2020苏教版（2019）必修一4.2对数（难题）课后练习
班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题
1. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足
𝑚2−𝑚1=2lg𝐸1，其中星等为𝑚𝑘的星的亮度为6(𝑘=1,2).已知太阳的星等是–26.7，
2
5𝐸𝜋
天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A. 1010.1
【答案】A
B. 10.1 C. 𝑙𝑔10.1 D. 10−10.3
【分析】本题考查新背景下对对数的概念及运算知识的理解和应用．由题意𝑚1=−26.7，𝑚2=−1.45，设太阳的亮度为𝐸1，天狼星的亮度为𝐸2，可得
1
，可得lg𝐸=10.1可得结果．
2
，即
𝐸
【解答】解：由题意𝑚1=−26.7，𝑚2=−1.45． 设太阳的亮度为𝐸1，天狼星的亮度为𝐸2， ∴𝑚2−𝑚1=2lg𝐸1，即−1.45+26.7=2lg𝐸1，
2
2
5𝐸5𝐸
∴lg
𝐸1𝐸2
=10.1，∴
𝐸1𝐸2
=1010.1．
2. 下列四个结论：①若𝑎>𝑏>0，且𝑐<0，则𝐚>𝐛；②√𝟕+√𝟏𝟎>√𝟑+√𝟏𝟒；③𝑙𝑔9⋅𝑙𝑔11<1；④若1≤𝑥+𝑦≤2，2≤𝑥−𝑦≤4，则4𝑥−2𝑦的取值范围是[6,15].其中正确的个数为( )
𝐜𝐜
A. 1
【答案】C 【分析】
B. 2 C. 3 D. 4
本题考查不等式的性质，比较大小， 【解析】
解：对于①，∵𝑎>𝑏>0，𝑐<0，∴−=
𝑎𝑏
𝑐
𝑐
𝑐(𝑏−𝑎)𝑎𝑏
>0，即𝑎>𝑏，所以①正确；
𝑐𝑐
对于②，所以②正确； √7+√10>√3+√14⇔17+2√70>17+2√42⇔70>42，
𝑙𝑔9+𝑙𝑔11𝑙𝑔99𝑙𝑔100
对于③，∵𝑙𝑔9+𝑙𝑔11>2√𝑙𝑔9·𝑙𝑔11，∴𝑙𝑔9⋅𝑙𝑔11<(2)=(2)<(2)=
2
2
2
1，所以③正确；
𝑥−𝑦=𝑏，对于④，令𝑥+𝑦=𝑎，则𝑥=
𝑎+𝑏2
𝑦=，𝑎−𝑏2
∴4𝑥−2𝑦=𝑎+3𝑏，∵1≤𝑎≤2，，
2≤𝑏≤4，∴7≤𝑎+3𝑏≤14，即4𝑥−2𝑦的取值范围是[7,14]，所以④不正确．
3. 设a表示3−√5的小数部分，则log2𝑎(2𝑎+1)的值是( )
1A. −1
【答案】A 【分析】
B. −2 C. 0
D. 2 1
本题考查对数运算，属于基础题．
由已知求出a，然后利用对数运算求解即可． 【解答】 解： 因为113−√=53+√54
∈(1,2)，
1所以3−√5的小数部分为𝑎=所以
3−√−1=5√5−1
， 4
．
4. 已知a，b，c都大于2，且log2𝑎=log3𝑏=log5𝑐，则
𝑏𝑐2<()3<()5 A. (𝑎)235𝑐𝑏𝑎
C. (5)5<(3)3<(2)2
1
1
1
1
1
1
𝑐𝑎𝑏
B. (5)5<(2)2<(3)3 𝑐𝑎
3<()5<()2 D. (𝑏)352
1
1
1
111
【答案】B 【分析】
本题考查指数函数和对数函数的性质，属于中档题． 利用指数函数和对数函数的单调性求解即可． 【解答】
解：设log2𝑎=log3𝑏=log5𝑐=𝑚， ∵𝑎>2， ∴𝑚>1，
由𝑎=2𝑚，𝑏=3𝑚，𝑐=5𝑚，
