2002-2003学年第一学期概率统计(A)重修课考试试卷答案

2002-2003学年第一学期概率论与数理统计（A）重修课考试试卷答案

一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中

1．某人连续三次购买体育彩票，设A1，A2，A3分别表示其第一、二、三次所买的彩票中奖的事件，又设

B不止一次中奖，

若用A1、A2、A3表示B，则有B________________________________．

2．一射手对同一目标进行4次，规定若击中0次得-10分，击中1次得10分，击中2次得50分，击中3次得80分，击中4次得100分，假定该射手每发的命中率为0.6，令X表示所得的分数，则

EX_________．

3． 已知随机变量X服从参数为2的泊松（Poisson）分布，且随机变量Z2X2，则EZ ____________．

4．设连续型随机变量X的密度函数为fx 5．设总体X~N21ex1622x1x，则DX___________．

，0.4，x，x，，x是从中抽取的一个样本的样本观测值，算得

12x10.12，则的置信度为0.95的置信区间为___________．

（已知：z0.0251.96，z0.051.5）

答案：

1． A1A2A1A3A2A3； 2． 59.168； 3． 2； 4．

1； 2，10.316； 5． 9.924第 1 页 共 9 页

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二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）

1．设A、B为两个随机事件，且AB，PB0，则下列选项必然正确的是 A. PAPAB ； B. PAPAB ； C. PAPAB ； D. PAPAB ．

【 】

2．设X与Y为两个随机变量，且

PX0，Y0则PmaxX，Y0 A

34 ， PX0PY0 ，

77516340； B ； C ； D ． 749749【 】

3．设随机变量X与Y同分布，记UXY，VXY，则U与V之间必有 A ； B 相关系数为零； C 不； D 相关系数不为零．

【 】

4．设X与Y是两个相互的随机变量，则下列说法中，正确的是

A 当已知X与Y的分布时，对于随机变量XY，可使用Chebyshev（切比雪夫）不等式进行概率估计；

B 当已知X与Y的数学期望与方差都存在时，可使用Chebyshev（切比雪夫）不等式估计随机变量

XY落在任意区间a，b内的概率；

C 当已知X与Y的数学期望与方差都存在时，可使用Chebyshev（切比雪夫）不等式估计随机变量

XY落在对称区间a，a a0内的概率；；

D 当已知X与Y的数学期望与方差都存在时，可使用Chebyshev（切比雪夫）不等式估计随机变量XY落在区间EXEYa，EXEYa a0内的概率；．

【 】

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5．设总体X~N0，2，X1，X2，，Xn是从该总体中抽取的一个简单随机样本，则_____________是的无偏估计量．

2

1n21n22ˆˆ A Xi； B Xi； n1i1n1i12nn1n222ˆˆXi； D  C Xi ． 2ni1n1i12【 】

答案： 1．B； 2．A； 3．B； 4．D； 5．C．

三．（本题满分10分）

将5个颜色分别为黑、红、黄、蓝、白的球分别放入5个颜色也分别为黑、红、黄、蓝、白的盒子中，每一个盒子中只放一个球．求球与盒子的颜色都不一致的概率． 解：

设B球与盒子的颜色都不一致，并设 A1黑球放入黑盒，

A2红球放入红盒，

A3黄球放入黄盒，

A4蓝球放入蓝盒，A5白球放入白盒．

则 BAA，所以

iii1i15555A PBPAi1Pi i1i1 1PAPAAPAAAPAAAAPAAAAA

iijijkijkl12345i1ijijkijkl5第 3 页 共 9 页

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而PAi4! i1，2，3，4，5， 5!3! ij， 5!2! ijk， 5!1! ijkl， 5!1 ． 5!5PAiAjPAiAjAkPAiAjAkAlPA1A2A3A4A5所以，PB14!3!2!1!1 5!i15!ij5!ijk5!ijkl5! 154!3!2!1!1113 ． C52C5C545!5!5!5!5!30四．（本题满分10分）

