2012学年第一学期区域性九年级数学竞赛

2012学年第一学期区域性九年级数学竞赛

（2012年12月17日下午 时间：120分钟 满分：120分 ） 一、选择题（每小题5分，共30分）

1．已知a为实数，且aaa20，则(a1)8(a1)9(a1)10的值是（ ） A．3 B．3 C．1 D．1

2．P为正方形ABCD内一点，若PA:PB:PC=1：2：3，则∠APB的度数为（ ）

A．120° B．135° C．150° D．以上都不对 3．边长为1的正方形OABC的顶点A在x正半轴上，点C在y正半轴上， 将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，如图所示，使点B恰好落 在函数yax(a0)的图像上，则a的值为( ) -10O232C1J' A．2 B．1 C．2B322 D．  432A（第3题图） 4．二次函数yx2x8的图像与x轴交于B，C两点，点D平分BC，若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是（ ）

A．3＜AD≤9 B．3≤AD≤9 C．4＜AD≤10 D．3≤AD≤8

 沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（ ） 5．将 BCC A． 37 B．8 C．65 D．215

6．一个等边三角形的周长比一个正方形的周长在2012cm，等边三角形A

xcm．则x不能取的正整数的个数为（ ） A．499 B．500 C．666 D．670

二、填空题（每小题5分，共40分）

7．已知关于x的不等式axb0的解是x1，则关于x的不等式(axb)(x2)0的 解为__________________

8．若二次函数yaxbxc(a0)图像的最低点的坐标为(1,1)， 则关于x的一元二次方程axbxc1的根为 9．如图，点P在正方形ABCD外，PB＝10，△APB的面积为60， △BPC的面积为30，则正方形ABCD的面积为_____________。 10．标有1，1，2，3，3，5六个数字的立方体的表面展开图如图所示，面的数为x,朝下一面的数为y,得到平面直角坐标系中的一个点两个点所确定的直线经过点P(4,7),则他第三次掷得的点也在这条11．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型为 _．

DCABD 第5题图

B

的边长比正方形的边长大

22P掷这个立方体一次，记朝上一(x,y).已知小华前二次掷得的

15直线上的概率为 ．

2331第10题图 第11题图

模板如图放置，则矩形ABCD的周长

12．如图，直线AB与⊙O相交于A、B两点，点O在AB上，点点E是直线AB上—个动点(与点O不重合)，直线EC交；⊙O点E共有 个．

13．如图，正方形ABCD的两个顶点A、D分别在x轴，y轴上，

yCDBxOA第18题C在 ⊙O上，且∠AOC= 40°，于另一点D，则使DE=DO的

AO=3，DO=4。如果双曲线

y

k

和线B有一个交点，则k的范围为 ． x

14．甲乙两个布袋中各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝少且至少两个颜色一样的球放入乙袋中，再从乙袋中拿出尽可能每种颜色的球不少于3个，这时甲袋中有_______________个球，出时不能看）

三、解答题（共50分）

各4个。从甲袋中拿出尽可能少的球放入甲袋中，使甲袋中乙袋中有__________个球（拿

15．（12分）你觉得手机很神奇吗？它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图像等信息，据说以后还能发送味道、触觉信息呢！这里都有手机中电脑芯片的功劳．其实，这些信号在电脑芯片中都是以二进制数的形式给出的．每个二进制数都由0和1构成，电脑芯片上电子元件的“开”、“关”分别代表“1”和“0”．一组电子元件的“开”“关”状态就表示相应的二进制数．例如“开”“开”“关”表示“110”．

如图，电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件（假设它们首尾不相连），且相邻的两个元件不能同时是关的．（以下各小题要求写出解答过程）

（1）若此电路上有4个元件，则这4个元件所有不同的“开”“关”状态共有多少种？（请一一列出）； （2）若用ak表示电路上k(k1)只电子元件所有不同的“开”“关”状态数，试探索 ； ak,ak1,ak2之间的关系（不要求论证）

（3）试用（2）中探索出的递推关系式，计算a10的值．

16．（12分）已知关于x的方程kx(2k1)xk10只有整数根，且关于y的一元二次方程(k1)y3ym0有两个实数根y1和y2

（1）当k为整数时，确定k的值；

（2）在（1）的条件下，若m2的整数，试求m的最小值

22

17．（12分）已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE=P．

(1)求EP：PF的值． (2)求A P：PD的值．

18．（14分）通过学习勾股定理的逆定理，我们知道在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形．类似地，我们定义：对于任意的三角形，设其三个内角的度数分别为x°、y°和z°，若满足xyz，则称这个三角形为勾股三角形．

