【精品】2017-2018学年重庆市沙坪坝区七年级下期末数学试卷(含答案解析)

2017-2018学年重庆市沙坪坝区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1．下列方程是一元一次方程的是（ ） A．2x﹣3y＝0

B．x﹣1＝0

C．x2﹣3＝x

D．

2．如图图形中，是轴对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

3．解方程组时，把①代入②，得（ ）

B．2y﹣（3y﹣2）＝10 D．2y﹣5（3y﹣2）＝10

A．2（3y﹣2）﹣5x＝10 C．（3y﹣2）﹣5x＝10

4．若三角形的两边长分别为3和8，则第三边的长可能是（ ） A．3 5．不等式组

B．4

C．5

D．6

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B．

C． D．

6．若x＝5是关于x的方程ax＝5+2x的解，则a的值等于（ ） A．20 7．由方程组A．x+y＝8

B．15

C．4

D．3

可得出x与y的关系式是（ ）

B．x+y＝1

C．x+y＝﹣1

D．x+y＝﹣8

8．某商场将A商品按进货价提高50%后标价，若按标价的八折销售可获利40元，设该商品的进货价为x元，根据题意列方程为（ ）

A．0.8×（1+50%）x＝40 C．0.8×（1+50%）x﹣x＝40

B．8×（1+50%）x＝40 D．8×（1+50%）x﹣x＝40

9．如图，△ABC≌△DCB，∠A＝80°，∠DBC＝40°，则∠DCA的度数为（ ）

A．20° B．25° C．30° D．35°

10．已知：|2x+y﹣3|+（x﹣3y﹣5）2＝0，则yx的值为（ ） A．1

B．﹣1

C．2

D．﹣2

11．如图，将一张正三角形纸片剪成四个全等的正三角形，得到4个小正三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正三角形再剪成四个小正三角形，共得到7个小正三角形，称为第二次操作；再将其中的一个正三角形再剪成四个小正三角形，共得到10个小正三角形，称为第三次操作；…，以上操作n次后，共得到49个小正三角形，则n的值为（ ）

A．n＝13 B．n＝14 C．n＝15 D．n＝16

12．如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点．∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q，若∠A＝48°，则∠BQC的度数为（ ）

A．138° B．114° C．102° D．100°

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．

13．方程3x＝6的解为 ．

14．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1＝ 度．

15．已知16．方程

是方程组的解，则a+b＝ ．

与方程1＝x+7的解相同，则m的值为 ．

17．关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负数，且关于x的不等式组数k的值的和为 ．

有解，则符合条件的整

18．假设北碚万达广场地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2019年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变 为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过 小时车库恰好停满．三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19．（1）解方程：2+3（x﹣2）＝2（3﹣x）； （2）解不等式：

﹣1

．

20．如图，格点△ABD在长方形网格中，边BD在直线l上． （1）请画出△ABD关于直线l对称的△CBD；

（2）将四边形ABCD平移得到四边形A1B1C1D1，点A的对应点A1的位置如图所示，请画出平移后的四边形A1B1C1D1．

四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．

21．解不等式组，并写出不等式组的最大整数解．

22．李师傅要为某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的多12°，请你帮李师傅求出这个正多边形的一个内角的度数和它的边数．

23．沙坪坝区2017年已经成功创建国家卫生城区，现在正全力争创全国文明城区（简称“创文”）．某街道积极响应“创文”活动，投入一定资金用于绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共72棵，其中甲种树木每棵90元，乙种树木每棵80元，共用去资金6160元． （1）求甲、乙两种树木各购买了多少棵？

（2）经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好．该街道决定再购买一批这两种树木绿化另一块闲置空地，两种树木的购买数量均与第一批相同，购买时发现甲种树木单价上涨了a%，乙种树木单价下降了a%，且总费用不超过6804元，求a的最大值．

24．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，CE平分∠BCD交AB于点E，连结DE． （1）若∠A＝50°，∠B＝85°，求∠BEC的度数； （2）若∠A＝∠1，求证：∠CDE＝∠DCE．

