第３６卷第４期 曲阜师范 大学学报 Ｖ０１．３６ Ｎｏ．４ ２０１０年１０月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｑｕｆｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｏｃｔ．２０１０ 三阶非线性奇异微分方程组的正解 张丽， 张克梅 （曲阜师范大学数学科学学院，２７３１６５，山东省曲阜市） 摘要：研究带有参数的三阶非线性奇异微分方程组两点边值问题正解的存在性，通过运用锥理论中的 不动点定理，得到了有关方程组正解存在性的多种结果． 关键词：三阶边值问题；微分方程组；不动点定理；正解 中图分类号：Ｏ１７５：８ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１－５３３７（２０１０）０４－０００９￣６ １ 引 言 近年来，关于非线性三阶边值问题（ＢＶＰ）得到了很好地研究，文献［４］详细地讨论了以下边值问题 （ ）＋ＡⅡ（ ）＿，（“㈤）＝０，０＜ ＜１， ｆ １．１） ｔｕ（０）＝Ｍ （０）：０， （１）＋ Ｍ”（１）＝０ 正解的存在性，这里入是正参数．作者根据 取值范围的不同，运用不动点定理，得到了有关ＢＶＰ（１．１）是 否存在正解的多个结论．文献［５］运用Ｇｕｏ—Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ Ｓ不动点定理讨论了以下边值问题 一．Ｕ （ ）＝０（ｔ） ｔ， ），０＜ｔ＜１， Ｊ一ｌ （０）：ｕ （ ）＝ｂ （０）＝０，（ｔ）ｈ（ｔ，ｕ），０＜￡＜１，ｔｔ ｒ（１）＝Ｏｔ （７ １）， （１．２） （０）＝ （０）＝０， （１）＝ＯＬＩ） （＇７） 正解的存在性．受到以上启发，本文中我们考虑以下边值问题 一，Ｕ （ｔ）＝Ａ口（ｔ） ｔ， ， ），０＜ｔ＜１， （￡） ｂ（ｔ）ｇ（ｔ， ），０＜ｔ＜ ｆ １．３） ｌ （０）＝Ｍ （０）＝０， Ｍ （１）＋ ”（１）＝０， ｖ（Ｏ）＝ （０）＝０， （１）＋ ”（１）＝０ 正解的存在性，Ａ， 是正参数，ＯＬ，卢 ０， ＋ ＞０，ｆ，ｇ∈Ｃ（［０，１］×［０，＋∞）Ｘ［０，＋∞），［０，＋∞））， ａ，ｂ∈Ｃ（（０，１），［０，＋∞））且在ｔ＝０，ｔ＝１奇异，但在（Ｏ，１）上不恒等于０． 为了进一步得到我们的主要结果，我们需要下面的Ｇｕｏ—Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ Ｓ不动点定理． 定理１．１ 设（Ｅ，ｌｌ・Ｉ１）是Ｂａｎａｅｈ空间，Ｐ是Ｅ中锥，假设Ｑ ，Ｑ 是Ｅ中开子集且０∈Ｑ ，ｎ ｃｎ２． 如果 Ｔ：Ｐ ７１（ ２＼Ｑ１） Ｐ 是全连续算子并满足： （ｉ）ｌＪ ｌｌ ｌｌ Ｍ ｌＩ，Ｖ Ｕ∈Ｐ ｎ ａｎ ，ｌ ｌｌｌ≥ｌ ＩＵ ｌｌ，Ｖ／Ｚ∈Ｐ ｎ ａｎ ， 或 （ｉｉ）ｌ ｌｌｌ ｌ ＩＵ Ｉ『，Ｖ Ｍ∈Ｐ ｎ ａＱ ，ｌ ｌｌｌ≤ｌＩ／／，ｌｌ，Ｖ Ｕ∈Ｐ ｎ ａｎ ， 收稿日期：２００９－０７－２５ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０８７１１６７）． 