专题08 切线的判定与性质
概念规律 重在理解 1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径，BC ⊥ OA于A。则BC为⊙O的切线。
注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。
2.判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
（1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
（2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
（3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3.证切线时辅助线的添加方法 (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径. 4.有切线时常用辅助线添加方法 见切点，连半径，得垂直. 5.切线的其他重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
6.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
直线l是⊙O 的切线，A是切点， 直线l ⊥OA.
说明：利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.
典例解析 掌握方法 【例题1】（2021吉林长春）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为（ ）
A．35°
【答案】C
【解析】先根据切线的性质得到∠ABC＝90°，然后利用互余计算出∠ACB的度数． ∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．
【例题2】（2021广西玉林）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．
B．45°
C．55°
D．65°
【答案】见解析。
【解析】（1）连结OD，根据已知条件可推出△DOA是等边三角形，利用∠ODA＝∠C即可证明OD∥BC，进而即可知∠DFC＝∠ODF＝90°，即可求证；
（2）用含有a和r的式子分别表示出BE和BF的长，根据BF＝2BE列出等式即可找到r与a的数量关系． 【解答】（1）证明：连结OD，如图所示：
∵∠DAO＝60°，OD＝OA， ∴△DOA是等边三角形， ∴∠ODA＝∠C＝60°， ∴OD∥BC， 又∵∠DFC＝90°， ∴∠ODF＝90°， ∴OD⊥DF，
即DF是⊙O的切线；
（2）设半径为r，等边△ABC的边长为a， 由（1）可知：AD＝r，则CD＝a﹣r，BE＝a﹣2r 在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝a﹣r， ∴CF＝∴BF＝a﹣
， ，
又∵EF是⊙O的切线，
∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°， ∴BF＝2BE，
∴a﹣（a﹣r）＝2（a﹣2r）， 解得：a＝3r， 即r＝
，
．
∴⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系为：r＝
【例题3】如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线.
【答案】见解析。
【解析】直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°. ∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线.
【例题4】已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线. 【答案】见解析。
【解析】由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可. 证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线. ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线.
【例题5】如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.
(1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝
3，求⊙O的半径．
【答案】见解析。
【解析】(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO；
(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长. (1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， ∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°， 又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形． ∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. 在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB， ∴△ACB≌△APO.
(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝∴AO＝1， ∴CB＝OP＝2，
∴OB＝1，即⊙O的半径为1.
3，
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一、选择题
1．（2021湖北荆门）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（ ）
A．30° 【答案】B
【解析】连接OA，根据切线的性质得到∠PBO＝∠PAO＝90°，根据四边形的内角和等于360°得到∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠P＝110°，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 解：连接OA，
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点， ∴∠PBO＝∠PAO＝90°， ∵∠P＝70°，
B．35°
C．45°
D．55°
∴∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠P＝110°， ∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠BOA）＝（180°﹣110°）＝35°．
2．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40° ，则∠B的度数为 （ ）
A．20° 【答案】B
B．25° C．40° D．50°
【解析】连接OA，由切线的性质可得∠OAP=90°，继而根据直角三角形两锐角互余可得∠AOP=50°，再根据圆周角定理即可求得答案. 连接OA，如图：
∵PA是⊙O的切线，切点为A， ∴OA⊥AP， ∴∠OAP=90°， ∵∠P=40°，
-40°=50°∴∠AOP=90°， ∴∠B=1/2∠AOB=25°
3．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【答案】B
∵∠C=40° ∴∠AOC=50° 【解析】∵AC为切线 ∴∠OAC=90°
∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50°. ∴∠ABD=∠ODB=25°
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（ ）
A．3 【答案】A
B．2 C．1 D．0
【解析】如答图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OD ∴∠ODC=90°
又∵∠A=30°，∴∠ABD=60°又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形
.∴BD=BC，②成立 ∴∠DOB=∠ABD=60°，AB=2OB=2OD=2BD．∴∠C=∠BDC=30°∴AB=2BC，③成立
∴∠A=∠C.∴DA=DC.①成立 综上所述，①②③均成立。
5．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40° 【答案】A
B．50° C．60° D．70°
OB，【解析】连接OA、由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案． 解：如图，连接
、
，
与相切，
，
又MBA140，
，
OAOB，
，
， ．
二、填空题
1．（2021内蒙古乌兰察布）如图，在▱ABCD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC．若OC＝AB，则▱ABCD的周长为 ．
【答案】24+6
．
【解析】连接OE，过点C作CF⊥AD交AD于点F，利用平行四边形的性质和切线的性质证明四边形OECF为矩形，利用勾股定理求得OC，进而求得平行四边形的周长． 解：连接OE，过点C作CF⊥AD交AD于点F，
∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠EOD+∠OEC＝180°， ∵⊙O与BC相切于点E， ∴OE⊥BC， ∴∠OEC＝90° ∴∠EOD＝90°， ∵CF⊥AD， ∴∠CFO＝90°， ∴四边形OECF为矩形， ∴FC＝OE，
∵AD为直径，AD＝12， ∴FC＝OE＝OD＝AD＝6， ∵OC＝AB，CF⊥AD， ∴OF＝OD＝3，
在Rt△OFC中，由勾股定理得，
OC2＝OF2+FC2＝32+62＝45， ∴AB＝OC＝3
，
+3
＝24+6
，
∴▱ABCD的周长为12+12+3故答案为：24+6
．
2．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∠P＝70°，C为弧AB上一点，则∠ACB的度数为___．
【答案】125°
【解析】由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB． 如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是⊙O切线， ∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°， ∴∠ADB=∠AOB=55°， 又∵圆内接四边形的对角互补， ∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°． 三、解答题
1.如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线． 【答案】见解析。
【解析】根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE. 证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵⊙O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB. 又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点． ∴AO 平分∠BAC， 又OE ⊥AB ，OF⊥AC. ∴OE ＝OF.
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC. ∴AC 是⊙O 的切线．
2.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
【答案】见解析。
【解析】连接OB，则∠OBP=90°. 设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r. 在Rt△OBP中，
OB2
+PB2
=PO2
，即r2
+42
=(2+r)2
解得 r=3， 即⊙O的半径为3.
3.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，求证:PE是⊙O的切线.
⊥AC于E. PE
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OBP=∠C. ∴OP∥AC. ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP. ∴PE为⊙O的切线.
4.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
【答案】见解析。
【解析】证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，
∵⊙O与BC相切于点M， ∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点， ∴OM＝ON， ∴CD与⊙O相切．
5．如图，圆O的直径AB＝12cm，C为AB延长线上一点，点P为（1）求证：CP与圆O相切；
（2）若∠C＝∠D，求四边形BCPD的面积．
中点，过点B作弦BD∥CP，连接PD．
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：连接OP，交BD于点E，
∵点P为的中点．
∴BD⊥OP， ∵BD∥CP，
∴∠OEB＝∠OPC＝90° ∴PC⊥OP，
∴CP与⊙O相切于点P； （2）∵∠C＝∠D， ∵∠POB＝2∠D， ∴∠POB＝2∠C， ∵∠CPO＝90°， ∴∠C＝30°， ∵BD∥CP， ∴∠C＝∠DBA， ∴∠D＝∠DBA， ∴BC∥PD，
∴四边形BCPD是平行四边形， ∵PO＝AB＝6， ∴PC＝6
，
∵∠ABD＝∠C＝30°， ∴OE＝OB＝3， ∴PE＝3，
∴四边形BCPD的面积＝PC•PE＝6
×3＝18
．
6．如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE、DE、BD，BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC． （1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BF＝BC，求证：四边形OEDB是菱形．
【答案】见解析
【解析】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°， ∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC， ∴∠A＝∠DBC， ∵∠DBC+∠ABD＝90°， ∴BC是⊙O的切线； （2）∵OE∥BD， ∴∠OEB＝∠DBE， ∵OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE， ∴∠OBE＝∠DBE， ∵BF＝BC，∠ADB＝90°， ∴∠CBD＝∠EBD， ∵∠DEB＝∠DBC， ∴∠EBD＝∠DBE， ∴∠DEB＝∠OBE， ∴ED∥OB，
∵ED∥OB，OE∥BD，OE＝OB， ∴四边形OEDB是菱形．