五、解答题：（本大题2个小题，25小题10分，26小题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．

25．我们知道，任意一个正整数a都可以进行这样的分解：a＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在a的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是a的最佳分解．并规定：F（a）＝．例12可以分解成1×12，2×6，3×4，因为|1﹣12|＞|2﹣6|＞|3﹣4|，所以3×4是12的最佳分解，所以F如：（12）＝．

（1）求F（18）﹣F（16）；

（2）若正整数p是4的倍数，我们称正整数p为“四季数”．如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x＜y≤9，x，y为自然数），交换个位上的数字与十位上的数字得到的新两位正整数减去原来的两位正整数所得的差为“四季数”，那么我们称这个数t为“有缘数”，求所有“有缘数”中F（t）的最小值． 26．在△ABC中，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，若∠BAC的角平分线交BC于点E，∠B＝42°，∠DAE＝7°，求∠C的度数；

（2）如图2，点M、N分别在线段AB、AC上，将△ABC折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为DM和DN，且点F，点G均在直线AD上，若∠B+∠C＝90°，试猜想∠AMF与∠ANG之间的数量关系，并加以证明；

（3）在（2）小题的条件下，将△DMF绕点D逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜360°），记旋转中的△DMF为△DM1F1（如图3）．在旋转过程中，直线M1F1与直线AB交于点P，直线M1F1与直线BC交于点Q．若∠B＝28°，是否存在这样的P、Q两点，使△BPQ为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角α的度数；若不存在，请说明理由．

2017-2018学年重庆市沙坪坝区七年级（下）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1．下列方程是一元一次方程的是（ ） A．2x﹣3y＝0

B．x﹣1＝0

C．x2﹣3＝x

D．

【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．

【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元一次方程； B、符合一元一次方程的定义；

C、未知项的最高次数为2，不是一元一次方程； D、分母中含有未知数，不是一元一次方程． 故选：B．

【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．

2．如图图形中，是轴对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，故此选项正确； 故选：D．

【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

3．解方程组时，把①代入②，得（ ）

B．2y﹣（3y﹣2）＝10 D．2y﹣5（3y﹣2）＝10

A．2（3y﹣2）﹣5x＝10 C．（3y﹣2）﹣5x＝10

【分析】根据二元一次方程组解法中的代入消元法求解． 【解答】解：把①代入②得：2y﹣5（3y﹣2）＝10， 故选：D．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想． 4．若三角形的两边长分别为3和8，则第三边的长可能是（ ） A．3

B．4

C．5

D．6

【分析】根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择． 【解答】解：根据三角形的三边关系，得 第三边大于：8﹣3＝5，小于：3+8＝11． 则此三角形的第三边可能是：6． 故选：D．

【点评】本题考查了三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和，此题基础题，比较简单． 5．不等式组

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】先根据不等式组求出解集，然后在数轴上准确的表示出来即可． 【解答】解：原不等式组可化简为：∴在数轴上表示为：

故选：A．

【点评】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几

．

个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 6．若x＝5是关于x的方程ax＝5+2x的解，则a的值等于（ ） A．20

B．15

C．4

D．3

【分析】把x＝5代入方程ax＝5+2x组成一次方程，即可解答． 【解答】解：把x＝5代入方程ax＝5+2x，可得：5a＝5+10， 解得：a＝3， 故选：D．

【点评】本题主要考查对解一元一次方程，二元一次方程的解等知识点的理解和掌握，能根据题意得到方程是解此题的关键． 7．由方程组A．x+y＝8

可得出x与y的关系式是（ ）

B．x+y＝1

C．x+y＝﹣1

D．x+y＝﹣8

【分析】将第二个方程代入第一个方程消去m即可得． 【解答】解：

，

将②代入①，得：x+y﹣1＝7， 则x+y＝8， 故选：A．

【点评】此题考查了解一元一次方程和二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

8．某商场将A商品按进货价提高50%后标价，若按标价的八折销售可获利40元，设该商品的进货价为x元，根据题意列方程为（ ） A．0.8×（1+50%）x＝40 C．0.8×（1+50%）x﹣x＝40

