电工技术学报 TRANSACTIONS OF CHINA
ELECTROTECHNICAL SOCIETY
2000 Vol.15 No.1 P.16-20
时变电磁场唯一性定理的完整表述
雷银照 徐纪安
摘要 以往表述的时变电磁场唯一性定理不适用于由多个媒质所组成 的场域，而且不能利用此定理写出电磁场初边值问题的完整表达式。针对以上问题，本文把
场论中的“高斯公式”应用于多媒质区域，导出了“多区域高斯公式”；在此基础上，完整 地表述和证明了“时变电磁场唯一性定理”，明确了边界条件的使用方法和解的唯一性条件 。
关键词：唯一性定理 时变电磁场 边值问题 初值问题
gnetic Field
Lei Yinzhao Xu Jian
（Zhengzhou University of Technology 450002 China）
application to multimedium region and from this theorem,integrat ed expressions of paper, auss formula of multimedium region s presented by way of applying auss formula n theory of fields to multimedium region.Fro m this,new uniqueness theorem boundary conditions and uniqueness conditions o f the solution are made clear.
Keywords:Uniqueness theorem Time-varying electromagneti c field Boundary-value problem Initial-value problem
1 引言
电磁场唯一性定理是电磁场理论中的基本定理之一。经典的电磁场名著《Electromagnetic Theory》(见文献［1］)是这样表述时变电磁场唯一性定理的：“在时间t＞0的所有时刻 ，闭区域V内的电磁场是由整个V内之电和磁矢量的初始值，以及t≥0时边界上电矢量 E(或磁矢量H)之切向分量的值所唯一确定的。” 唯一性定理的以上表述有一定局限性，其主要表现有：
(1)对切向边界条件的描述与实际使用状况不完全符合。该定理指出，为了唯一地确定电磁 场的解，在边界上只需要知道切向分量n×E或 n×H(n是边界面上任意点的单位法向矢量)， 而并不要求同时知道两个切向分量。这种表述与实际情况不完全符合，因为求解初边值问题 的大量实践表明，在许多情况下需要同时应用边界上两个切向分量n× E和n×H，缺一不可。
从文献［1］的出版到现在，已过去了半个多世纪，在这期间所出版的许多有影响的电磁场 理论文献都是用“或”来表述唯一性定理的，例如文献［2～4］。 (2)不能利用唯一性定理写出初边值问题的完整表达式。从逻辑上考虑，既然唯一性定理表 述了场量的唯一性，那么利用唯一性定理就应该可以写出电磁场初边值问题的完整表达式， 但目前现有文献中表述的唯一性定理还做不到这一点。 针对以上不足，本文重新研究了时变场唯一性定理，找到了问题存在的根源，并解决了此问 题，弥补了长期以来理论与实践的差异。
2 多区域高斯公式
设外表面为Γ的区域V是由m个子区域V1，V2，…，Vm所组成，任意子区域Vi的表 面Γi为分片光滑曲面。若矢量Si在
Vi+Γi上具有一阶连续偏导数，i=1，2，…，m，则有公式
(1)
式中是Hamilton算子，Γij是任意两个 子区域Vi和Vj的公共边界面，其方向是从Vi指向Vj。 证明 由于
(2)
矢量Si在Vi+Γi具有一阶连续偏导数，所以利用场论中的高斯公式
可将式(2)写成
(3)
(4)
式(4)右端的积分区域Γ1+Γ2+…+Γm由两部分曲面所组成，一部分是V内所有相邻子区域之间的公共边界面，另一部分是整个区域V的外表面Γ，考虑到曲面的方向，面积分区域可写成
(5)
从而式(4)成为
而
(6)
(7)
所以，把式(7)右端代入式(6)，便可得到式(1)。
当m=1时，V成为单一区域，公式(1)右端的第二项的值等于零，公式(1)成为场论中的高斯公式，因此本文称式(1)为“多区域高斯公式”，可以认为它是高斯公式在多区域中的推广形式，该式是作者于1997年导出的，见文献［5］。
3 时变电磁场唯一性定理的表述
下面我们讨论由多个媒质所组成的场域V。为叙述方便，先引入内边界面和外边界面的概 念。内边界面是指边界面两侧区域都是场域的边界面，其两侧区域都是未知的待求场域；外边界面是指边界面两侧区域中有一侧属于场域V，而另一侧不属于场域V的边界面，外边界面是场域最外侧的边界面。
时变电磁场唯一性定理 假设形状不随时间t变化的场域V是由m个线性媒质 V1，V2，…，Vm所组成，Vi的边界面Γi是由分片光滑曲面所组成的闭曲面，V的 外表面是Γ；外部电流源Js和K分布在有限区域内 ，矢量Js、K、Ge、 Gh、Fe、Fh和标量ρ是不 全为零的已知量；媒质Vi的介电常数εi＞0，磁导率μi＞0，电导率γi≥0；Vi 中的电场强度Ei和磁场强度Hi在闭区域V i+Γi上存在连续偏导数。以上，i=1，2，…，m。 在上述条件下，如果由以下初边值问题式(8)～(19)所确定的场量E和 H存在，那么它们分别有唯一的有界非零解。 (1)约束方程
M∈V，t＞0 (2)初始条件
(8) (9)
E(M，t)t=0=Ge(M) M∈V(10) H(M，t)t=0=Gh(M) M∈V(11)
..
