中考数形结合思想

数形结合思想在中考中的应用

问题一：什么是数形结合？数与形的结合有什么好处？

答：①数形结合思想是数学中重要的思想方法．它根据数学问题中条件和

结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．

②几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的

操作性强，便于把握．

问题二：数形结合思想的解题策略是什么？

答：数形结合思想包含“以形助数”和“以数助形”两个方面．即用数形

结合思想解题可分两类：一是依形判数，用形解决数的问题，常见于借用数轴、函数图象、几何图形来求解代数问题；二是就数论形，用数解决形的问题，常见于运用恒等变形、建立方程(组)、面积转换等求解几何问题．

问题三：数形结合思想往往在哪些题型中出现呢？

答：(1)利用数轴解不等式(组)

(2)研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题.

(3)研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题. (4)运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构件方程(组),求得有关结论等问题.

例如：

对于二次函数y＝ax＋bx＋c，若a＞0，b＜0，c ＜0，则下面关于这个函数与x轴的交点 情况正确的是（ ）

A、只有一个交点 B、有两个，都在x轴的正半轴

C、有两个，都在x轴的负半轴 D、一个在x轴的正半轴，一个在x轴的负半轴

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☆学以致用☆

（一）与数轴结合的问题 1、在数与式中的应用

例1、实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简

a2ab=_________．

2、在不等式中的应用

xa0例2、已知关于x的不等式组的整数解共有2个，则a的取值范围是

2x0___________．

例3、已知︱x-1︱+︱2+x︱=3,则x的取值范围是（ ）

（A）-2﹤x﹤1 (B)-2≤x≤1 （C）x﹤-2或x＞1 （D）x≤-2或x≥1

（二）与函数图象结合的问题 3、在方程函数中的应用

例4、方程 -2xx2=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

例5、 (08安徽)如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①abc<0 ②方程ax2+bx+c=0的根是x1=－1，x2=3 ③a+b+c>0 ④当x>1时，y随x的增大而增大 正确的说法有__________．

（三）与几何结合的问题

例6、如图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8；设CD=x．

(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；

(2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x422x12x29的最小值．

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☆勤能补拙☆

1.在△ABC中，若∠C=90°，AC=1，AB=5，则sinB= ．

2.若一次函数y(2m1)x32m的图像经过 一、二、四象限，则m的取值范围是 ______________ ．

3 .数轴上点A、B的位置如图所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为__________.

4.一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为

_______.

5.如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（ ）

4334A． B． C． D．

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6. 二次函数yax2bxc的图象如图所示，反比列函数y

ybx在同一坐标系内的大致图象是（ ）

y O 第6题 x y y y a

与正比列函数x

y O A

x O B

x O C

x O D

x 7.巳知一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个实效根x1、x2满足x1+x2=4和

x1x2=3，那么二次函救yax2bxc0(a0)的图象有可能是( )

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8.某中学为了了解学生的体育锻炼情况，随机抽查了部分学生一周参加体育锻炼的时间，得到如图的条形统计图，根据图形解答下列问题：

（1）这次抽查了_______名学生；

（2）所抽查的学生一周平均参加体育锻炼多少小时？

（3）已知该校有1200名学生，估计该校有多少名学生一周参加体育锻炼的时间超过6小时？

9.如图，抛物线y＝（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）

（1）求抛物线的对称轴及k的值；

（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；

（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限． ①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标； ②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标．

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☆挑战自我☆

如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合）．把△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y． （1）求CD的长及∠1的度数；

（2）若点G恰好在BC上，求此时x的值；

（3）求y与x之间的函数关系式．并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？

☆课堂小结☆

“数形结合思想”就是通过数量与图形之间相互转化来解决数学问题的思想. “数”与“形”是相互联系的.数轴与直角坐标系的建立，为“数”与“形”的沟通提供了工具，使抽象的数量关系有了形象直观的几何意义，而直观图象的性质也常可用数量关系加以精确地描述.

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