B．8×（1+50%）x＝40 D．8×（1+50%）x﹣x＝40

【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：0.8×（1+50%）x﹣x＝40，根据此列方程即可． 【解答】解：设这件的进价为x元，则 这件衣服的标价为（1+50%）x元， 打8折后售价为0.8×（1+50%）x元， 可列方程为0.8×（1+50%）x﹣x＝40， 故选：C．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，此题的关键是理解成本价、标价、售价之间的关系及打8折的含义．

9．如图，△ABC≌△DCB，∠A＝80°，∠DBC＝40°，则∠DCA的度数为（ ）

A．20° B．25° C．30° D．35°

【分析】根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝80°，∠ACB＝DBC＝40°，根据三角形内角和定理求出∠DCB，计算即可．

【解答】解：∵△ABC≌△DCB，

∴∠D＝∠A＝80°，∠ACB＝DBC＝40°， ∴∠DCB＝180°﹣∠D﹣∠DBC＝60°， ∴∠DCA＝∠DCB﹣∠ACB＝20°， 故选：A．

【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 10．已知：|2x+y﹣3|+（x﹣3y﹣5）2＝0，则yx的值为（ ） A．1

B．﹣1

C．2

D．﹣2

，利用①×3+②得6x+x﹣9﹣5＝0，可解得x＝2，再代入

【分析】根据几个非负数和的性质得到

①可求出y＝﹣1，然后利用乘方的意义计算yx． 【解答】解：∵|2x+y﹣3|+（x﹣3y﹣5）2＝0， ∴

，

①×3+②得6x+x﹣9﹣5＝0， 解得x＝2，

把x＝2代入①得4+y﹣3＝0， 解得y＝﹣1， ∴yx＝（﹣1）2＝1． 故选：A．

【点评】本题考查了解二元一次方程组：利用代入消元或加减消元法把解二元一次方程组转化为一元一次方程，分别求出两个未知数的值，从而确定方程组的解．也考查了几个非负数和的性质．

11．如图，将一张正三角形纸片剪成四个全等的正三角形，得到4个小正三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正三角形再剪成四个小正三角形，共得到7个小正三角形，称为第二次操作；再将其中的一个正三角形再剪成四个小正三角形，共得到10个小正三角形，称为第三次操作；…，以上操作n次后，共得到49个小

正三角形，则n的值为（ ）

A．n＝13 B．n＝14 C．n＝15 D．n＝16

【分析】根据已知得出第n次操作后，正三角形的个数为3n+1，据此求解可得．

【解答】解：∵第一次操作后得到4个小正三角形，第二次操作后得到7个小正三角形；第三次操作后得到10个小正三角形，

∴第n次操作后，正三角形的个数为3n+1．则： 49＝3n+1， 解得：n＝16，

故若要得到49个小正三角形，则需要操作的次数为16次． 故选：D．

【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出第n次操作后，总的正三角形的个数为3n+1是解题关键．12．如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点．∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q，若∠A＝48°，则∠BQC的度数为（ ）

A．138° B．114° C．102° D．100°

【分析】依据∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，即可得到∠M＝∠DCM﹣∠DBM＝24°，依据∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q，即可得到∠Q＝180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）＝102°． 【解答】解：∵∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M， ∴∠DCM＝∠ACD，∠DBM＝∠ABC，

∴∠M＝∠DCM﹣∠DBM ＝（∠ACD﹣∠ABC） ＝∠A ＝24°，

由折叠可得，∠N＝∠M＝24°，

又∵∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q， ∴∠CBQ＝∠CBN，∠BCQ＝∠BCN， ∴△BCQ中，

