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一元二次不等式及其解法（知识讲解与典型例题）
课标要求分析：
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系.掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题.课标建议在一元二次不等式的学习中，应注重了解一元二次不等式的实际背景.求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解.鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图.
本周学习目标：
1．掌握一元二次不等式的基本解法；
2．了解一元二次不等式与相应函数，方程的联系，体会数形结合的数学思想； 3．初步掌握高次(分式)不等式、无理不等式与绝对值不等式的解法； 4．能将实际问题转化为数学问题，建立不等式模型，求解不等式.
本周学习重难点：
一元二次不等式的基本解法及与相应函数、方程的联系.
本周学习内容：
1．一元一次不等式的解法回顾
为引入一元二次不等式和梳理不等式解法作准备.
2．一元二次不等式的解法
一元二次不等式的一般形式：
由一元二次不等式的一般形式，即可发现其与二次函数和二次方程的联系， 进而可以利用函数图象得到不等式的解集. 设
，
两根为
，
.
结合图象按判别式分类归纳下表： 解集判别式 用心 爱心 专心 1
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注意： （1） （2）
R 的情形要转化为，
的情形； 解集的变化.
关于含参讨论注意：
（1）对二次项系数讨论：定不等式类型、定图象（开口方向）类型；
（2）对根的讨论：判别式（根的个数，交点个数）、根的分布（根的大小）； （3）对解集的讨论：画函数图象草图，根据图象定解集. （4）书写表达的规范.
的解法：穿线法.
3．高次（分式）不等式的解法
简单高次不等式
注意：系数化正，右上往左下，奇穿偶不穿.单独考虑孤立点.
（回顾变号零点存在定理，穿线法的原理还是一个数形结合的思想.）
分式不等式：分式化整式.
一边化0，改写成乘积式，注意分母不等于0的.特别小心“≥，≤”型的不等式.
4．无理及指对不等式的解法
无理不等式：转化思想，等价不等式（组）或数形结合
或，
，
.
或
5．绝对值不等式的解法
含一个绝对值：
含两个或以上绝对值：零点分段法.
也可利用绝对值的几何意义或结合函数图象求解.
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本周典型例题：
1．解关于x的不等式：
（1） （2）
分析：注意对字母系数的讨论，分清谁是参数.提醒数形结合与数轴的运用. 解析：（1）不等式可整理为
当 当为
；
，即，即
或或
时，不等式解集为时，若
，解集为R；若
； ，解集
当，即时，不等式解集为
.
（2）不等式可整理为
当，即或时，不等式解集为
当
，解集为；
，即或时，若，解集为R;若
若
，即时，解集为.
2．解下列一元二次不等式：
；
.
（1） （3）
； （2）
； （4）
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分析：熟悉一元二次不等式的基本解法，注意二次项系数的正负，化简变形，乘法公式.
解析：（1）整理得 （2）整理得 （3）整理得 （4）整理得
，解集为，解集为R.
.
，解集为[-1，3]. ，解集为
.
等式
3．已知二次函数
.
，当时，有，解关于x的不
分析：考查二次函数与二次不等式的联系.深化对用函数图象解二次不等式的理解.
解析：由时，有，说明不等式的解是，
进而方程的两根为.
于是由根与系数的关系， 故不等式
即为
，求得
，解得
.
4．若不等式的解集为，求a和b的值. 分析：考查二次方程与二次不等式的联系.注意二次项系数的正负. 解析：不等式
的解集为
，故
.
利用二次不等式与方程的关系，
有 5．若不等式值范围.
，解得.这个解符合
对一切
，从而a和b的值均为-2. 都成立，求实数m的取
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分析：本题是较为经典的综合运用二次不等式知识的题目.不等式含有参数m，分类讨论的思想是立刻要想到的，首先就是要“定二次项”.而后再运用判别式的知识解题. 解析：由于二次项系数含有参数m，故先对二次项系数进行分类讨论. 若合题意.
，即m=2，则不等式化为
，对一切
都成立，故m=2符
当时，依题意需满足
.
，解得.
综上，m的取值范围为
6．解关于x的不等式：
（1）；（2）
；（3）
分析：本题侧重考查含参二次不等式的解法.在前面的题目中对含参讨论有一定了解后，本题要求掌握系统的含参讨论方法.数形结合，定开口、定△、定根（比大小）、画图、写解集.
解析： （1）若
，则为一元一次不等式，解集为
；
当时，方程两根为；
若时，则解集为；
若，则，解集为；
若 若
，则解集为，则解集为
.
；
（2）若m=0，则为一元一次不等式，解集为R； 当m≠0时，二次项系数
，
；不等式化为
.
若，则解集为；
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若，则解集为.
（3）若k=0，不等式变形为
，解集为
若k≠0，不等式为一元二次不等式，
若
，则
，
方程的根为，
，且，解集为
若，则，
方程的根为，
，且，
解集为
若时，， 方程
的根为
，解集为
若时，
，解集为R. 综上，若
，解集为
；若
，解集为
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；
若,解集为;若；
解集为R.
7．解关于x的不等式：
（1）；（2）；
（3）； （4）.
分析：分式不等式转化为高次不等式，用穿线法来求解.其中要特别注意分母不为0. （1）原不等式等价于 （2）原不等式等价于 （3）原不等式等价于 若 若
，则解集为，则解集为
，
； . ，解集为，解集为
.
.
（4）不等式可等价为 若 若 若 若 若
，则解集为，解集为
，解集为，解集为，解集为
；
.
； ；
，
；
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8．解关于x的不等式：
；（2）
；（3）
.
（1）
分析：利用不等式变形，但一定要注意进行的是等价变形，不能丢解. 解析：
（1）不等式等价为或，解得.
（2）不等式等价为 （3）数形结合 设
，解得
，要使
. ，
即左边函数图象在右边函数图象下方， 解方程
，
由[1]， 由图得到： 当
时，不等式解集为：
；
，，
当时，不等式解集：；
当
时，不等式解集为.
9．解关于x的不等式：
（1）； （2）.
分析：利用指对函数的单调性，变形不等式求解.尤其要注意定义域.
解析：（1）由即
为增函数，不等式变形为，再变形为，
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（2）原不等式等价为
，解得.
所以解集为
10．解关于x的不等式：.
分析：转化为不等式组或利用几何性质求解，通过此题熟悉绝对值不等式的基本解法.
.
解析： 故解集为
.
11．解关于x的不等式：；
分析：含两个绝对值符号的，利用零点分段，结合图象讨论求解. 解析：
设，则，解不等式，得解集为
.
设集为
.
，则，解不等式，得解
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