(μH)t=0 =0 M∈V(12)
(εE)t=0=ρ(M) M∈V(13)
(3)内边界面上的边界条件 在内边界面Γij上，场量应同时满足 以下两式 nij(P)×［Ej(P，t)-Ei(P，t)］=0 (14) nij(P)×［Hj(P，t)-Hi(P，t)］=Kij(P，t) (15)
以上两式中，各个场量的含义为
(4)外边界面上的边界条件 在外边界面Γ 上，场量仅需满足以下两式的其中之一
n(Q)×E(Q，t)=Fe(Q，t) (16) n(Q)×H(Q，t)=Fh(Q，t) (17)
P∈V，Q∈Γout，t＞0
(5)无限远条件 当场域是无界区域时，在无限远处场量应同时满足以下两式
(18)
(19)
这里，Γij是Vi和Vj的公共内边界面；Γ是整个区域V的外表面，当V是有界区域 时Γ就是外边界面Γout，当V是无界区域时Γ=Γout+Γin ，这里Γin是无界区域中无限远处假想的光滑曲面；ni j是Γij上从Vi指向Vj的单位法向矢量；Js和 Kij分别是外源的电流密度和电流面密度；n是外边界面 Γout上的单位法向矢量；Ge，Gh， Fe，Fh均为已知的矢量函数；ρ是分布在有限区域内 的外源电荷密度；r是坐标系原点O到场点Q之间的距离；De和D h分别是与r无关的有界常矢量。
4 时变电磁场唯一性定理的证明
4.1 证明解的有界性
当V是有界区域时，因Ei和Hi在Vi+Γi上存 在连续偏导数，所以Ei和Hi是闭区域Vi+Γi上 的连续函数，i=1，2，…，m，而闭区域上的连续函数必有界，故E和 H在V上有界。
当V是无界区域时，做一圆心位于坐标系原点、半径为r的球面Sr，由于lim r→∞rE和
limr→∞rH有界，所以对于任意给定的正 数δ，总可以找到一半径为rδ的球域Vδ，使得当r＞rδ时同时满足以下两式 ｜E｜＜δ和｜H｜＜δ
记球域Vδ的表面为Sδ，因Vδ和Sδ一起组成了有界闭区域，根据前面的 证明，有 界闭区域上的连续场量必有界，而在球面Sδ之外，场量满足｜E｜＜δ 和｜H｜＜δ，所以当V是无界区域时，场量E和 H有界。 4.2 证明初边值问题式(8)～(19)有唯一解
用反证法。设有两组解(Ea，Ha)和(E b,Hb)同时满足初边值问题式(8)～(19)，记 E0=Ea-Eb和 H0=Ha-Hb
则对应的初边值问题的表达式相减，可知E0和H0 满足以下齐次初边值问题
E0|t=0=0(22) H0|t=0=0(23)
.
(20) (21)
(μH0)|t=0=0(24) (εE0)|t=0=0(25)
.