∠Q＝180°﹣（∠CBQ+∠BCQ） ＝180°﹣（∠CBN+∠BCN） ＝180°﹣×（180°﹣∠N） ＝90°+∠N ＝102°， 故选：C．

【点评】本题主要考查了折叠问题，三角形内角和定理以及角平分线的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13．方程3x＝6的解为 x＝2 ．

【分析】直接将原方程系数化1，即可求得答案． 【解答】解：3x＝6， 系数化1得：x＝2． 故答案为：x＝2

【点评】此题考查了一元一次方程的解．注意使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．14．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1＝ 165 度．

【分析】由题意得出∠CAD＝60°、∠B＝45°、∠CAB＝120°，根据∠1＝∠B+∠CAB可得答案． 【解答】解：如图，

由题意知，∠CAD＝60°，∠B＝45°， ∴∠CAB＝120°，

∴∠1＝∠B+∠CAB＝45°+120°＝165°， 故答案为：165．

【点评】本题主要考查三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．15．已知

是方程组

的解，则a+b＝ ﹣2 ．

【分析】解题关键是把方程组的解代入原方程组，使方程组转化为关于a和b的二元一次方程组，再解方程组． 【解答】解：把解得：

，

代入方程组

中，可得：

，

所以a+b＝﹣2， 故答案为：﹣2

【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解方程组常用的方法是加减法和代入法． 16．方程

与方程1＝x+7的解相同，则m的值为 ﹣21 ．

得出一个关于m的方程，求出m即可．

【分析】求出方程1＝x+7的解，把x的值代入方程【解答】解：1＝x+7， x＝﹣6， ∵方程

与方程1＝x+7的解相同，

∴把x＝﹣6代入方程＝﹣7， m＝﹣21， 故答案为：﹣21．

得：﹣3+＝﹣6﹣4，

【点评】本题考查了同解方程和解一元一次方程，关键是能得出关于m的方程． 17．关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负数，且关于x的不等式组数k的值的和为 5 ．

【分析】先求出方程的解与不等式组的解集，再根据题目中的要求求出相应的k的值即可解答本题． 【解答】解：解方程k﹣2x＝3（k﹣2），得：x＝3﹣k， 由题意得3﹣k≥0， 解得：k≤3，

解不等式x﹣2（x﹣1）≤3，得：x≥﹣1， 解不等式

≥x，得：x≤k，

有解，则符合条件的整

∵不等式组有解， ∴k≥﹣1， 则﹣1≤k≤3，

∴符合条件的整数k的值的和为﹣1+0+1+2+3＝5， 故答案为：5．

【点评】本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

18．假设北碚万达广场地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2019年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过

小时车库恰好停满．

【分析】设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，根据题意列出方程组求得x、y，进一步代入求得答案即可．

1个出口1小时开出y辆，【解答】解：设1个进口1小时开进x辆车，车位总数为a，由题意得

解得：，

则60%a÷（2×﹣）a＝小时

答：从早晨6点开始经过故答案为：

．

小时车库恰好停满．

【点评】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．

三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19．（1）解方程：2+3（x﹣2）＝2（3﹣x）； （2）解不等式：

﹣1

．

【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：（1）2+3（x﹣2）＝2（3﹣x）， 2+3x﹣6＝6﹣2x， 3x+2x＝6+6﹣2， 5x＝10， x＝2；

（2）去分母得：2x+3﹣6＞3（x﹣1）， 2x+3﹣6＞3x﹣3， 2x﹣3x＞﹣3+6﹣3， ﹣x＞0， x＜0．

【点评】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，能正确根据等式的性质和不等式的性质进行变形是解此题的关键．

20．如图，格点△ABD在长方形网格中，边BD在直线l上． （1）请画出△ABD关于直线l对称的△CBD；

（2）将四边形ABCD平移得到四边形A1B1C1D1，点A的对应点A1的位置如图所示，请画出平移后的四边形A1B1C1D1．

【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：△CBD即为所求；

（2）如图所示：四边形A1B1C1D1，即为所求．

【点评】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．

四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 21．解不等式组

，并写出不等式组的最大整数解．

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【解答】解：∵解不等式2x﹣4≤3（x+1）得：x≥﹣7， 解不等式