∴()=()=(√2)𝑚−1， 22(3)=(3)=(√3)𝑚−1，
3
𝑎
13
12
2𝑚
13
12𝑏
3𝑚
(5)=(5)=(√5)𝑚−1．
5
𝑐
155𝑚
15
又∵52<25，23<32， ∴√5<√2<√3， ∵𝑚−1>0， ∴(5)<(2)<(3)．
5. 若𝑥+1>0，𝑦>0且
，则𝑥+1+𝑦的最小值为( )
1
1
𝑐
155
3
𝑎
12𝑏
13A. 2
【答案】A 【分析】
B. 4 C. 6 D. 8
本题考查了对数运算和利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中档题． 由条件化简得𝑥+𝑦=1，𝑥+1+𝑦=2(𝑥+1+𝑦)[(𝑥+1)+𝑦]，展开后利用基本不等式，即可得出结果． 【解答】 解：
，
，
∴2𝑥·2𝑦=2𝑥+𝑦=2， ∴𝑥+𝑦=1． ∴(𝑥+1)+𝑦=2，
∴𝑥+1+𝑦=2(𝑥+1+𝑦)[(𝑥+1)+𝑦] =2(𝑥+1+
1
𝑦
1
𝑦
𝑥+1𝑦
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+2) +2)=2．
𝑥=0
时，等号成立． 𝑦=1
≥2(2√𝑥+1·当且仅当{
𝑦
𝑥+1𝑦
𝑥+𝑦=1
𝑥+1
=
𝑥+1,即{𝑦
故𝑥+1+𝑦的最小值为2．
6. 下列叙述正确的是( )
①对数式log𝑎𝑁=𝑏(𝑎>0,𝑎≠1)与指数式𝑎𝑏=𝑁(𝑎>0,𝑎≠1)是同一个关系式的两种不同的表达形式；
②当𝑎>0，𝑎≠1时，log𝑎𝑁=𝑏与𝑎𝑏=𝑁可以相互转化； ③若𝑎𝑏=𝑁(𝑎>0,𝑎≠1)，则𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑁=𝑁成立； ④若𝑀=𝑁，则𝑙𝑔𝑀=𝑙𝑔𝑁．
11
A. ①②
【答案】B 【分析】
B. ①②③ C. ①②③④ D. ②④
本题主要考查的是对数的定义以及互化，由题意将各个选项对照对数的定义和互化关系一一检验，进而再结合对数恒等式进行判断，从而得到正确答案． 【解答】
解：①由指对数的定义可知是正确的； ②由指对数的定义及互化关系可知是正确的； ③由对数的恒等式𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑁=𝑁可知也是正确； ④由对数的定义可知对数的底数要大于0且不等于1．
二、多选题
7. 设a，b，c都是正数，且4𝑎=6𝑏=9𝑐，那么( )
A. 𝑎𝑏+𝑏𝑐=2𝑎𝑐 D. 𝑐=𝑏−𝑎
【答案】AD 【分析】
本题考查指数与对数的互化以及对数运算， 设4𝑎=6𝑏=9𝑐=𝑡，，则
1
2
1
2
B. 𝑎𝑏+𝑏𝑐=𝑎𝑐
1
2
C. 𝑐=𝑎+𝑏
221
E. 𝑐=𝑎+𝑏
，，，整理即可得出答案，属
基础题． 【解答】
解：设4𝑎=6𝑏=9𝑐=𝑡， 则于是
2
1
1
，，，
，故D正确，
而𝑏−𝑎=𝑐通分整理得𝑎𝑏+𝑏𝑐=2𝑎𝑐，故A正确，
8. 若1<𝑎<𝑏，则下列结论中正确的是( )
A. log𝑎𝑏>log𝑏𝑎 B. |log𝑎𝑏+log𝑏𝑎|>2 C. (log𝑏𝑎)2<1
D. |log𝑎𝑏|+|log𝑏𝑎|>|log𝑎𝑏+log𝑏𝑎|
【答案】ABC
