面积法在中学数学解题中的巧用
利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数”的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。
用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明”的效果。
有关面积的公式
1（1）矩形的面积公式：S=长宽 （2）三角形的面积公式：Sah
2（3）平行四边形面积公式: S=底高
1（4）梯形面积公式: S=(上底+下底)高
2（5）对角线互相垂直的四边形：S=对角线乘积的一半（如正方形、菱形等） 有关面积的公理和定理 1、面积公理
（1）全等形的面积相等；
（2）一个图形的面积等它各部分面积之和； 2、相关定理
（1）等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；
如下图S△ACD=S△BCD；
反之，如果S△ACDS△BCD，则可知直线AB平行于CD
（2）等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；
（3）等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；
（4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方；
（5）在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；
（6）等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米。问：长方形的面积是__________平方厘米。
等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。 如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且EF=2BE，则S△AFC 9 cm2
如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止。在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（ ）
D C A P B
等面积法的应用二：利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值。 已知直角三角形两直角边长分别为5和12，斜边上的高为_________ AH是菱形ABCD的高，且AC=6，BD=8，则AD=____
把矩形OABC放置在直角坐标系中, OA＝6,OC＝8 ，若将矩形折叠，使点B与O重合得到折痕EF,求OB、折痕EF的长。（提示：BFOE是菱形，利用菱形的面积
1等于EFOB又等于EB*OA，列方程求出折痕EF的长.）
2 A F O 2540E 35 C
30 B D 如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，求三角形ABC的面积？210 平行四边形ABCD中AC与BD交于点O，AB=10，AD=8，O到AB的距离为2，则O到BC的距离为__
在平行四边形ABCD中，∠BAD=300，AB=5cm，AD=3cm，E为CD上的一个点，且BE=2cm，则点A到直线BE的距离为______。
正方形ABCD内接于圆O，E是CD的中点，圆的半径为2，则点O到BE的距离为_____
如图，矩形ABCD中AB＝a，BC＝b，M是BC的中点，D，E是垂足 EAME求证：D2ab4ab22
等面积法的应用三：利用同一图形的面积相等，可以列方程证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明。
三边长分别为6、8、10的三角形的三条高的比分别为____ 看图，写代数恒等式:__________________
如图，边长为a的正△ABC内有一边长为b的内接正△DEF，则△AEF的内切圆半径为
3(ab) 6如图，已知P为等边三角形ABC内一点，过P作三垂直，三角形ABC的高为h.试说明PDPEPFh
AFPEBDC
已知P为边长是3的等边三角形ABC内一点，则P点到三边的距离之和为___ 求证：等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高（运用面积法可以证明），等腰三角形底边延长线上任一点点到两腰距离的差等于腰上的高。
3请应用上述结论完成下题：已知直线y3x3和直线yx3，在直线
43y3x3上有一点P，且点P到直线yx3的距离是2，求P点的坐标
4
已知:如图，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。
求证：∠AOC=∠BOC（提示：过点C作CP⊥AE，CQ⊥BD）
已知：如图，AD是的角平分线。求证：ABCABBD ACDC
已知：如图，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延长线于E。
求证：CF=BE
已知：如图，在中，A，BD、CE分别为AC、AB边上的高。 BACABC求证：B DCE等面积法的应用四：面积等分线
等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；两条平行直线之间的距离处处相等 一、平分三角形面积
（1）过一顶点作等积分割线：找中线；（2）过边上一点作等积分割线
二、平分平行四边形面积：找过对称中心的直线；
三、平分梯形面积：找两底中点所在直线；等积变形成三角形；等积变形成平行四边形 方案一：连结梯形上、下底的中点E、F
1
方案二：分别量出梯形上、下底a、b的长，在下底BC上截取BE＝(a＋b)，连
2
接AE。如果用尺规作图，就是把上底平移到下底一旁作出两底之和，再取两底之和的中点
方案三：取一腰中点，等积变形成三角形或平行四边形 四、平分一般四边形：变形成等积的三角形。
（1）过一顶点作等积分割线；（2）过边上一点作等积分割线 五、平分五边形的面积
练习题1、如图，在△ABC中，BD：DC=1：2，E为AD中点，若△ABC面积为120，则阴影部分面积为
2、有一块方角形钢板如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分。 3、如果花园形状是任意四边形ABCD，四边形内部有一条折线小路AEC刚好平分四边形面积，现在小区的物业公司想把折线小路修成直线小路，由于各种条件，小路要通过点A，并且只能修在AC和点E之间，同时还要平分四边形面积，
请你帮助设计
工人师傅想对如图1的直角铁皮，用一条直线m将其分成面积相等的两部分．图2是甲、乙、丙、丁四位同学给出的做法，其中做法正确的学生数是（ ）
现有如图所示的方角铁皮，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案(要求：①分割的两部分两图不能完全相同，否则视作一种；②须有必要的数据说明或标记)
请你画一条直线，把下图分成面积相等的两部分
如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分，这样的直线可以画几条？（ ）
A 1 B 2 C 3 D无数条
如图，一个圆和一个平行四边形．请你画出一条直线l，同时把这两个图形分成面积相等的两部分．
如图，张大爷家有一块四边形的菜地，在A处有一口井，张大爷欲想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分．请你为张大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由
7-1
7-2
7-3
7-3
如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（1，0），对角线的交点P（2.5 ，1）
（1）写出B、C、D三点的坐标；
（2）若在线段AB上有一点 E（3，0），过E点的直线将矩形ABCD的面积分为相等的两部分，求直线的解析式
图所示，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（12，5），直线y＝0.25x+b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分．那么b=
等面积法在数学中应用广泛，除此等积变换模型之外，涉及面积的知识还有以下模型：
SODS4蝴蝶模型：在任意四边形中有1
S2OBS3
:S3 ②S1:S3a2:b2 :S2=OD：OB=S4 在梯形中有①S1 相似模型：（金字塔模型、沙漏模型）
金字塔模型 沙漏模型
ADAEDEAF； ABACBCAG②S△ADE:S△ABCAF2:AG2。 燕尾定理模型
①
S△ABG:S△AGCS△BGE:S△EGCBE:EC S△BGA:S△BGCS△AGF:S△FGCAF:FC
S△AGC:S△BCGS△ADG:S△DGBAD:DB 练习题：
如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF＝DC，且AD＝2DE 。则两块地ACF和CFB的面积比是_______
如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是___6.5（提示：连接AE，△ACE与△BCE面积之比为5:8）
如图，将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是__________
如图，四边形EFGH的面积是65平方米，EA＝AB，CB＝BF，DC＝CG，HD＝DA，求四边形ABCD的面积。13
矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数
k22k1y图象上，若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为（ ）
x
如图，正比例函数y=-x与反比例函数y=
2x的图象相交于A、B两点，分别过A、B两点作y
轴的垂线，垂足分别为C、D，连接AD，BC，则四边形ACBD的面积为___
如图，在6×5的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则sin∠BAC的值为___
如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是___（3或6根据两部分面积相等列方程）