某工厂宣称自己的产品的次品率为20%，检查人员从该厂的产品中随机地抽取10件，发现有3件次品，可否据此判断该厂谎报了次品率？ 解：

设X：抽取10件产品中的次品数，则X~B10，0.2

3所以，PX3C100.230.870.2013

因此随机事件“X3”并非是小概率事件，故不能据此判断该厂谎报了次品率．

五．（本题满分10分）

设随机变量X的密度函数为

2xfXx20而YsinX，试求随机变量Y的密度函数fYy．

0x其它，

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解：

由随机变量X在区间0，上取值，可知随机变量YsinX在区间0，1上取值．设随机变量Y的分布函数为FYy，则有

FYyPYyPsinXy ①. 如果y0，则有FYy0； ②. 如果0y1，则有

FYyPYyPsinXy

P0XarcsiynParcsiynX arcsyin 22xdx22x

0axdrcsyin ③. 如果y1，则有FYy1

0y0arcsyin即 F2Yy2xdx220axdx0y1

rcsyin1y1所以，

2f2arcsiny11y222arcsiny1YyFYy1y20即 f2120y1Yy1y2

0其它六．（本题满分10分）

设二维随机变量X，Y服从矩形

Dx,y：0x2，0y1

上的均匀分布．记：

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0y1

其它2002-2003学年第一学期概率论与数理统计（A）重修课考试试卷答案

0XY0X2Y V U1XY1X2Y试求X与Y的相关系数，并判断U与V是否相互？ 解：

111， PX2Y， PYX2Y，

2441U0，V0PXY，X2YPXY， 所以，P4 由题意可得

PXY

PU0，V1PXY，X2YP0，

PU1，V0PXY，X2YPYXYPU1，V11111， 4421， 4U，V的联合分布律及各自的边缘分布律为

V 0 U 1 pi 0 0.25 0.250 0.50.25 1 0.75 pj 0.5 0.5 所以，EU1331，DU，EV，DV ．

441621， 22428又

EUV所以，covU，VEUVEUEV1311

1831113

covU，VDUDV

由于0，所以U与V相关，从而U与V不．

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七．（本题满分10分）

某运输公司有500辆汽车参加保险，在一年内每辆汽车出事故的概率为0.006，每辆参加保险的汽车每年交保险费800元，若一辆车出事故保险公司最多赔偿50000元．试利用中心极限定理计算，保险公司一年赚钱不小于200000元的概率． （附：标准正态分布分布函数x表：

x x 解：

0.56 0.7123 0.57 0.7157 0.58 0.7190 0.59 0.7224 设A某辆汽车出事故，则PA0.006．

设X：运输公司一年内出事故的车数．则X~B500，0.006 ．

保险公司一年内共收保费800500400000，若按每辆汽车保险公司赔偿50000元计算，则保险公司一年赚钱不小于200000元，则在这一年中出事故的车辆数不能超过4辆．因此所求概率为 PX4P45000.006

5000.0060.9945000.0060.994X5000.006 PX5000.0060.580.580.7190

5000.0060.994八．（本题满分10分）

设总体X服从对数正态分布，其密度函数为

fx；，22122lnx2xexp x0 2212其中与0都是未知参数，试求与X1，，Xn是从该总体中抽取的一个样本．

的最大似然估计． 解：似然函数为． L，22i1n1222lnxixexp 221in2lnxini1122x1x2xnexp 2，，n  xi0，i122第 7 页 共 9 页

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n2nlnx2i取对数，得 lnL，2i12ln2lnx1x2xn22

n2lnxilnL，i1所以，22n lnxilnL，2n12i122224nlnxii1由此得方程组 220 nlnx2in21i21240nnn2解此方程组，得1nlnx11xi，2lnxilni i1ni1ni1因此，与2的最大似然估计为

1n2ˆnlnXˆ21nlnX1ni，ilnXi ． i1ni1ni1九．（本题满分10分）

设总体X~N，2，其中是已知参数，20是未知参数．X1，X2，体中抽取的一个样本，

⑴. 求未知参数2的极大似然估计量ˆ2； ⑵. 判断ˆ2是否为未知参数2的无偏估计． 解：

⑴. 当20为未知，而为已知参数时，似然函数为

L222n2exp1nxi222 20 i1因而 lnL2n22ln22122nxi 20

i1第 8 页 共 9 页

，Xn是从该总

2002-2003学年第一学期概率论与数理统计（A）重修课考试试卷答案

所以，由似然方程

2lnL21n122xi40，

2i12n1n2解得xi，

ni121nˆXi2． 因此，的极大似然估计量为ni122 ⑵. 因为Xi~N所以

， i1，2，，n，

2Xi~N0，1 i1，2，，n，

2X所以i~21 i1，2，，n，

Xi2所以E1 i1，2，，n，

ˆ因此，E21n2EXi

ni1Xii1n22 En 2nXi22Enni1Xi2E i1n2n2n2

1nˆXi2是未知参数2的无偏估计． 所以，ni1

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