【分析】本题考查对数及其运算，属于基础题.特殊值代入法，是解选择题和填空题常用的方法之一，使用时要注意，其方法是通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．这个特殊值应该满足的条件：首先，无论这个量的值是多少，对最终结果所要求的量的值没有影响；其次，这个量应该要跟最终结果所要求的量有相对紧密的联系；最后，这个量在整个题干中给出的等量关系是一个不可或缺的量．若
，则易得0<𝑏<𝑎<1，则可以根据对数的性质：log𝑎𝑏>1，
1
1
0，∴0<𝑏<𝑎<1，则log𝑎𝑏>1，0log𝑏𝑎，故A正确． 由基本不等式得：log𝑎𝑏+log𝑏𝑎≥2∴0<(log𝑏𝑎)2<1，故C正确．|log𝑎𝑏|+|log𝑏𝑎|=|log𝑎𝑏+log𝑏𝑎|，故D错误． 解法二：(特殊值代入法)∵
，∴0<𝑏<𝑎<1，
=2，故B正确．
不妨令𝑏=，𝑎=，则log𝑎𝑏=2，log𝑏𝑎=，易得A，B，C均正确，只有D错误．
三、填空题
9. 计算：(lg2)2+lg5×lg20+𝜋0+0.027−3×(1)−2=________． 3
【答案】102 【分析】
本题考查指数与指数幂的运算，对数与对数运算，属于基础题，利用对数和指数幂的运算法则计算可得． 【解答】 解：
=(𝑙𝑔2)+𝑙𝑔5(𝑙𝑔2+1)+1+(0.3)
30.3
2
3×(−)
2
3
2
×32
=𝑙𝑔2(𝑙𝑔2+𝑙𝑔5)+𝑙𝑔5+1+()2 =𝑙𝑔2+𝑙𝑔5+1+100 =1+1+100=102．
10. 已知3𝑥=4𝑦=36，则
【答案】1 【分析】
本题考查的知识点是对数的运算性质，熟练掌握对数的运算性质，是解答的关键． 首先，将所给指数幂形式化为𝑥=log336，𝑦=log436，化为倒数后，代入可得答案． 【解答】
解：∵3𝑥=4𝑦=36， ∴𝑥=log336，𝑦=log436，，
，
，
𝑥+2𝑦𝑥𝑦
=____
11. log=𝑎,log35=𝑏,则𝑙𝑔2=_________.(用a，b表示)．
【答案】3𝑎𝑏+2 【分析】
本题主要考查了对数的运算法则，属于基础题．
2
【解答】
解：由题意得：𝑙𝑔8=3𝑙𝑔2=𝑎,𝑙𝑔3=𝑏， 则3𝑙𝑔2×𝑙𝑔3=𝑎𝑏, 所以𝑙𝑔2=2𝑎𝑏,
2
𝑙𝑔5
3
1−𝑙𝑔2𝑙𝑔2
2𝑙𝑔3
𝑙𝑔5
𝑙𝑔9
2𝑙𝑔3
𝑙𝑔5
=𝑎𝑏，
2
3
则𝑙𝑔2=3𝑎𝑏+2．
12. 已知方程组{
log81𝑥+log𝑦=4
的解为{
log𝑥81−log𝑦=1
𝑥=𝑥1
和{𝑦=𝑦1
𝑥=𝑥2
，则𝑦=𝑦2
log18(𝑥1𝑥2𝑦1𝑦2)=________ 【答案】12 【分析】
log𝑦=𝑏.可得𝑎2−6𝑎+4=0，本题考查对数式的运算性质，属基础题.设log81𝑥=𝑎，利用根与系数的关系可得：𝑥1𝑥2=816，同理可得𝑦1𝑦2=2 代入即可得出． 【解答】
解：设log81𝑥=𝑎，log𝑦=𝑏， 𝑎+𝑏=4
则{1−1=1，化为𝑎2−6𝑎+4=0，
𝑎
𝑏
∴𝑎1+𝑎2=log81(𝑥1𝑥2)=6，∴𝑥1𝑥2=816，
同理可得𝑦1𝑦2=2.∴log18(𝑥1𝑥2𝑦1𝑦2)=log18(816𝑥2)=12，
四、解答题
13. 不用计算器计算：
27−2
(2)(8)3
−
49(9)0.5
+(0.008)
−
23
×25.