作者简介：张丽，女，１９８４一，硕士；研究方向：非线性分析及应用．Ｅ—ｍａｉｌ：ｌｉｌｉ１８４＠１６３．ｃｏｒｎ． 张克梅，女，１９６８．，博士，教授；研究方向：非线性泛函分析．Ｅ—ｍａｉｌ：ｚｈｋｍ９０＠１２６．ｃｏｒｎ １０ 曲阜师范大学学报（自然科学版） ２０１０年 则Ｔ在Ｐｎ（ｎ：＼１２ ）中至少有一不动点． ２预备引理 ｛ 、馁／ｆ‘ ａ２ ｔ（２ （１＋ －ｓ）２） ＋ ，（ ／３ ＋ｔ２卢） 一（ｔ－２２’…一，ｓ）２．， ０ ｓ… …‘ ， 引理２．２［４ 对于ｏ ，ｓ ｌ，有Ｇ（ ，ｓ） ｑ（ｔ）Ｇ（１，ｓ），这里ｇ（￡）＝ 毛． 考虑Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ＝Ｃ（［０，１］，Ｒ）×Ｃ（［Ｏ，１］，Ｒ），其中ＪＩ（“， ）ＪＩ：：Ｊ｝ ｌＩ＋ ｌＩ，ＩＪ ｕ ＩＪ：￣－…ｉｎａｔ ｘＩ Ｍ（ｔ）ｌ， Ｉ● ｌ． Ａ（ｕ， ）（ ） Ａ［Ｊｎ Ｇ（１，ｓ）口（ｓ）厂ｌ（ｓ， （ｓ）， （ｓ）） ≤Ａ｛～ ［ ０＇¨．。 ｍａ，ｘ Ｉ（ｘ，ｙ）Ｉ ， ，ｙ’｝Ｊ Ｊ［Ｉ１ ｃ（１，ｓ）Ⅱ（ｓ） ＜＋。。． 日（Ｍ， ）（ ） Ｊｎ Ｇ（１，ｓ）６（ｓ）ｇ（ｓ，Ｍ（５）， （ｓ））（１ｓ≤ ｛Ｌ ｆＥ［。，１］１。 ｇ（ ， ，），）１Ｊ Ｊ［Ｉ） ‘Ｃ（１，ｓ）６（ｓ） ＜＋∞． ２ Ａ ｑ（ ｍａｘ ／ｃ（ｔ，ｓ）口（ｓ） ，“（ｓ），移（ｓ） ｇ（ｆ） （ ， ）『１． 第４期 张丽，等：三阶非线性奇异微分方程组的正解 类似可证得Ｂ（ ， ）（ｔ） ｑ（ｔ）ｌ ｌＢ（“， ）ｌ１． 由于 Ａ（Ｕ， ）（ｔ）＋Ｂ（Ｍ， ）（ｔ） ｑ（ｔ）ｌ ｌＡ（“， ）ｌｌ＋ｇ（ｔ）ｌ ｌＢ（ ， ）ＩＩ＝ｑ（ｔ）ｌ】（４（“， ），Ｂ（Ｍ， ））ｌｌ， 故Ｔ（Ｍ， ）＝（Ａ（ ，ｔ）），Ｂ（ ， ））∈Ｐ，即Ｔ（Ｐ）ｃ Ｐ． 对于ｎ ２，定义ａ （ｔ），ｂ （ｔ）分别为 ｉｎｒ ），ｎ（ ）｝，０ ｃ ， 。（ ）， 一１ ｎ ｆ １一１一ｎ ， ｉｎｒ ），ｎ １一 ， 一 ， ｉｎｒ ），６（ ）｝＇０ ｂ （ｔ）＝ ６（ ）， 一１≤ ｎ ， １１一一， ｉｎｒ ），ｂ（１一 ））， 一 则易知ａ （ｔ） ｎ（ ），ｂ （ｔ） ６（ｔ）．对于ｎ ２，定义 ：Ｐ—Ｐ为 （“， ）（ｔ）＝（Ａ （ｕ， ）（ｔ），Ｂ （ｕ， ）（ｔ）），０ ｔ １， 这里 Ａ （ｕ， ）（ｔ）＝Ａ Ｊ Ｇ（ｔ，ｓ）口 （ｓ），（ｓ，ｕ（ｓ）， （ｓ））ｄｓ，０ ｔ １， （“， ）（ｔ）＝ Ｊ Ｇ（ｔ，ｓ）ｂ （ｓ）ｇ（ｓ， （ｓ），＂（ｓ））ｄｓ，０ ｔ １． 由Ａｓｃｏｌｉ—Ａｒｚｅｌａ定理易证，对于ｎ ２，ｒｎ在Ｐ上全连续．令Ｂ ＝｛（ ， ）∈尸：ｆｉ（“， ）Ｊｆ≤ ｝，下证当 一 。。