得：x＜﹣

， ，

∴不等式组的解集是﹣7≤x＜﹣

∴该不等式组的最大整数解为﹣4．

【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．22．李师傅要为某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的多12°，请你帮李师傅求出这个正多边形的一个内角的度数和它的边数．

【分析】设这个多边形的一个内角的度数是x°，则相邻的外角度数是x°+12°，得出方程x+x+12＝180，求出x，再根据多边形的外角和等于360°求出边数即可．

【解答】解：设这个多边形的一个内角的度数是x°，则相邻的外角度数是x°+12°， 则x+x+12＝180， 解得：x＝140，

这个正多边形的一个内角度数是140°， 180°﹣140°＝40°， 所以这个正多边形的边数是

＝9．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，能求出多边形的一个内角的度数是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于360°．

23．沙坪坝区2017年已经成功创建国家卫生城区，现在正全力争创全国文明城区（简称“创文”）．某街道积极响应“创文”活动，投入一定资金用于绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共72棵，其中甲种树木每棵90元，乙种树木每棵80元，共用去资金6160元． （1）求甲、乙两种树木各购买了多少棵？

（2）经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好．该街道决定再购买一批这两种树木绿化另一块闲置空地，两种树木的购买数量均与第一批相同，购买时发现甲种树木单价上涨了a%，乙种树木单价下降了a%，且总费用不超过6804元，求a的最大值．

【分析】（1）设甲种树苗购买了x棵，乙种树苗购买了y棵，根据总费用＝单价×数量结合“购买了甲、乙两种树木共72棵，共用去资金6160元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）根据总费用＝单价×数量结合总费用不超过6804元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【解答】解：（1）设甲种树苗购买了x棵，乙种树苗购买了y棵， 根据题意得：解得：

．

，

答：甲种树苗购买了40棵，乙种树苗购买了32棵．

（2）根据题意得：90×（1+a%）×40+80×（1﹣a%）×32≤6804， 解得：a≤25． 答：a的最大值为25．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

24．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，CE平分∠BCD交AB于点E，连结DE． （1）若∠A＝50°，∠B＝85°，求∠BEC的度数； （2）若∠A＝∠1，求证：∠CDE＝∠DCE．

【分析】（1）求出∠A+∠BCD＝180°，求出∠BCD，求出∠BCE，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据三角形内角和定理和∠A+∠BCD＝180°求出∠CDE＝∠BCE，即可得出答案． 【解答】（1）解：∵∠B+∠ADC＝180°，∠A+∠B+∠BCD+∠ADC＝360°， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠A＝50°， ∴∠BCD＝130°， ∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE＝∠BCD＝65°， ∵∠B＝85°，

∴∠BEC＝180°﹣∠BCE﹣∠B＝180°﹣65°﹣85°＝30°；

（2）证明：∵由（1）知：∠A+∠BCD＝180°， ∴∠A+∠BCE+∠DCE＝180°，

∵∠CDE+∠DCE+∠1＝180°，∠1＝∠A， ∴∠BCE＝∠CDE， ∵CE平分∠BCE， ∴∠DCE＝∠BCE， ∴∠CDE＝∠DCE．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角、角平分线定义等知识点，能正确根据多边形的内角和定理进行推理是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和＝（n﹣2）×180°．

五、解答题：（本大题2个小题，25小题10分，26小题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．

25．我们知道，任意一个正整数a都可以进行这样的分解：a＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在a的所有

这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是a的最佳分解．并规定：F（a）＝．例12可以分解成1×12，2×6，3×4，因为|1﹣12|＞|2﹣6|＞|3﹣4|，所以3×4是12的最佳分解，所以F如：（12）＝．