2
【分析】本题考查了指数幂与对数的运算法则，属于基础题． (1)利用对数的运算法则即可得出． (2)利用指数幂的运算法则即可得出．
【解答】解：(1)原式=lo𝑔332+lg(25×4)+2+1 =+𝑙𝑔102+3
233
3
=2+2+3=
827
132
23．
499
12(2)原式=()−()+(=9−3+25×25 =−
1794
7
2
10008
)×
23225
+2=9．
1
14. (1)若𝑥𝑙𝑜𝑔34=1，求2𝑥+2−𝑥的值．
(2)已知log1=𝑎，18𝑏=5，用a，b表示log35．
【分析】本题主要考查函数性质的应用，熟悉指数的运算法则是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于基础题．
(1)由题意得，直接运用指数幂的运算法则即可求解； (2)由题意得，直接运用对数的运算法则即可求解． 【解答】解：(1)由𝑥𝑙𝑜𝑔34=1，知4𝑥=3，
23𝑥+2−2𝑥+2−
𝑥3𝑥
𝑥
(2𝑥+2−)(22𝑥+22𝑥−−1)
𝑥2𝑥+2−
23𝑥+2−3𝑥
∴=
=4𝑥+4−𝑥−1=． 3 (2)由题意得，∴log35=
𝑎+𝑏2−𝑎
7
．
3
−3lg2)． 15. (Ⅰ)化简求值：(lg2)2+(lg5)2+3lg2×(lg√501
(Ⅱ)已知m，n是方程𝑥−7𝑥+9=0的两根，且𝑚>𝑛，求
2
𝑚2+𝑛211𝑚2−𝑛211
的值．
【分析】(Ⅰ)本题考查对数与对数运算，观察题目特点找准入手点是解题的关键，先计算3𝑙𝑔2×(3lg50−3lg2)中括号内的部分，另外熟记对数的运算性质并细心运算，问题方可正确得解；
(Ⅱ)本题考查指数与指数幂的运算，首先由韦达定理得𝑚+𝑛=7,𝑚×𝑛=9，然后代入
𝑚2+𝑛211𝑚2−𝑛21
1
11
=√
𝑚+𝑛+2(𝑚·𝑛)2𝑚+𝑛−2(𝑚·𝑛)211
求解即可．
3
【解答】解：(Ⅰ)(lg2)2+(lg5)2+3𝑙𝑔2×(lg√50−3lg2)， =(lg2)2+(lg5)2+3𝑙𝑔2×(3lg50−3lg2)， =(lg2)2+(lg5)2+3𝑙𝑔2×𝑙𝑔25，
3=(lg2)2+(lg5)2+2𝑙𝑔2𝑙𝑔5， =(𝑙𝑔2+𝑙𝑔5)2， =1；
(Ⅱ)∵𝑚,𝑛是方程𝑥2−7𝑥+9=0的两根， 则𝑚+𝑛=7,𝑚×𝑛=9， 又𝑚>𝑛>0， ∴𝑚+𝑛>0， ∴
𝑚2+𝑛2𝑚2−𝑛2𝑚2+𝑛211𝑚2−𝑛21
1111
112
12
1
11
1
>0， =√(
𝑚2+𝑛211𝑚2−𝑛21
1
2
∴)=√
𝑚+𝑛+2(𝑚·𝑛)21𝑚+𝑛−2(𝑚·𝑛)21
7+2×3
=√7−2×3=√13．
16. 声强级𝐿(单位：𝑑𝐵)由公式
给出，其中I为声强(单位：𝑊/𝑚2).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1𝑊/𝑚2，能听到的最低声强为10−12𝑊/𝑚2，求人听觉的声强级范围；
(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍⋅
【分析】本题考查对数的运算及在实际问题中的应用，难度中等． (1)由10−12⩽𝐼⩽1得故
，所以，人听觉的声强级范围[0,120];
(2)该女高音的声强级为𝐿1，声强为𝐼1，该男低音的声强级为𝐿2，声强为𝐼2，由题知𝐿1−
𝐿2=20，所以，𝐼1=100𝐼2该女高音的声强是男低音声强的100倍.
【解答】解：(1)由题知：10−12⩽𝐼⩽1， 所以1⩽10−12⩽1012， 故
，
𝐼
所以，人听觉的声强级范围[0,120]
(2)该女高音的声强级为𝐿1，声强为𝐼1，该男低音的声强级为𝐿2，声强为𝐼2， 由题知𝐿1−𝐿2=20， 则所以
，
，𝐼1=100𝐼2该女高音的声强是男低音声强的100倍.
