2001年第23期 数学通讯23
一个不等式猜想的推广及证明
梅 宏
(长沙电力学院数学与计算机系,长沙 410077)
中图分类号:O122.3-42 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)23-0023-02 在文[1]中,宋庆、宋光在证明下面两个不等式:
若a,b,c∈R,则
(a+b)(
+
定理1的证明 根据引理,我们有
aj-ai
aiaj
2n
1a+1b
4)≥4+4(
b-a4
≥n
a2)b
6
(1)c-b(2)
aj-ai
2n
aiaj
,1≤i(6)(a+b+c)(6
1a
6
+
1b
+
1c
6
)≥9+6[(b-a
6
将不等式(6)两边同时平方,得到
ajai+≥n2aiaj
2n
b2
)+(c
6
a-c
+
c2
)+(aa2)]b
aj-ai
2n
aiaj
2
+2,1≤i后,提出了下面的猜想:若ak∈R(k=1,2,…,n),则
k=1
再将上面
2n
n(n-1)2
个不等式相加,并在两边同时加
上n,得到
aj-ai
2n
6ak6
nn
1ak
k=1
≥n2+2n
6(1≤iai2)aj
(3)
a2a1anan-1++…+++na1a2an-1an
2
1≤inn
并作注:采用上述“步步为营”的方法,可繁笨地证明
n=4,5等时(3)式正确.
≥n
6
2n
aj-ai
2n
aiaj
2
+
n(n-1)2
×2+n.
下面我们将不等式(3)进行推广,得到了比不等式(3)更强的结果.
定理1 若ak∈R(k=1,2,…,n),则
k=1
即 6ak6
k=1
1ak
k=1
≥n+n
+
2n
22
1≤i62n
aj-ai
2n
aiaj
2
.证毕.
6ak6
nn
1ak
k=1
(≥n2+n21≤i6aj-ai2n
有了不等式(4),许多与之有关的不等式的结果都可以得到加强与推广.
(4)
ai2
)aj
推论1 若ak∈R+(k=1,2,…,n),则
k=1
在证明定理1之前,我们先证明一个引理.引理 若a,b∈R+,则 证
2n
2n
2n
6ak6
nn
1ak
k=1
≥n2.
推论2 1+
ab
(5)
2n
b-ab-a
n
2n
ababab2n
≥n
b-a
1112n++…+>23nn+1
2n
・1+
1≤i6j-iij
2.
定理2 若0n=
2n
bab-a
-2n
6ak6
k=1
nn
1ak
n+1npq-qpn+12
k=1
=
2n
ab
2n
ba
n-1
n-12n
+
ba
n-2
≤n+
2
22n(7)
・≥n
a+…+b
2n
ab
b-a
2n
ab
.证毕.
或个等于p,其22
余的等于q时,等号成立,其中[x]表示不超过实数
当且仅当ak中有
收稿日期:2001-00-00作者简介:
24数学通讯 2001年第23期
学习《考试说明》指导高三数学复习
石志群
(姜堰市第二中学高三数学组,江苏)
中图分类号:G632.474 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)23-0024-03 近几年的高考数学试题,始终以数学科《考试说明》为命题依据,在稳定中创新,逐步强化对能力的考查.其表现是《考试说明》的发展、变化上将原来考试内容中的知识要求与能力要求分离开来,连同新增的“对知识和能力的考查注意如下几点”统一为考试要求.根据这一变化,我们认为高考复习时对以下几个方面需引起重视.
1 强化重点知识的教学,确保基础题的得分率
的“拟柱体”问题,2001年的信息传输问题),但实质上是考纲内必考知识的“最近发展区”,且可以完全不用,甚至不知道也没关系,关键还在于基本功是否过关(如1999年的“拟柱体”问题,就可以用分割或镶补的方法补成或割成熟悉的几何体).因此,对《考试说明》中各知识点的考查要求(即了解、理解、灵活和综合运用)需吃清、吃透,只有这样,才能把好钢用在刀刃上.
考能力是在用知识的过程中体现的,只有对知识的透彻理解、熟练掌握才能体现为能力上的灵活
尽管有“命题范围遵循教学大纲又不拘泥于教学大纲”之说,且偶有看似考纲外的内容(如1999年
x的最大整数部分.
证 下面我们介绍一种称为选择主元的方法来证明这个定理.
首先选择a1,a2,…,an个元素中的某个元素,如ak(=x),作为主元(即作为变量),让其在区间
[p,q]上变化,其余(n-1)个元素a1,a2,…,ak-1,ak+1,…,an固定(即作为常量),作函数
f(x)=(a+x)(b+
)
xa=ab+1+bx+
x
an分别取p或q时,6ak6
k=1
nn
1ak
k=1
才可能取得最大值.
假设ak中有m个取p,n-m个取q,则
k=1
6ak6
nn
1ak
k=1
=[mp+(n-m)q]=n+m(n-m)
2
mn-m+pqp-q
qp
2
≤n2+ ・nn+112p-q
2qpn2
.
=(
2
ab+1)+(
bx-j=1,j≠k
a2),x
2
于p,其余的等于q时,等号成立.证毕.
显然,当且仅当ak中有
或
n+12
个等
其中a=
j=1,j≠k
6
n
aj,b=6
n
1aj
.
定理2为美国第六届中学生数学竞赛试题5之推广.
a在区间[p,q]上是关于x
x的单调函数,其最大值只可能在端点p或q处取
显然,函数bx-
参考文献:
[1] 宋庆,宋光.三个待解决的不等式问题.不等式
得.因此,函数f(x)的最大值也只可能在端点p或q处取得.
由于当x取a1,a2,…,an个元素中的任一个元素时,上面的讨论均成立.因此,只有当a1,a2,…,
研究.杨学枝主编.拉萨:人民出版社,
2000,6,119-120.
收稿日期:2001-08-27
),男,江苏姜堰人,姜堰市第二中学高级教师,学士.作者简介:石志群(1962—
