数形结合思想
【知识梳理】
1.数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数是形的抽象概括，形是数的直观表现。
2.用数形结合的思想解题可分两类：
①利用几何图形的直观表示数的问题，它常借用数轴、函数图像等。
②运用数量关系来研究几何图形问题，常需要建立方程(组)或建立函数关系式等。 3.重点题型：
（1）利用数轴解不等式（组）。
（2）研究函数图象隐含的信息，判断函数解析式的系数之间的关系，确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题。
（3）研究与几何图形有关的数据，判断几何图形的形状、位置等问题。
（4）运用几何图形的性质、图形的面积等关系，进行有关计算或构造方程(组)，求得有关结论等问题。
【典例精析】
1. 以形助数——通过几何图形，使数量关系直观化、形象化，从而寻找解题的途径 （以形为手段,以数为目的）
x84x1例1 如果不等式组 解集为x >3，则m的取值范围是 。
xm
例2如图，是直线y=x﹣3的图象，点P（2，m）在该直线的上方，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣3 B．m＞﹣1 C．m＞0 D．m＜3
例3 函数y1x，y214x．当y1y2时，x的范围是（ ） 33 A．x＜-1 B．-1＜x＜2 C．x＜-1或x＞2 D．x＞2
222xx例4 方程 的正根的个数为（ ）
xA．0 B．1 C．2 D．3
例5如图，A是反比例函数y
k
图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P在y轴上，x
D．－2
△ABP的面积为1，则k的值为（ ） A． 1
例6 在正方形ABCD中，A、B、C的坐标分别是（1，2）、（-2，1）、（-1，-2），求点D的坐标。
例7 已知：关于x的方程x22mx3m0的两个实数根是x1，x2，且(x1x2)216。如果关于x的另一个方程x22mx6m90的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值。
例8 已知a、b均为正数，且a+b=2，求 a 4 1 的最小值。 b
例9在数学研究性学习中，佳佳为了求
22 B．2 C．－1
111123n的值Sn，设计了如图所示2222的几何图形，请你利用这个几何图形，计算Sn__________。
2. 以数解形——挖掘几何图形中的数量关系，用代数方法解几何问题 （以数为手段，以形为目的）
例1如图，长方形ABCD正好被分成6个正方形，如果中间最小的正方形面积等于1，那么长方形ABCD的面积等于___________。
例2右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 。
3. 依形判数，以数助形，结合具体问题，灵活进行数形转化
数量关系体现了图形的内在性质，把握数量关系和相应图形的特征是进行数与形相互转化的关键。
例1如图所示，在△ABC中，BC=6，E，F分别是AB，AC的中点，点P在射线EF上，BP
交CE于D，点Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x。
1CE时，y与x之间的函数关系式是 ； 21 （2）当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，y与x之间的函数关系式是 。
n （1）当CQ=
【专题归纳】
1.数形结合中的“数”，并不是单纯的数量，而是指代数内容，包括实数、代数式、方程（组）、不等式（组）以及函数，具有精确严密的优势，而“形”也不是单纯的图形，而是指几何内容，包括点、线、面、角、三角形等平面图象、立体图形以及函数图象，具有直观生动的优势。数形结合将数学中的两大优势加以结合，能起到简化解题过程和加快解题速度的作用。
2.在数学解题中广泛应用：
①函数图像来解决函数、方程、不等式问题。（即以形助数）
②用函数方程或不等式去解决平面图形和空间图形的问题。（即以数辅形）