时，｛ ｝一致收敛于 事实上，对Ｖｔ∈［０，１］，对每个固定Ｒ＞０，（ｕ，Ｖ）∈Ｂ ，根据厂，ｇ的连续性和积 分的绝对连续性，我们有 ｌ （“，ｌ ）一Ｔ（ ， ）ｌＪ＝ｆｌ（Ａ （ｕ， ），Ｂ （ｕ， ））一（Ａ（Ｕ， ），Ｂ（“， ））ｌｌ ＝ｌｌ（Ａ （Ｕ， ）一Ａ（ ， ），Ｂ （ｕ， ）一Ｂ（ ， ））Ｉｌ ＝ｌ ｌＡ （Ｕ， ）一Ａ（ ， ）ｌＩ＋ｌｌ （ｕ， ）一Ｂ（ｕ， ）ｌ ｌ＝ ｍａｘ Ａ￣ Ｇ（ｔ，ｓ）［ａｎ㈤一 ） ㈥， ）） Ｉ＋ —Ｇ（ｔ，ｓ） ㈤一 ）］ｇ（ｓ，ｕ㈥， ）） ｆ ｓ Ａ［０ Ｇ（ １，ｓ）（ｎ（ｓ）一ａｎ（ｓ））厂（ｓ，ｕ（ｓ）， （ｓ）） ＋Ａ ｆ ．ｌＧ（１，ｓ）（ｎ（ｓ）一口 ｓ）） ，ｕ（ｓ）， （ｓ））ｄｓ＋ ｉ ｒＧ（ｕ １，ｓ）（６（ｓ）一６ （ｓ））ｇ（ｓ，“（ｓ）， ｓ）） ＋ ｆ Ｇ（ｌ１，ｓ）（６（ｓ）一ｂｎ（ｓ））ｇ（ｓ，“（ｓ）， （ｓ））ｄｓ —ｉ ＊Ｊｏ Ｇ（１，ｓ）。（ｓ ｓ，“（ｓ）， （ｓ）） ＋ 一上Ｇ（１，ｓ）。（ｓ ｓ， （ｓ）， （ｓ））ｄｓ＋ －÷ ，１ １０ ｆ Ｇ（１，ｓ）ｂ（ｓ）ｇ（ｓ， （ｓ）， （ｓ））ｄｓ＋ Ｊ，Ｇ（１，ｓ）ｂ（ｓ）ｇ（ ，Ｍ（ ）， （ｓ））ｄｓ 』１一上 Ａ｛ ｃ。，－ｍ， ａ。ｘ ， ｓ ， ， ）（ Ｇ（１，ｓ）。（ｓ）ｄｓ＋ ：一上Ｇ（１，ｓ）。（ｓ）ｄｓ）＋ ｛ｆＥ［０Ｉｌｍｊ。ａ。ｓｘｘ，ｙ＿＜Ｒｇ ）（ ｉＧ（１’ ㈠¨ 上Ｇ（１， ㈤ｄｓ）一 一 故当ｎ一∞时，｛ ｝一致收敛于 ，所以 全连续． ｌ２ 曲阜师范大学学报（自然科学版） ２Ｏ１０年 ３主要结果 我们首先定义以下常数 ＝ 辩 ，ｇｏ＝ｌｉｍ ｓｕｐ。 ， ……，＝ ， ＝ ， … … 厂＝ ，ｇ ， ‘ ＝ ，， … ｇ … Ｍ０＝ｍａｘ｛／ｏ，ｇ。｝，Ｍ ＝ｍａｘ｛厂，ｇ ｝， ｍｏ＝ｍｉｎ｛ｆｏ，ｇ０｝，ｍ ＝ｍｉｎ｛－， ，ｇ ｝， Ａ＝ｍａｘ｛ｆｏ ｘＧ（１， ）。（ｓ）ｄｓ，Ｊｃ Ｇ（１，ｓ）６（ｓ）ｄｓ）＞０， ＝ｍｉｎ｛ｆｏ Ｇ（１，ｓ）。（ｓ）ｑ（ｓ）ｄｓ，Ｊ［ Ｇ（１，ｓ）６（ｓ）ｇ（ｓ）ｄｓ）＞０・ 定理３・１ Ｎｉ３．ｔ（４ ），（Ａ２）成立，曰ｍ ＞Ａ ，则对于Ａ，Ｉｚ Ｅ（ ， １ ），ＢＶＰ（１．３）至少有一正解． 证明取充分小的占。＞０，使得（Ａ＋ ）（ 十 ）Ａ １．由Ｍ０及 ，ｇ。的定义可知，存在ｌ。＞０，使得对 于每个（ｔ，Ｍ， ）∈［０，１］×［０，ｌ１］×［０，ｌ１］，有ｆ（ｔ，ｕ， ） （Ｍ０＋ １）（Ｍ＋ ），ｇ（ｔ，／ｚ， ） （ＪＪＩ ＋ １）（ ＋ ）． 若（ ， ）∈Ｐ，ｌＩ（“， ）ｌｌ＝１ ，我们有 Ｉｌ Ｔ（ｕ， ）ｌｌ＝ｌ ｌＡ（“， ）ｌｌ＋ｌｌ Ｂ（“， ）ｌｌ：Ａ（“， ）（１）＋Ｂ（“， ）（１） ＝Ａ』Ｇ（１， ）。（ ， （ ），∥（ ））ｄｓ＋ ｆ Ｇ（１， ）ｂ（ ）ｇ（ｓ， （ ）， （ ））ｄｓ Ａ（Ｍｏ＋ 。）Ｊ Ｇ（１，ｓ）。