1992高考数学全国卷及答案理

1992年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理工农医类)

考生注意：这份试卷共三道大题(28个小题)．满分120分．考试时间120分钟．用钢笔或圆珠笔直线答在试卷中，答卷前将密封线内的项目填写清楚．

一、选择题：本大题共18小题；每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后的括号内 (1)

log的值是 log23( )

(A)

2 3(B) 1 (C)

3 21 2(D) 2

( )

(2)如果函数y=sin(ωx)cos(ωx)的最小正周期是4π，那么常数ω为 (A) 4

(B) 2

(C)

(D)

1 4( )

(3)极坐标方程分别是=cosθ和=sinθ的两个圆的圆心距是 (A) 2

(B)

2

(C) 1

(D)

2 2( )

(4)方程sin4xcos5x=－cos4xsin5x的一个解是 (A) 10°

(B) 20°

(C) 50°

(D) 70°

(5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是

(A) 6：5

(B) 5：4

(C) 4：3

(D) 3：2

( )

(6)图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图像．已知n取±2，±

12四个值，则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为 ( )

11，，2 2211(C) －，－2，2，

22(A) －2，－

(7)若loga211，－，－2 2211(D) 2，，－2，－

22(B) 2，

( )

(C) a>b>1

(D) b>a>1

(B) 0xtsin203(8)直线 (t为参数)的倾斜角是

ytcos20( )

(D) 160°

( )

(D) 4个

(A) 20° (B) )70° (C) 110°

(9)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 (A) 1个

(B) 2个

(C) 3个

(10)圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是

(A) x2+y2－x－2y－

( )

1=0 4(B) x2+y2+x－2y+1=0 (D) x2+y2－x－2y+

(C) x2+y2－x－2y+1=0

(11)在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为 (A) 160

(B) 240

1=0 4( )

(D) 800

( )

(C) 360

(12)若0(B) [arcsina，π－arcsina] (D) [arcsina，

+arcsina] 2( )

(13)已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0(ab>0)，那么l2

的方程是

(A) bx+ay+c=0 (C) bx+ay－c=0

(B) ax－by+c=0 (D) bx－ay+c=0

(14)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是 ( )

(A)

3 2(B)

310 (C)

510(D)

2 5(15)已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为 ( ) (A) 1

(B) 2

(C)

5

(D) 3

exex(16)函数y=的反函数

2(A) 是奇函数，它在(0，+∞)上是减函数 (B) 是偶函数，它在(0，+∞)上是减函数

( )

(C) 是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数 (D) 是偶函数，它在(0，+∞)上是增函数

(17)如果函数f (x)=x2+bx+c对任意实数t都有f (2+t)=f (2－t)，那么 (A) f (2)(B) f (1)( )

(18)长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为

(A) 23

二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．

(B)

( )

14

(C) 5 (D) 6

13x3的解是_________________ (19)方程

13x(20)sin15°sin75°的值是 (21)设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则

T的值为___________________ S(22)焦点为F1(－2，0)和F2(6，0)，离心率为2的双曲线的方程是__________ (23)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则是____________________ a1a3a9的值

a2a4a10三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤．

(24)已知z∈C，解方程zz－3iz =1+3i． (25)已知

23123，cos(α－β)=，sin(α+β)=．求sin 2α的值． 4135(26)已知：两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设A1E=m，AF=n．求证：EF=d2m2n22mncos．

(27)设等差数列{an}的前n项和为Sn．已知a3=12，S12>0，S13<0． (Ⅰ)求公差d的取值范围．

(Ⅱ)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．

x2y2(28)已知椭圆221 (a>b>0)，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与

ab轴相交于点P(xa2b2a2x0，0)．证明axb20a．

1992年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理工农医类)答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．

(1)A (2)D (3)D (4)B (5)D (6)B (7)B (8)C (9)D (10)D (12)B (13)A (14)D (15)D (16)C (17)A (18)C

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．

2(19)x=－1 (20)115x2y24 (21) 128 (22)4121 (23) 1316

三、解答题

(24)本小题考查复数相等的条件及解方程的知识． 解：设z=x+yi(x，y∈R)． 将z=x+yi代入原方程，得 (x+yi)(x－yi)－3i(x－yi)=1+3i，

整理得x2+y2－3y－3xi=1+3i． 根据复数相等的定义，得3x3,① x2y23y1.

② 由①得 x=－1．

将x=－1代入②式解得y=0，y=3． ∴z1=－1，z2=－1+3i．

(25)本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力． 解：由题设知α—β为第一象限的角，

(11)B

∴ sin(α—β)=1cos2

512 1

1313由题设知α+β为第三象限的角， ∴ cos(α+β)=1sin2

243 1

55∴ sin2α=sin[(α－β)+(α+β)]

=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) =

25412356． 13513565(26)本小题考查空间图形的线面关系，空间想象能力和逻辑思维能力．

解法一：设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA1的平面为β，α∩β=c，则 c∥a．因而b，c所成的角等于θ，且AA1⊥c．

∵ AA1⊥b， ∴

AA1⊥α．

根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α．

在平面β内作EG⊥c，垂足为G，则EG=AA1．并且根据两个平面垂直的性质定理，EG⊥α．连结FG，则EG⊥FG．在Rt△EFG中，EF2=EG2+FG2．

∵ AG=m， ∴ 在△AFG中， FG2=m2+n2－2mncosθ．

∵ EG2=d2，∴ EF2=d2+m2+n2－2mncosθ． 如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧，则

EF2=d2+m2+n2+2mncosθ．

因此，EF=d2m2n22mncos

解法二：经过点A作直线c∥a，则c、b所成的角等于θ，且AA1⊥c． 根据直线和平面垂直的判定定理，AA1垂直于b、c所确定的平面a．

在两平行直线a、c所确定的平面内，作EG⊥c，垂足为G，则EG平行且等于AA1， 从而EG⊥α．

连结FG，则根据直线和平面垂直的定义，EG⊥FG． 在Rt△EFG中，EF2=EG2+FG2． (以下同解法一)

(27)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力． (Ⅰ)解：依题意，有 S1212a112121d0

213131S1313a1d0

22a111d0① 即 a6d01② 由a3=12，得 a1=12－2d． ③

将③式分别代①、②式，得

247d0 3d0∴ 24a2>a3>…>a12>a13．

因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an+1<0， 则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值． 由于 S12=6(a6+a7)>0， S13=13a7<0， 即 a6+a7>0，a7<0． 由此得a6>－a7>0． 因为a6>0，a7<0，

故在S1，S2，…，S12中S6的值最大． (Ⅱ)解法二：

nn1d 21 n122dnn1d

2 Snna1

d124d124 ＝n55．

22d22d124∵ d<0，∴ n5最小时，Sn最大．

2d当 222124242d72124∵ 正整数n=6时n5最小，

2d∴ S6最大． (Ⅲ)解法三：

由d<0可知 a1>a2>a3>…>a12>a13．

因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an+1<0， 则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．

121112ad0S12012 1312S13013a1d02da15d0  2a16d0 a60

a70故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．

注：如果只答出S6的值最大，而未说明理由者，在(Ⅱ)中只给2分． (28)本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．

证法一：设A、B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P(x0，0)，故|PA|=|PB|，即

(x1－x0)2+y1=(x2－x0)2+y2 ①

∵ A、B在椭圆上，

22b22∴ yb2x1，

a212

b22 yb2x2．

a222将上式代入①，得

a2b22(x2－x1) x0=xx ② 2a2221∵ x1≠x2，可得

x1x2a2b2x0. ③

2a2∵ －a≤x1≤a，－a≤x2≤a，且x1≠x2， ∴ －2aa2b2a2b2x0. ∴ aa证法二：设A、B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)．因P(x0，0)在AB的垂直平分线上，以点P为圆心，|PA|=r为半径的圆P过A、B两点，圆P的方程为(x－x0)2+y2=r2，

与椭圆方程联立，消去y得

(x－x0

)2

b2222

2x=r－b， aa2b22222x2xxxrb0 ① ∴002a因A、B是椭圆与圆P的交点，故x1，x2为方程①的两个根．由韦达定理得

2a2x1+x2=2x0．

ab22a2因－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，且x1≠x2，故－2aaba2b2a2b2x0. ∴ aa