（1）求F（18）﹣F（16）；

（2）若正整数p是4的倍数，我们称正整数p为“四季数”．如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x＜y≤9，x，y为自然数），交换个位上的数字与十位上的数字得到的新两位正整数减去原来的两位正整数所得的差为“四季数”，那么我们称这个数t为“有缘数”，求所有“有缘数”中F（t）的最小值． 【分析】（1）根据题意求出F（18），F（16）的值代入即可．

（2）根据题意列出二元一次方程，解的所有可能性，求出F（t）最小值． 【解答】解：（1）∵F（18）＝2，F（16）＝1 ∴F（18）﹣F（16）＝1

（2）根据题意得：10y+x﹣（10x+y）＝4k（k为正整数） ∴9（y﹣x）＝4k ∴y﹣x＝4，或y﹣x＝8 且1≤x＜y≤9 ∴y＝5，x＝1 y＝6，x＝2， y＝7，x＝3 y＝8，x＝4 y＝9，x＝5 y＝9，x＝1

∴两位正整数为 51，62，73，84，95，91 ∴F（51）＝

，F（62）＝

，F（73）＝73，F（84）＝

，F（95）＝

，F（91）＝

∴F（t）的最小值为

【点评】本题考查了因式分解的应用，关键是通过阅读能理解题目的新概念． 26．在△ABC中，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，若∠BAC的角平分线交BC于点E，∠B＝42°，∠DAE＝7°，求∠C的度数；

（2）如图2，点M、N分别在线段AB、AC上，将△ABC折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为DM和DN，且点F，点G均在直线AD上，若∠B+∠C＝90°，试猜想∠AMF与∠ANG之间的数量关系，

并加以证明；

（3）在（2）小题的条件下，将△DMF绕点D逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜360°），记旋转中的△DMF为△DM1F1（如图3）．在旋转过程中，直线M1F1与直线AB交于点P，直线M1F1与直线BC交于点Q．若∠B＝28°，是否存在这样的P、Q两点，使△BPQ为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角α的度数；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用三角形的内角和定理即可解决问题；

（2）结论：∠AMF＝∠ANG．由翻折可知：∠B＝∠F，∠C＝∠DGN，由∠B+∠C＝90°，推出∠BAC＝90°，∠F+∠DGN＝90°，推出∠BAD+∠CAD＝90°，由∠BAD＝∠F+∠AMF，∠CAD＝∠DGN﹣∠ANG，推出∠F+∠AMF+∠DGN﹣∠ANG＝90°，可得∠AMF＝∠ANG； （3）分两种情形分别求解即可解决问题； 【解答】解：（1）如图1中，

∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90° 在Rt△AED中，∵∠EAD＝7°， ∴∠AED＝83°，

∵∠AED＝∠B+∠BAE，∠B＝42°， ∴∠BAE＝∠CAE＝41°， ∴∠BAC＝82°，

∴∠C＝180°﹣42°﹣82°＝56°．

（2）结论：∠AMF＝∠ANG． 理由：如图2中，

由翻折可知：∠B＝∠F，∠C＝∠DGN， ∵∠B+∠C＝90°，

∴∠BAC＝90°，∠F+∠DGN＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°，

∵∠BAD＝∠F+∠AMF，∠CAD＝∠DGN﹣∠ANG， ∴∠F+∠AMF+∠DGN﹣∠ANG＝90°， ∴∠AMF＝∠ANG．

（3）①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝∠F′＝28°， ∴∠F′DQ＝90°﹣28°＝62°， ∵∠FDB＝90°，

∴∠FDF′＝90°﹣62°＝28°， ∴旋转角为28°．

②当∠BPQ＝90°时，∠B＝∠F′＝28°， ∴∠PQB＝90°﹣28°＝62°， ∵∠PQB＝∠F′+∠F′DB， ∴∠F′DB＝62°﹣28°＝34°， ∴∠FDF′＝90°﹣34°＝56°， ∴旋转角为56°，

综上所述，满足条件的旋转角为28°或56°．

【点评】本题考查三角形综合题、旋转变换、翻折变换、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．