（ｓ）（Ｍ（ｓ）＋ （ｓ））ｄｓ＋ （Ｍｏ＋８ ）Ｉ Ｇ（１，ｓ）６（ｓ）（ｕ（ｓ）＋ （ｓ））ｄｓ ≤Ａ（Ｍｏ＋ ）（ ｌｌ＋ ＩＩ）Ｊ Ｇ（１，ｓ）ａ（ｓ）ｄｓ＋ （Ｍｏ＋ 。）（ＩＩ“ｌｌ＋ ＿１）Ｊ Ｇ（１，ｓ）６（ｓ） （Ａ＋ ）（Ｍｏ＋ ）ｌｌ（“， ）ｌ】Ａ ｌｌ（Ｍ， ）ｌ１． 令 ＝｛（ ， ）∈Ｅ：Ｉｌ（ ， ）Ｉｌ＜ｌ ｝，则对于（“， ）∈Ｐｎ ａ Ｑ ，有ｌ ｌＴ（“， ）ｌｌ≤ｌＩ（ ，ｔＩ）ｌＩ． 同样地，取充分小的 ：＞０，使得（Ａ＋ ）（ｍ 一 ）Ｂ １．由ｍ 及 ，ｇ 的定义可知，存在Ｚ＞０，使得 对于每个（ｔ，“， ）Ｅ［０，１］Ｘ［１，＋∞）×［１，＋∞），有 ｔ，Ｍ， ） （ｍ 一 ２）（“＋ ），ｇ（ｔ，“， ）≥（ｍ 一 ２）（ｕ＋ ）． 若（“， ）∈Ｐ，ｌＪ（／Ｚ， ）Ｊ Ｊ＝ｌ ，这里ｌ ＝２ｍａｘ｛ｌ ，ｌ｝，则有 Ｉｌ （ ， ）ｌＩ＝Ｉ ＩＡ（“， ）ｌｌ＋ｌ ｌＢ（ｕ， ）ｌｌ＝Ａ（１Ｚ， ）（１）＋Ｂ（“， ）（１） ＝Ａ Ｊ Ｇ（１，ｓ）０（ｓ）＿厂（ｓ，Ｍ（ｓ）， （ｓ））ｄｓ＋ Ｉ Ｇ（１，ｓ）ｂ（ｓ）ｇ（ｓ，Ｍ（ ）， （ｓ））ｄｓ ａ（ｍ 一 ｚ）Ｊｆ】Ｇ（ ，ｓ）。（ｓ）（ （ｓ）＋ （ｓ））ｄｓ＋ （，札 一 ｚ）Ｊ。Ｇ（ ，ｓ）６（ｓ）（Ｍ（ｓ）＋ （ｓ））ｄｓ ≥Ａ（ｍ 一 ）ｉｆ（“， ）ｌＩ ｆ Ｇ（１，ｓ）ａ（ｓ）ｑ（ｓ）ｄｓ＋ｔｘ（， 一 ：）ｆｆ（“， ）ｆｌ ｆ Ｇ（１，ｓ）ｂ（ｓ）ｑ（ｓ）ｄｓ （Ａ＋ ）（，ｎ ～ ）ｌｌ（Ｍ， ）ＩＩ Ｂ ｌｌ（ ， ）ｌ１． 第４期 张丽，等：三阶非线性奇异微分方程组的正解 １３ 令ｎ ＝｛（１１，， ）∈Ｅ：ｌｌ（１１，， ）ｌ】＜２：｝，则ｎ ｃＱ：，且对（ｕ， ）∈Ｐｎ ａＱ：，有ｌ ｌＴ（ ， ）ｌ ｌ由定理１．１（ｉ）可知， 在Ｐｎ（ ：＼Ｑ ）中至少有一不动点． ， ） ｌＩ． 定理３．２假设（Ａ ），（Ａｚ）成立， ｍ。＞Ａ ，则对于Ａ，ｔｘ∈（ ， １ ），ＢＹｅ（１．３）至少有一正解． 证明取充分小的 ，＞０，使得（Ａ＋ＩＸ）（ｍ。一 ，）Ｂ≥１．由ｍ。及ｆｏ，ｇ。的定义可知，存在Ｚ，＞０，使得对 于每个（ｔ，“， ）∈［０，１］Ｘ［０，ｚ３］×［０， ３］，有厂（ ，“， ）≥（ｍ０一 ３）（“＋ ），ｇ（ｔ， ， ） （，孔。一 ３）（ ＋ ）．若 （“， ）∈Ｐ，ＩＩ（ ， ）ＩＩ＝ｚ ，我们有 Ｉ ＩＴ（“， ）ｌｌ＝ｌ ＩＡ（ ， ）ｌｌ＋ｌ ｌＢ（ｕ， ）ｌｌ＝Ａ（ｕ， ）（１）＋Ｂ（ｕ， ）（１） ：Ａ Ｊ Ｇ（１， ）ａ（ｓ）ｆ（ｓ， （ ）， （ ））ｄｓ＋ Ｊ Ｇ（１， ）６（ ）ｇ（ｓ， （ ）， （ｓ））ｄｓ 三兰：Ａ（，， 一 ３）Ｊ Ｇ（１，ｓ）０（ ）（ （ ）＋ （ ））ｄｓ＋ （ｍ０一占３）｝Ｇ（１， ）ｂ（ｓ）（ （ ）＋ （ ））ｄｓ Ａ（ｍｏ一 ３）｝Ｊ（ｕ， ）ｌ ＪＪ Ｇ（１，ｓ）口（５）ｇ（ｓ）ｄｓ＋ （ｍ０一 ３）ＩＪ（ ，２））ｌＪ Ｊ Ｇ（１‘，ｓ）６（ｓ）９（ ）ｄｓ （Ａ＋ ）（ｍ０—８，）ｌｌ（ｕ， ）ｌ ｌＢ ｔ。 