高中数学必修一总复习(含练习与答案)

二、学习目标

1、了解集合语言是现代数学语言的重要组成部分，可以简洁、准确地表述数学对象和结构；学会运用集合等数学语言来刻画世界和运用数学语言学习数学、进行交流的能力；

2、加深对函数概念本质的认识和理解；加强对变量数学的认识，认识到函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型；并能结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，了解指数函数、对数函数和幂函数是三类不同的函数增长模型；通过收集函数的应用实例，了解函数模型的广泛应用。

三、知识要点

1、集合的概念与基本运算

①一组对象的全体形成一个集合；常用大写拉丁字母来标记，如集合M，集合A…… ②集合中的元素有三大特征，即无序性、确定性和互异性，这是判断集合形成和区分集合的重要依据；

③集合的表示：穷举法、描述法和图示法

④集合的运算：指的是子、交、并、补四种运算，其结果仍然是一个集合； ABxA,都有xBCABC{x|xA且xB}CABC{x|xA或xB}

⑤以下题型的结果要用集合表述：求定义域、求值域、求不等式的解集、求方程（组）的解集以及集合运算的结果等。 2、函数的概念与基本性质

①函数概念的三种表述：运动的观念，集合的观念，映射的观念； ②函数的两大要素：定义域和对应法则；

③函数的三种表示方法：解析法，列表法和图像法； ④函数的两大重要性质：奇偶性和单调性； ⑤对分段函数、复合函数的认识。

3、二次函数与幂、指、对数函数 ①二次函数学习中的几个要点：二次函数解析式的三种形式；二次函数的图像的开口方向、位置、零点及最值与系数的关系；含参数的二次函数的研究（参数分别在函数式中和定义区间

MCUAM{x|xU且xA}中）；三个二次的关系；

②幂函数学习中的要点：幂函数的定义；幂函数的图像与性质；在同一坐标系中不同指数的幂函数的图像的位置关系；

③指数函数学习中的要点：指数式的运算；指数函数的定义；指数函数的图像与性质；在同一坐标系中不同底的指数函数图像的位置关系；

④对数函数学习中的要点：对数式的运算；对数函数的定义；对数函数的图像与性质；在同一坐标系中不同底的对数函数图像的位置关系；对数函数与指数函数互为反函数的关系。 4、函数的应用：函数的应用主要包括两种类型，其一是函数与方程思想在解题中的综合应用；其二是函数模型在解决实际问题中的应用，常见的有效益最大化和成本最低问题。

四、考点解析与典型例题 考点一 对集合概念的考查

例1. 试写出如图阴影部分所表示的集合

①

②

③

解：各阴影部分的表示方法均不唯一。

① [（A∩B）∩C∪C]∪[（A∩C）∩C∪B]∪[（B∩C）∩C∪A] ② [C∪（A∩B∩C）]∩（A∪B∪C） ③A∪（B∩C）

考点二 对集合运算的考查 例2. 试写出下列集合运算的结果

①.A{x|6x6},Bx|kxk,kZ,AB?44②.A{x|1x6},Bx|x5或x0,AB?③.A{x|4x6或x3},CRA?

解：

355377①.ABx|x或x或x或6x或x644444444②.ABR③.CRA{x|x3或3x4或x6}

考点三 对函数概念的考查 例3. 求形如yaxbxcdxexf22,ad220的函数值域时，可以先将该函数式变形为一个关

于x的一元二次方程，然后再令判别式0即可求出该函数的值域。试说明为什么会有

0？

答：由于函数yaxbxcdxexf22,ad220是建立在两个非空数集上的映射，故对由其变形得到的关于x的一元二次方程而言，其解集非空，故有0。

考点四 求函数的定义域 例4. 求函数f(x)解： 4x30304x31x1 4log0.5(4x3)0log0.5(4x3)的定义域。

故该函数的定义域为：x|3x1。 4

考点五 求函数的值域 例5. 求函数f(x)解：令tx23x4的值域。

2x2xt2,t0 2121y|y代入函数解析式可得：f(x)3tt10,t0，故可求得其值域为 12

考点六 对函数的两个重要性质的考查

例6. 奇函数yf(x)满足：f(3)0；当x0时yf(x)为增函数，试解不等式xf(x)0.

解：由奇函数的对称性：f(3)0；

例7 试判断函数f(x)u12x2x32

的单调性。

x2x32解：设y112则函数f(x),ux2x3，22可视为这两个函数的复合函数，且知外函数1y2u是减函数。又因为：x2x32x1时:ux2x3单调减;x1时:ux2x3单调增22

1故知：f(x)2当x＜1时为增函数；当x≥1时为减函数。

考点七 函数的作图

例8. 如何由函数y＝f（x－1）－2的图像得到函数y＝f（x＋1）＋2的图像？

解：y＝f（x＋1）＋2可变形为（y－4）＝f[（x＋2）－1]－2，则知可将函数y＝f（x－1）－2的图像向左平移2个单位、再向上平移4个单位即可得到y＝f（x＋1）＋2的图像。

考点八 含参的二次函数的研究

一般地，含参的二次函数有三种情形，其一是函数式中含参，其二是定义区间含参；这两种情形的基本做法都是将函数的对称轴与定义区间的位置关系进行讨论；其三是涉及含参的二次方程的根的分布问题，一般可结合图像研究。

