弧长和扇形面积讲义(学生版)

. 二、知识点回顾 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~新课： 一、导入 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 二、知识梳理+经典例题 1.弧长公式 圆的面积C与半径R之间存在关系C2R，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是2R。 360nR 180 n°的圆心角所对的弧长是 lnR 180 *这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。 2.扇形面积 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。 发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。 在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积SR2，所以圆心角为n°的扇形面积是： S扇形nR21lR（n也是1°的倍数，无单位） 3602.

. 3. 圆锥的概念 观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。 如图，从点S向底面引垂线，垂足是底面的圆心O，垂线段SO的长叫做圆锥的高，点S叫做圆锥的顶点。 锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1、SA2、……都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。 母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P122 4. 圆锥的性质 由图可得 （1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心； （2）圆锥的母线长都相等 5. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。 圆锥侧面积是扇形面积。 .

. 如果设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为n（如图），则它们之间有如下关系： cnl 180 同时，如果设圆锥底面半径为r，周长为c，侧面母线长为l，那么它的侧面积是： S圆侧面clrl 圆锥的全面积为：rlr2 圆柱侧面积：2rh。 12例题赏析 1.在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为80cm，那么⊙O的半径为___________cm。 2.若扇形的圆心角为120°，弧长为10cm，则扇形半径为_____________，扇形面积为____________________。 3.如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为____________。 4.已知扇形的周长为28cm，面积为49cm2，则它的半径为____________cm。 5.两个同心圆被两条半径截得的AB10，CD6，又AC=12，求阴影部分面积。 6. 例：如图，已知正方形的边长为a，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。 .

. 7.已知AB、CD为⊙O的两条弦，如果AB=8，CD=6，AB的度数与CD的度数的和为180°，那么圆中的阴影部分的总面积为？  8.在△AOB中，∠O=90°，OA=OB=4cm，以O为圆心，OA为半径画AB，以AB为直径作半圆，求阴影部分的面积。 9.①、②……m○是边长均大于2的三角形，四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，…… （1）图①中3条弧的弧长的和为_________________ 图②中4条弧的弧长的和为_________________ （2）求图m○中n条弧的弧长的和（用n表示） 10.如图，在Rt△ABC中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AC=6m，把△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C'处，那么AC边扫过的图形（阴影部分）的面积为？ .

. 11.如图，已知Rt△ABC的斜边AB=13cm，一条直角边AC=5cm，以直线AC为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~三、随堂检测 1. 已知扇形的弧长为6πcm，圆心角为60°，则扇形的面积为____________ 2. 已知弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形弦长为a，则这个弓形的面积是__________。 3. 如图，在平行四边形ABCD中，AB43，AD23，BD⊥AD，以BD为直径的⊙O交AB于E，交CD于F，则图中阴影部分的面积为___________。 4. 如图，AB是⊙O1的直径，AO1是⊙O2的直径，弦MN//AB，且MN与⊙O2相切于C点，若⊙O1的半径为2，则O1B、BN、CN、O1C所围成的阴影部分的面积是_____________。 .

. 5. 如图，△ABC为某一住宅区的平面示意图，其周长为800m，为了美化环境，计划在住宅区周围5m，（虚线以，△ABC之外）作绿化带，则此绿化带的面积为___________。  6. 如图，两个同心圆被两条半径截得的AB6cm，CD10cm，⊙O'与AB，CD都相切，则图中阴影部分的面积为____________。 7. 如图，OA是⊙O的半径，AB是以OA为直径的⊙O’的弦，O’B的延长线交⊙O于点C，且OA=4，∠OAB=45°，则由AB，AC和线段BC所围成的图形面积是______。 .

. 8. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，贴纸部分的面积为（ ） A. 800cm2 3 B. 500cm2 C. 800cm2 3 D. 500cm2 9. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、4，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 2 C.  43 D.  10. 一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平翻滚（如图），那么，B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ） A. 3 2 B. 4 3 C. 4 D. 23 2 11. （2004·黄冈）如图，要在直径为50cm的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面，问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？ . .

.

12.在相距40km的两个城镇A、B之间，有一个近似圆形的湖泊，其半径为10km，圆心恰好位于A、B连线的中点处，现要绕过湖泊从A城到B城，假设除湖泊外，所有的地方均可行走，有如图所示两种行走路线，请你通过推理计算，说明哪条路线较短。

（1）的路线：线段ACCD线段DB

 （2）的路线：线段AEEF线段FB（其中E、F为切点）

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

四、归纳总结

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

五、课后作业

1.一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作，再用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为______________。

2.若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是_______。 3.例：已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为______。 4.例：若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面展开图的圆心角是__________。

.

.

5.例：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm。 （1）画出它的展开图；

（2）计算这个展开图的圆心角及面积。

6.例：一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。

7.例：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9m2，高为3.5m，外围高4m的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？

.

.

.