ＩＩ（ ， ）ｌＩ． ・ ．令ｎ，＝｛（“， ）∈Ｅ：ｌＪ（Ｍ， ）ｌＪ＜ｚ。｝，则对于ｕ∈Ｐｎ ａＱ，，有 Ｔ（ ，口）ｌ Ｊｌ１（ｕ， ）ｌ｝． 同样地，取充分小的 ＞０，使得（Ａ＋ ）（ ＋ ）Ａ １．又由 及厂，ｇ 的定义可知，存在ｚ ＞０，使 得对于每个（ｔ， ）∈［０，１］ｘ［Ｚ ，＋ｏ。）×［ｚ ，＋∞），有厂（ｔ，“，口） （ ＋ ４）（“＋ ），ｇ（ｔ，“， ） （Ｍ ＋ ）（ｕ＋ ）．若（ｕ，口）∈Ｐ，ｌｌ（ｕ，ｔ））ｌｌ＝ｚ ，这里 ＝２ｍａｘ｛ｚ ，ｚ ｝，则有 Ｉｌ Ｔ（ｕ， ）ｌｌ＝Ｉ ｌＡ（ ， ）ｌｌ＋ｌ ｌＢ（ ， ）ｌｌ＝Ａ（／／，， ）（１）＋ （ ， ）（１） ＝Ａ Ｊ ０ Ｇ（１，ｓ） （ ）Ｉ厂（ ， （ ）， （ ））ｄｓ＋ ｆ Ｇ（１，Ｏ ｓ）ｂ（ｓ）ｇ（ｓ， （ｓ）， （ ））ｄｓ （Ｍ ＋ ）Ｊ ｃ（１， ）０（ ）（ （ｓ）＋ （５））ｄｓ＋ （ ＋ ）Ｊ Ｇ（１，５）６（５）（ （５）＋ （ ））ｄｓ ≤Ａ（ ＋ ）（ＩＪ Ｍ ｌＪ＋ｌＪ ｌＩ）ｆ Ｇ（１，ｓ）０（ｓ）ｄｓ＋ （ ＋ ）（Ｊｆ“Ｉ Ｊ＋Ｊ｝ Ｊ｛）Ｊ Ｇ（１，ｓ）ｂ（ ）ｄｓ （Ａ＋ ）（ ＋ ４）ｌｌ（Ｍ， ）ｌｌ Ａ ≤Ｉｌ（ ， ）ｌ１． 令Ｑ ＝ｉ（ ， ）∈ ：ｌｌ（ ， ）ｌＩ＜ｚ ｝，则 ，ｃ ，且对（ ， ）∈Ｐｎ ａＱ ，有ｌＪ ７１（“， ）ｌ ＩＩＪ（“， ）ｌｊ． 由定理ｌ￡。． １（ｉｉ）可知， 在ｐｎ（、 ＼ｎ ）中至少有一不动点． 。，、． ＾ ‘ ‘ ， ｊ 定理３．３ 假设（ 。），（Ａ２）成立，２Ａ ｔ， ， ） Ｍ＋ Ａｇ（ｔ，“， ）＜“＋ ，（ ， ）∈（０，。。）Ｘ（０， ∞），￡∈［０，１］，则ＢＶＰ（１．３）无正解． 证明假设（ｕ， ）是ＢＶＰ（１．３）的解，则由Ｇ（ｔ，ｓ）关于ｔ的增性可知， ｌｊ（ｕ， ）ｌｌ＝Ｉｌ／／，Ｉｌ＋ｌ ｌＩｌ＝ （１）＋ （１） ＝Ａ Ｊ０ Ｊ Ｇ（１，ｓ）ｎ（ｓ） ｓ，ｕ（ｓ）， （ｓ））ｄｓ＋ ＪＪ０ Ｇ（１，ｓ）ｂ（ｓ）ｇ（ｓ， （ｓ）， （ｓ））ｄｓ ＜ Ｇ（１，咖（ ｎ（ ＋ ）） －Ｊ１ ｌｎＧ（ ）６（ ）（“（ｓ） ＋ ）） （Ｍ ＩＩ￣！Ｃ（１ ）¨ １ ｌｌ（ｕ，ｖ）ｌｌ ｃ（１ ）６（ｓ）ｄｓ ． ≤ＩＩ（ｕ， ）ＩＩ． 矛盾，结论得证． 定理３．４ 假设（Ａ１），（Ａ２）成立，２Ａ （ｔ， ， ）＞Ｍ＋ ，２ ｇ（ｔ， ， ）＞ｕ十 ，（ ， ）∈（０，∞）Ｘ（０， ∞），ｔ∈［０，１］，则ＢＶＰ（１．３）无正解． 证明假设（Ｍ， ）是ＢＶＰ（１．３）的解，则由Ｇ（ｔ，ｓ）关于ｔ的增性可知， １４ 曲阜师范大学学报（自然科学版）ｒ｝ｒ｝ｒ ，ｉｌ ２ ３ ４ １ ５ ６ ］』７ ８ ９ ２０１０年 ｌＩ（ｕ， ）Ｉｌ＝ＩＩ ｕ ｌＩ＋ Ｉｌ＝ｕ（１）＋ （１） ＝Ａ ｆ Ｇ（１，ｓ）ｎ（ｓ ｓ，“（ｓ）， （ｓ））ｄｓ＋ ｆ Ｇ（１，ｓ）ｂ（ｓ）ｇ（ ， （ｓ）， （ｓ））ｄｓ ＞ Ｃ（１ ）（Ｍ㈤＋ ））ｄｓ＋ ｃ（１ ）（ｎ㈤＋ ）） ≥ ＩＩ（ ）ＩＩ 。