例9. 已知函数f(x)mx2(m3)x1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。

解：若m＝0，则f(x)3x1，显然满足条件；若m≠0，有两种情形：

①原点的两侧各有一个交点，则

②都在原点的右侧，则：

例10. 函数f(x)x4x4在闭区间[t，t＋1]（t∈R）上的最小值记为g（t）。 （I）试写出g（t）的函数表达式； （II）求出g（t）的最小值。 解：

2

（II）g（t）min＝－8。

考点九 函数与方程思想的考查 例11 （2007年广东卷）已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a，如果函数yf(x)在区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围。

2解：函数yf(x)在区间[－1，1]上有零点，即方程f(x)2ax2x3a0在[－1，1]上有解。当a＝0时，不符合题意，所以a≠0。

方程f(x)2ax22x3a0在[－1，1]上有解

考点十 函数应用题

例12. 某地现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多减少多少公顷（精确到1公顷）？

解：设耕地平均每年至多减少x公顷，并设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/

44M(122%)(1010x)M10(110%)10P(11%)P公顷。依题意得人均粮食占有量： 101.1(10.01)3x10[1]4.11.22故平均每年至多只能减少4.1公顷。

四、数学思想方法

本模块主要涉及集合及函数的基本概念与性质，以及几个常见的函数如二次函数与幂、指、对数函数。主要数学思想方法有： 1、函数与方程的思想：

在本模块学习过程中，要充分认识函数与方程内在的联系，善于借助这种联系，将函数问题转化为方程问题，或将方程问题转化为函数问题进行处理。如将方程的根的分布问题与函数的零点的分布问题进行转化。

2、数形结合的思想：

这既是重要的数学思想，也是一种重要的数学方法。学习中一要注意利用函数图像研究函数性质，二要注意利用函数图像解决有关最值、不等关系、参数范围等问题。

3、分类讨论的思想：对含有参变量的函数或集合的研究往往要进行分类讨论，要注意最后结果的表述。一般地，对一个变量进行讨论求解另一个变量的范围时，一定要就第一个变量的不同取值范围进行分开表述；如果就变量本身进行讨论求解其范围，最后必须对所求范围进行求并集运算。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一、选择题

1. （2008全国一1）函数yA. C.

x(x1)x的定义域为（ ）

x|x≥0

B. D.

x|x≥1 x|0≤x≤1

x1的图像关于直线yxx|x≥10

2. （2008全国一6）若函数yf(x1)的图像与函数yln对称，则f(x)（ ）

A.

3.

e2x1 B.

e2x

C. e2x1 D. e2x2

)上为增函数，且f(1)0，则不等式（2008全国一9）设奇函数f(x)在(0，x0f(x)f(x)的解集为（ ）

f(x)0)(1，) A. (1，1)(1，) C. (，1)(0，1) B. (，0)(0，1) D. (1，1x4. （2008全国二3）函数A. y轴对称

C. 坐标原点对称 A. a＜b＜c

x的图像关于（ ）

B. 直线yx对称 D. 直线yx对称

131)alnx，b2lnx，clnx，则（ ） 5. （2008全国二4）若x(e，，

B. c＜a＜b C. b＜a＜c

D. b＜c＜a

6. （2008北京卷2）若a2A. abc

0.5，

blogπ3，

clog2sin

2π5，则（ ）

D. bca

B. bac C. cab

*7、（2008四川卷11）设定义在R上的函数fx满足fxfx213，若f12，则f99（ ）

132

A. 13 B. 2 C. 2 Ｄ. 13

二、填空题

8. （2008湖北卷13）已知函数f(x)x2xa，f(bx)9x6x2，其中xR，

a,b为常数，则方程f(axb)0的解集为 。

1229. （2008重庆卷13）已知

三、解答题

a249（a＞0），则

log2a3 。

10. （2008湖南卷改）已知函数

f(x)3axa1(a1).

①若a＞0，求f(x)的定义域；

0,1②若f(x)在区间上是减函数，求实数a的取值范围。

11. （2008浙江卷改）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，

求实数t。

12. （2008北京卷改）某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(xk，yk)处，其中x11，y11，当k≥2时，

k1xx15kk1TT5k1kykyk1TT55k2，52．yx2xt2T(a)表示非负实数a的整数部分，例如T(2.6)2，

T(0.2)0。按此方案，求第6棵树种植点的坐标和第2008棵树种植点的坐标 。

*13. （2008湖北卷）

水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为

t24V(t)(t14t40)e50,0t10,4(t10)(3t41)50,10t12.

（Ⅰ）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期。以i1ti表示第i月份（i1,2,,12），问一年内哪几个月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e2.7计算）。

【试题答案】

一、选择题： 1~7 CBDC CAC

二、填空题 8、 9、4

三、解答题

3,,01,3； a10、①；②

11、t＝1;

2)；第2008棵树种植点的坐标应为 (3，40212、第6棵树种植点的坐标应为 (1， )。

1（Ⅰ）①当13、解：40＞0，

0＜t10时，V（t）＝（－t＋14t－40）e2

4t5050,化简得t2－14t＋

解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4。 ②当10＜t12时，V（t）＝4（t－10）（3t－41）＋50＜50， 化简得（t－10）（3t－41）＜0，

41解得10＜t＜3，又10＜t12，故 10＜t12。 综合得0＜t＜4，或10＜t≤12，

故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：V（t）的最大值只能在非枯水期（4，10）内达到。

1

又因为V（t）＝（－t＋14t－40）e＋50

经计算，当V（t）在t＝8时取得最大值V（8）＝8e2＋50＝108.32（亿立方米）。

2

4t1[9(t7)]e4＋50＝

2t故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米（注：本题第二问此处用了计算比较的方法，计算量比较大，但同学们可在以后的学习中得到更好的解法）。