nij×(E0j-E0i )|Γij=0(26)
nij×(H0j-H0i )|Γij=0(27)
n×E0|Γout=0 (28)
或
n×H0|Γout =0(29)
和
( 30) (31)
从以上初边值问题表达式(20)～(31)出发，可知
这里
在式(32)的两端对区域V施行体积分，有
(33)
(32)
利用多区域高斯公式(1)，上式左端可写成
(34)
其中
(35)
(36)
式中的积分区域Γin是无界场域中无限远处假想的光滑曲面。由式(28)或式(29) 得
(37)
对式(36)右端的第二个积分，用球心位于坐标系原点、半径为r的无限大球面上的一部分代 替边界面Γin，则由式(30)和式(31)得
(38)
对式(35)右端双求和号内的积分，利用内边界面上的边界条件式(26)和式(27)可得
(39)
这样式(34)成为
(40)
由于积分区域V不随时间变化，所以上式左端对时间t的偏导数可以移至积分号外，从而有
这里
(41)
(42)
从式(41)出发，利用初始条件式(22)和式(23)，必有g(t)=0，亦即对任意时刻t＞0总有
(43)
要使上式对任意区域V成立，只能是E0=0和H0=0。这就证明了解的唯一性。 4.3 证明初边值问题式(8)～(19)存在非零解
用反证法，矢量Js、K、Ge 、Gh、Fe、Fh和标 量ρ不全为零，说明初边值问题式(8)～(19)是非齐次线性初边值问题。假定存在零解 E=0和H=0，此时初边值问题式(8)～(19)的左端均恒为零， 而右端中至少有一个不等于零，即E=0和H=0不满足式(8 )～(19)。故初边值问题式(8)～(19)的解如果存在，则必是非零解。
5 关于时变电磁场唯一性定理的几点说明
5.1 场量在内边界面两侧的跃变和不连续性
记场量在内边界面上某点的切向单位矢量和法向单位矢量分别为et和
en，该点的外源电荷面密度为ζij，则场量E和H可分别写成 E=Etet+En en和H=Htet+Hnen
设内边界面两侧均为线性各向同性的媒质，由内边界面上的切向边界条件式(14)、式(15)和 两个法向边界条件 εiEin-εjEjn=ζij μiHin-μjHjn=0
可知场量在内边界面两侧的跃变为
从以上两式可见，跃变量与内边界面上的外源和媒质的不均匀有关。
需要指出，即使内边界面两侧的场量极限相等，场量在内边界面上也是不连续的，因为内边 界面上任意点Q处的场量E(Q)和H(Q)不存 在。 5.2 内边界面上的边界条件
以往文献在证明唯一性定理时，使用了下式
式中S=E×H Γ--V的外表面
上式成立的条件是矢量S在V+Γ上具有连续偏导数，这意味着V是单一媒质 。对多媒质区域
由于矢量S在内边界面上不连续，所以必须使用公式(1)才能完整证明唯一 性定理。以往在证明唯一性定理时，漏掉了式(1)右端关于内边界面上的面积分项，这就是 以往表述的唯一性定理具有较大局限性的主要原因。
由本文证明唯一性定理的过程可见，必须同时使用E0和H 0在内边界面上的边界条件式(26)和式(27)，才能使式(35)右端中双求和号内的面积分 为零。由于E0和H0的物理意义是场域内无场源、内 边界面上无任何外源分布时的场量，所以证明过程说明，为保证解的唯一性，即使内边界面 上无任何外源分布，也必须在求解过程中同时使用内边界面上的两个切向边界条件，缺一不 可。 5.3 场量的有界特性和非零特性
实际问题中的电磁场的场量都是有界的。以往用解析法(例如分离变量法)求解电磁场问题时 ，往往要假定场量是有界的和非零的，据此来确定待定系数和本征值。本文表述的电磁场唯 一性定理对此给出了理论根据。 5.4 解的唯一性
线性电磁场的初边值问题在数学表达形式上为线性偏微分方程的初边值问题。在某些限定条 件下，线性偏微分方程的初边值问题有可能存在唯一解，而在普遍情形下并不存在唯一解。 即使对于线性齐次微分方程的边值问题，也不能保证解的唯一性，例如贝塞尔方程是二阶线 性齐次微分方程，在线性齐次边界条件下，该边值问题至少有两个解，零和贝塞尔函数。这 表明，并非所有的线性电磁场初边值问题都有唯一解，需要在满足了本文所补充的条件之后 才有唯一解。 5.5 线性媒质
以往文献在表述唯一性定理时，很少强调媒质的线性特性，似乎所有电磁场问题都有唯一解 ，实际上并非如此。本文所论述的唯一性定理表明，在某些补充条件下，线性电磁场初边值 问题有唯一解。对于非线性电磁场问题，一般不存在唯一解。本文在表述唯一性定理时限定 媒质是“形状不随时间变化”的“线性媒质”，此限定反映在数学上是指媒质的三个参数 ε、μ和γ仅与场点的位置有关，而与时间无关。 5.6 无限远条件