ｃ（１ ） ）ｄｓ＋ １ ＩＩ（ ）ｌｌ Ｇ（１， ㈤ ） ≥ｌｌ（ｕ， ）ｌＩ． 矛盾，结论得证． 参考文献： 郭大钧．非线性泛函分析［Ｍ］．第２版．济南：山东科学技术出版社，２００１． Ｌｉｕ Ｚ，Ｕｍｅ Ｊ，Ｋａｎｇ Ｓ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｔｈｉｒｄ ｏｒｄｅｒ ｔｗｏ—ｐｏｉｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，２００７， ３２６：５８９－６０１． Ｈｕ Ｌ．Ｗａｎｇ Ｌ Ｌ．Ｍｕｌｉｐｌｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ［Ｊ］．Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，２００７，３３５：１０５２—１０６０． Ｅ１．Ｓｈａｈｅｄ Ｍ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｔｈｉｄｒ ｏｒｄｅｒ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｓｉｍ－ ｕｌａｔｉｏｎ，２００９，１４：４２４－４２９． ｓｕｎ Ｈ．ｗｅｎ Ｗ．Ｏｎ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｏｐｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ ｎｏｎｌｉｎｅａｒｔｈｉｒｄ ｏｒｄｅｒ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖｌａｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｉｎｔ Ｊ Ｄｉｆｅｒ Ｅｑｕ， ２００６，（１）：１６５－１７６． Ｌｉ Ｙ．Ｇｕｏ Ｙ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｔｈｉｒｄ．ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃＳｉｅｎｃｅ Ｎｕｍｅｉｆｃ￣Ｓｉｍｕ・ ｌａｔｉｏｎ，Ｉｎｐｒｅｓｓ． Ｇｕｏ Ｌ Ｌ．Ｓｕｎ Ｊ Ｐ．Ｚｈａ０ Ｙ Ｈ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｏｐｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒｔｈｉｒｄ．ｏｒｄｅｒ ｔｈｉｒｄ．ｏｐｉｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａ— ｎａｌ，２００８，６８：３１５１－３１５８． Ｊ０ａｏ Ｍ ｄｏ ６，Ｌｏｒｅａ Ｓ，Ｕｂｉｌｌａ Ｐ．Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｎｏｎ—ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｆｏｕｒｔｈ—ｏｒｄｅｒ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ，Ｉｎｐｒｅｓｓ． 郭晓霞，张克梅．一类三阶奇异非线性微分方程三点边值问题的正解的存在性［Ｊ］．曲阜师范大学学报（自然科学版）， ２００９，３５（１）：１－６． Ｐｏｓｉｔｉｖｅ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｆ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｔｈｉｒｄ・ｏｒｄｅｒ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ＺＨＡＮＧ Ｌｉ， ＺＨＡＮＧ Ｋｅ—ｍｅｉ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｑｕｆｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２７３１６５，Ｑｕｆｕ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ，ＰＲＣ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｔｈｉｒｄ．ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｆｉｘｅｄ・ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ｃｏｎｅ，ｗｅ ｅｓｔｂｌｉｓｈ ｖａｒｉｏｕｓ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｎ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｔｈｉｒｄ—ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ・ Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｔｈｉｒｄ．ｏｒｄｅｒ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍ；ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｆｉｘｅｄ・ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ； ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ
