，PD DPE 90，即 DP PE。

CD 平面PED , DP PE，且DP是CP在平面PED内的射影，根据三垂线定理 知：CP PE 。

又DP PE，即 CPD即为所求的二面角。 在 Rt CDP 中，CD 1 , PD 2 , PC . 3。

那么cos CPD

PE 2 , ED AE AD 2。那么根据勾股定理可知

即： CPD arccos-6

亦

arccos— 3

所以平面PAD与平面PBC所成二面角的大小是

3

在有些问题中，所给的图形不是能够很好观测到二面角的平面角, 方法来可以通过补形的 观测二面角的平面角。在例5中，很好的运用了补形法和三垂线法来解决问题, 这也告诉我们，可以在一个问题中使用多种方法来达到解决问题目的。

4.3空间向量法

4.3.1二面角和两平面的夹角之间的关系

两平面的夹角有两个，它们之间互补，取它们中角度较小的为1，那么1的取值范 围是(0,—］。而二面角是指两个特定的半平面所组成的图形，二面角

2 (0,)。

但是我们可以利用两个平面的夹角来求二面角，它们之间的关系具体如下： 如果 0 如果 2

2

2

2

的取值范围是

2

, ,

2

1

O ( 1)

1 O (2)

2

因此，在用空间向量法求解二面角的时候，必须先判断二面角的大小是锐角还是钝 角，然后由以上发现的规律来求解。当然，前提是先求出两平面的夹角。

4.3.2平面法向量的求法

两平面间的夹角一般根据两平面的法向量来求。 如果平面方程已知，平面的法向量 可以直接给出，如果平面方程未知，法向量可以根据平面内的三个点的坐标求出来。 如图7所示： 例6 :如图7所示在平面 内，已知三点X

(x1, yi, z1)， Y (x2, y2, z2)，

下面求解平面 的一个法向量v。 解法一：

求平面的法向量的大小，可以用该平面内的两个向量的矢性积来求，即: v uiv uuv

XY XZ

uuv uuv 又 XY {X2 Xi，y2 yi，Z2 z}，XZ {X3 ^,『3

可以求出：

y2

n {

iy3 zy

yi

-2 3

zi Z2 X2 Xi X2 Xi y2 yi }

z3 Z3 Z3 X3 Xi X3 Xi y3 yi

J

J

设平面 解法

的方程为Ax

By

Cz

将点X，丫，Z的坐标分别代入方程可以解出系数 A，B，C，D。

在此特别强调一下，三个点带入方程后得到的应该是一个四元三次方程， 可能无解, 如果有解，那么一定有无数多个解。可以通过解方程，将

A，B，C全部用D表示,

这样就可以得到一个形如2Dx 5Dy 4Dz D 0的方程，可以将新得到的方程两边 同时除以D ( D一定不等于0，否则A=B C D 0，方程无意义)，那么就可以得 到平面的方程2x 5y 4z 1

0

得到了平面的一般方程，即得平面的法向量坐标 解法三：

V

｛代B,C｝。

uuv uuv

在图7中，由所给的信息，可以求出向量 XY、XZ的大小。设平面 v 量 n ｛x, y,z｝。

卄 uuv uiui

右 XY 佝山心｝，XZ ｛a2.b2.C2｝。 v uuv v uiur

由n XY 0，n XZ 0可以得到：

的一个法向

aix by Ciz a2x b2y

0

C2Z 0

x，y用z表示。

可以求解出x，y，z的关系。此方程一定有无数多个解，可以将 如n ｛2 z,4z,z｝，由此可知向量n ｛2, 4,1｝是平面

4.3.3两平面夹角的公式

的一个法向量。

两平面相交时，定义它们之间的夹角 为它们法向量的夹角为

uv uv

n1,n2，其中

u

cos

uv ■un1 n2 n i ｛ARG｝, i 1,2。于是：

uv uv 4.3.4两平面的夹角转化成二面角 n1 n2

利用上述方法，先求出两平面的法向量，再求两平面的夹角，最后可以根据(

1)、

(2)求出二面角的大小。

例7:如图8所示，四边形ABCD是一个矩形，点E和点F分别在边AD和边AB 上, 其中

AE AF ED 4，FB 6。现在以直线EF为折痕，将三角形AEF折起，得到 三角形A'EF，同时

使得平面A'EF与底面ABCD垂直。求二面角A' FB C的大小。

ZA

A *

图8

解：以点A为坐标原点, 建立如图8所示的直角坐标系A 的中点，连接A'H。可以得到:

A(0,0,0)，A'(2,2,2.2)，C(10,8,0)，F (4,0,0)，

FA' uuv

uuuv uiv

由于 A'E A'F，所以 A'H EF 。

又平面

A'EF与底面ABCD垂直。

所以: uuuv 十一

A' H 平面 ABCD。

v

即HA' (0,0, 2.2)是底面ABCD的一个法向量。

(x,y,z)是平面A'FB的一个法向量。那么: v uuv

n FA'

即:

2x 2y 2.2z 0

6x 0

那么：x 0，y 2，z ，即 v {0, 2, . 2} uuiv v cos

uuiv v HA', n

HA' n uuv 矿 HA' n 3

即二面角A' FB C的大小为arccos

3

4.4另类方法

xyz ,设点H是线段EF2,2,2 2}，

uiv

FB {6,0,0}。0，n FB

v uiv

比较常用的另类方法是四面体体积法、角度法和面积摄影法。

4.4.1四面体体积法

例8:如图9所示，在空间四面体 A BCD中，四面体的所有棱长都是1,求二面 角A BD C的大小。

图9

2si n

S

BCD

SABD

分析：过点A作辅助线AO 平面BCD于点0，过点A作辅助线AE BD于点E，

AO

连接直线E0， AEO ，sin

A0

VABCD

—0。由于四面体A BCD

BCD的体积是厶2

12

1

3 AO SBCD

AE

SBCD ( BD AE )

S

― ， ， SABD BCD 12 4

是一个正四面体,AEO

AE

3 BD 3 BD

即为所求二面角。（也可以推导出当四面体不是正四面体时 AEO同样是所求的二面

根据已知条件可知：

V

A BCD

BD 1

角）

正四面体A BCD的棱长是1,可以求出正四面体 A

可以求出：sin

3

.2逅 arcs in

只需要知道体积、两个

当四面体A BCD不是正四面体时也可以用这种方法求解, 面的面积、公共边的长度就可以解出二面角的大小了

442角度法

例9:如图10所示，以点A为顶点的三条射线分别是 AB、AC、AD，其中AB、

AD的夹角是!，AB、AC的夹角是2，AC、AD的夹角是3。现在要求二面角 C AB D的大小。

分析：现在设CB AB，并且DB 这样的假设是合理可行的），

AB （由于AB、AC、AD的长度没有给出,

那么 CBD即为所求二面角的大小。

1

， AD

BD| |AB tan

|AB 带入得到: cos cos 2 1

AB cos 2

2 AC AD cos 3 AB

BC| | AB tan

又 CD|2 AC2

2

， AC

AD2

将AD

|AB cos 1

2

AC

1

CD

1

AB|( 2~

cos 1

2cos 3

2 2

、 )

cos cos 1 cos 2

根据已知条件可以得到:

在三角形BCD中,

cos CBD

|BC|2 BD 2 1 CD 2 2|BC| BD 1 AB tan 1

2

2

AB tan

2 2

____ cos 1

2 AB $ tan 1 tan 2

2

1 2 cos 2

2cos 3 cos 1 cos 2

—)

、

2

(tan 1

2

1 、 2C0S 3

!

cos —)

(tan 2 一

1

cos —)

2 cos 1 cos 2

2tan 1 tan 2

2cos 3

彳彳

3

cos 1 1

1 cos 2

2tan 1 tan 2

cos 3 cos 1 cos 2

cos 1 cos 2

即:

CBD

cos 3 cos cos 1 cos 2 arccos

1 cos 2

通过这种方法，可以在没有任何长度条件的情况下求解出二面角的大小， 方法是一个比较特殊实用的方法。

4.4.3面积射影法

例10:如图11所示，在空间直角坐标系O XYZ中，点A、B、C分别在X、丫、Z轴上，现在要求二面角

分析：作CD AB并且CD与AB相交于点D。连接OD。根据三垂线定理可知:

OD AB。即：

CDO即为所求二面角 。

1

在 CAB 中，SCAB ； CD| |AB。

1

在 OAB 中，SOAB -|OD AB。

并且 OD| |CD| cos。

因此，该

OAB是 CAB在平面XOY内的射影。

CD 2

由以上的条件可以得到：

OAB

S |OD AB S

1

CAB _CD AB

1

OD cos

S

S

即:

arcco^-OAB

S

CAB

2 S三角形

S OAB

OD （其s arcco CDl

OAB是 CAB在平面XOY内的射影。）

arccos S 射影三角形

用另外一种简便语言表示就是:

5. 小结

首先要指出的是给出的3种另类方法，如果给出的问题条件特殊，可以用四面体体 积法、角度法或者面积射影法来解决，使用3种另类方法无疑是最简单的方法，直接 套用公式即可解出结果。

如果遇到的问题不能用另类方法解决， 则尽量运用概念法和几何法来解决，因为这 两种方法的计算量小，不容易出错。但是很多问题所给的条件不够的， 很多图形都只 给出了部分条件，其他条件需要推导计算出来，因此，要灵活运用概念法、三垂线法、 割补法以及切平面法，有时甚至需要几种方法的混合使用才能够求解出二面角，例 4 和例5中也可以看出这几种方法混合使用的效果。

还有，如果问题给出的图形容易建立直角坐标系， 并且各个点的坐标不是很复杂时， 使用空间向量法是一个不错的选择。它可以省去很多推导过程，只需要细心地运算， 就可以把平面的二面角解出来。当然，倘若问题的数据巨大，这种方法就不是很适用。

到目前为止只总结出了这些方法，可能还有很多实用的方法没有考虑到。 总结出的 方法中可能有不足之处，还请指出改正。