就目前所知，位于有限区域内的场源所产生的场在无限远处均按1/r1+ε(ε≥0) 的规 律减小。正因为如此，本文为保证解的唯一性，要求场量在无限远处满足lim r→∞rE=De和lim r→∞rH=Dh，此限定无论对辐 射 场还是对非辐射场均成立。而以往文献在证明唯一性定理时，要补充“电磁波以有限速度传 播”这一条件。我们知道，“电磁波以有限速度传播”在理论上来源于场的波动方程，这种 以波动方程为基础证明解的唯一性的方法在逻辑上是不严格的。因为在推导电磁场波动方程 时已默认了解的唯一性，如果不默认唯一性，就无法断定波动方程的解是唯一的，
相应也就 无法唯一地确定电磁波的传播速度。 5.7 外部电源
在静止媒质的电磁场中，从外部电源的表现形式看有电流型和电荷型，而本文在证明时变场 唯一性定理时只用到了电流型外源Js和K，而没有用 到电荷型外源ρ和ζ。这是因为在时变电磁场中交变电荷产生的电磁场实质上就是与之 等效的电流所产生的电磁场，交变电荷的大小和分布可以通过电流密度来描述。
6 结论
本文重新完整地表述了“时变电磁场唯一性定理”。该定理指出，在给定的约束方程和约束 条件下，场量具有唯一的有界非零解；在内边界面上必须同时使用两个场量的切向边界条件 ；在外边界面上只需要已知两个场量的切向值的任意其中之一；对于无界场域，当场点与源 点间的距离充分大时，两个场量的幅值均应至少按距离的倒数减小。新表述的唯一性定理是 以往时变电磁场唯一性定理的补充和推广，它同时适用于单一媒质和多媒质场域。根据新表 述的唯一性定理，可完整写出时变电磁场的初边值问题表达式和时谐电磁场的边值问题表达 式，并能保证解的唯一性、解的有界和非零特性。
国家自然科学基金资助及教育部留学归国人员经费资助项目。
雷银照 男，1956年生，教授，博士后，主要从事电磁场理论及其应用的 教学与科研工作，发表论文20余篇，出版专著1本。
徐纪安 男，1965年生，男，19年于西安交通大学电气系研究生毕业， 获工学硕士学位，现为郑州工业大学电磁研究中心工程师。 作者单位：雷银照（郑州工业大学 450002） 徐纪安（郑州工业大学 450002） 参考文献
1，Stratton J A.Electromagnetic the ory.NewYork:McGraw-Hill,1941. 486～488 2，塔姆.电学原理(下册).钱尚武，赵祖森译.北京：商务印书馆，1954.423～4 25 3，哈林登.正弦电磁场.孟侃译.上海∶上海科学技术出版社，19.109～112 4，中国大百科全书(电子学与计算机Ⅰ).北京.上海：中国大百科全书出版社，19 86.154～155
5，雷银照.石墨球涡流检测的理论、方法和实验∶［博士后研究报告］.清华大学 ，1998.20～28
1999-05-31
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§1.7* 麦克斯韦方程组的自洽性和完备性
2、麦克斯韦方程组的完备性
所谓完备性，就是说在给定电荷电流分布的条件下，如果初始条件和边界条件都已确定，那么Maxwell ’s equations的解是唯一的，亦即为了找出唯一解不需要再引入任何附加条件。
Maxwell ’s equations的完备性，亦称Maxwell ’s equations解的唯一性原理。 这里采用反证法来证明：
设在给定的初始条件和边界条件下，方程组存在两组不等价的解，分别记为
和
,那么
显然，两组解都满足同一体系的Maxwell’s equations , 即
因为是同一体系，两组方程中的场源是相同的，不仅如此，两组方程的解都满足同样的初始条件和边界条件。即:
t=0 时： 在边界面上：
把两组方程相减，得到
对应新的方程组的初始条件和边界条件，直接得到:
在t= 0时: 在边界面上：
;
对应的电磁体系是无源、无初始扰动、边界上值恒为零的体系。根据玻印亭
定理，我们得到
因此，
根据新的方程组和边界条件，则可见(对于真空情况) :
从而得到
故
由于初始条件t =0时，
，所以上式中的常数为零。即
由于被积函数是恒正的，要使上式成立，只能是
即
可见所设的两组解是同解。这样，我们就证明了Maxwell ’s equations解的唯一性，亦即完备性得证。
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