（1）根据“勾股三角形”的定义，请你判断命题：“直角三角形不是勾股三角形”是 （填“真”或“假”）命题； （2）已知某一勾股三角形的三个内角度数从小到大依次为x°、y°和z°，且xy=2160，求x+y的值；

（3）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=6，AC=13， BC=2，BE是⊙O的直径，交AC于D． ①求证：△ABC是勾股三角形； ②求DE的长．

22212AB．F为 AC上一点，且CF=AC，EF交AD于45A E D

¡ O

C B 2012学年第一学期区域性九年级数学竞赛答题卷

„„„„„„„„

题号 1 2 3 4 5 6 一、选择题：（每小题5分，共30分） 答案 二、填空题（每小题5分，共40分）

7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 ， 三、解答题（第15、16、17每题12分，18题14分，共50分） 15、解：

16、解：

17、解：

18、解：（1）

一、选择题：DBD AAD 二、填空题：

7、1x2 ；8、x1x21 ；9、180 ；10、13、21≤k＜28或k=

A D

¡ O

E

B C

参

2 11、85 12、3 31369 14、19，5 48三、解答题：

15、解：用“1”表示开，“0”表示关，则所有不同的“开”“关”的状态可表示为： 1111（全开）------------------------------------------------2分 1110，1101，1011，0111（三开一关）---------------4分 1010，0101，0110（两开两关）-----------------------6分 共有8种，即a48

（2）由a12,a23,a35,a48归纳出ak2ak1ak----------------9分

（3）a5a4a38513,a6a5a413821,a7a6a5211334,

a8a7a6342155,a9a8a75534,a10a9a855144

------------------------------------------------------------------------------------------12分

16、解：（1）当K=0时，方程①有整数根x=－1--------------2分

当k≠0时，方程①可化为(x+1)(kx+k－1)=0

解得x1=－1, x2=

k11=－1+----------------4分 kk∵k为整数，x2也为整数

∴k=±1----------------------------------------6分

2

此时△=（2k－1）－4k(k－1)=1＞0

但当k=1时，方程②不是一元二次方程---------------7分 ∴k=0或k=－1--------------------------------8分

(2)当k=0时，方程②可化为－y2

－3y+m=0,

△=9+4m≥0，即m≥94 ------------------------9分 又∵m2

∴当m2时，m的最小值为-2----------------10分

当k=－1时，方程②可化为－2y2

－3y+m=0,△=9+8m≥0，即m≥98--------11分 ∴当m≥98时，m的最小值为-1------------------------------12分

17、解：(1)分别作EEl、FFl平行于BC且与AD交AD于E1、F1两点， 则

F1FDCAFAC35 --------------- 2分 E1EDBAEAB34-------------3分 又BD=DC

F1FEE4 ------------------4分 15EPPFE1EF5------------------6分 1F4 (2)设AF1=y，F1P=4x，PE1=5x，E1D=z，

y3y9xz5----------8分

y9xy9xz34--------------9分

解得y=36x， z=15x -----------------------l0分

APPDy4xz5x40x20x21 ---------------12分

18、解：（1）真----------------2分

xy2160(1)（2）由题意可得：x2y2z2(2)------4分

xyz180(3)由（3）得：z180x(y ) 代入（2）得：把（1）代入得：xy102-----------------6分 （3）①过B作BH⊥AC于H，

设AH=x，则CH=13x，

RtABH中，BH6x2，

RtCBH中，(6x2)2(13x)24----------------8分

(xy)22xy180(xy)2

解得：x3 所以，AHBH3,HC1

所以，A45,ABC75,C60-------------------9分 因为，456075

所以，ABC是勾股三角形---------------------10分

②连接CE

则BECBAC45，又BE是直径，所以，BCE90 所以，BC=CE=2，BE22 过D作DK⊥AB于K

设KD=h，则BK3h,AKh

222由ABAKBK(31)h6h所以，BD326 326---------------------12分 2所以，DEBEBD62----------------14分