高中数学选择性必修修二第一课时 等比数列的前n项和公式

课标要求 素养要求 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式. 在探索等比数列的前n项和公式的过程2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系. 中，发展学生的数算和逻辑推理素养.

新知探究

在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息.在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任.你知道这其中的缘由吗？

如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友(称为第1轮传播)，每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友(称为第2轮传播)……，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列

问题 如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？ 1－321121

提示 1＋3＋9＋…＋3＝＝(3－1).

1－32

20

1 / 15

1.等比数列的前n项和公式

应用公式求和，首先要判断公比是否为1，再选择公式

已知量 公式 首项、公比和项数 na1，q＝1Sn＝a1（1－qn） ，q≠11－q首项、末项和公比 na1，q＝1Sn＝a1－anq ，q≠11－q2.等比数列前n项和公式的函数特征 a1

当公比q≠1时，设A＝q－1，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数.

当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数. 3.错位相减法

(1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法；

(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法.

拓展深化

[微判断]

1.求等比数列的前n项和可以直接套用公式Sn＝提示 当q＝1时，Sn＝na1. 2.等比数列的前n项和不可以为0.(×)

提示 可以为0，比如1，－1，1，－1，1，－1的和.

3.数列{an}的前n项和为Sn＝an＋b(a≠0，a≠1)，则数列{an}一定是等比数列.(×) a1（1－qn）a1a1n提示 由于等比数列的前n项和为Sn＝＝－q.可以发现b＝－1

1－q1－q1－q时，数列{an}才为等比数列.

4.求数列{n·2n}的前n项和可用错位相减法.(√) [微训练]

2 / 15

a1（1－qn）.(×)

1－q

1

1.在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝8，则该数列的前10项和S10＝( ) 1A.2－28 1C.2－210

1 B.2－29 1

D.2－211

11－210

11

解析 易知公比q＝2，则S10＝＝2－

129. 1－2答案 B

2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则公比q＝( ) A.1或－1 C.－1

B.1 1 D.2

解析 由S3＋S6＝S9得S3＝S9－S6，即a1＋a2＋a3＝a7＋a8＋a9＝q6(a1＋a2＋a3)，则q6＝1，q＝±1. 答案 A [微思考]

1.若等比数列{an}的公比q不为1，其前n项和为Sn＝Aqn＋B，则A与B有什么关系？ 提示 A＝－B.

2.等比数列{an}的前n项和公式中涉及a1，an，n，Sn，q五个量，已知几个量方可以求其它量？ 提示 三个.

题型一 等比数列前n项和公式的直接应用 【例1】 求下列等比数列前的和： 111

(1)2，4，8，…； 1

(2)a1＝27，a9＝243，q<0. 11

解 (1)因为a1＝2，q＝2，

3 / 15

11821－2255

所以S8＝

1＝256. 1－2

11

(2)由a1＝27，a9＝243，可得243＝27·q8. 1又由q<0，可得q＝－3， a1－a8qa1－a9

所以S8＝＝＝

1－q1－q

1

27－243

1 0

. 81

11－－3＝规律方法 求等比数列的前n项和，要确定首项，公比或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立.

【训练1】 (1)求数列{(－1)n＋2}的前100项的和；

777

(2)在14与8之间插入n个数，组成所有项的和为8的等比数列，求此数列的项数. 解 (1)法一 a1＝(－1)3＝－1，q＝－1.

－1[1－（－1）100]

∴S100＝＝0.

1－（－1）法二 数列{(－1)n＋2}为－1，1，－1，1，…， ∴S100＝50×(－1＋1)＝0.

(2)设此数列的公比为q(易知q≠1)，

1q＝－，2故此数列共有5项. 7则解得14－8q77n＝3，＝，81－q

题型二 等比数列前n项和公式的综合应用

5

【例2】 已知一个等比数列{an}，a1＋a3＝10，a4＋a6＝4，求a4和S5. a1＋a1q2＝10，解 设等比数列的公比为q，则5

a1q3＋a1q5＝4，7

8＝14qn＋1，4 / 15

a1（1＋q2）＝10， ①即 5a1q3（1＋q2）＝. ②41∵a1≠0，1＋q2≠0，②÷①得q3＝8， 11∴q＝2，∴a1＝8，∴a4＝8×2＝1，

3

∴S5＝

158×1－231

11－2

＝2.

【迁移1】 设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求此数列的公比q. 解 当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件. a1（1－q3）当q≠1时，＝3a1q2.

1－q

因为a1≠0，所以1＋q＋q2＝3q2，2q2－q－1＝0， 1

解得q＝－2.

1

所以此数列的公比q＝1或－2. 【迁移2】 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn. 解 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2， 而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1. a1（1－q2）1－q＝30， 所以a1（1－q3）1－q＝155， ②1＋q6两式作比，得＝31，

1＋q＋q2

①

a1＝180，a1＝5，解得或 5

q＝－，q＝565（1－5n）5n

从而Sn＝＝4(5－1)

1－5

5 / 15

5n5n1－－1801－1 080－66或Sn＝＝. 11－51－6规律方法 等比数列前n项和公式的运算

(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.

(2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sna1（1－qn）有两个公式.当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；当已知a1，q与an

1－qa1－anq

时，用Sn＝比较方便.

1－q【

训

练

2

】

(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1.若a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋2＋an＋1＝2an，则S5＝( ) A.12 C.11

B.20 D.21

*

(2)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N，满足5m＋1

＝m－1，则数列{an}的公比为( ) A.－2 C.－3

B.2 D.3

S2mSm

＝9，

a2mam

解析 (1)an＋2＋an＋1＝2an等价于anq2＋anq＝2an. 因an≠0，故q2＋q－2＝0，即(q＋2)(q－1)＝0.

1×[1－（－2）5]

因为q≠1，所以q＝－2，故S5＝＝11，故选C.

1－（－2）S2m

(2)设数列{an}的公比为q，若q＝1，则Sm＝2，与题中条件矛盾，故q≠1. a1（1－q2m）1－qS2m

∵Sm＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.

a1（1－qm）1－q

6 / 15

5m＋1a2ma1q2m－1

∵am＝＝qm＝8＝，

a1qm－1m－1∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2. 答案 (1)C (2)B

题型三 等比数列前n项和公式的函数特征应用 【

例

3

】

数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列. 解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式.

1，n＝1，∴an＝

2×3n－1，n≥2.

法一 由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3，不是等比数列， 即{an}不是等比数列.

法二 由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，故{an}不是等比数列.

S1，n＝1，规律方法 已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝

Sn－Sn－1，n≥2Sn－Sn－1.

(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. 【训练3】 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________. 解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)， 11

又Sn＝×3n＋t，∴t＝－.

331

答案 －3

题型四 利用错位相减法求数列的前n项和

【例4】 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).

7 / 15

解 当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝

n（n＋1）； 2

当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…(n－1)xn＋nxn＋1， ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1 ＝

x（1－xn）－nxn＋1，

1－x

x（1－xn）nxn＋1∴Sn＝－.

（1－x）21－x

n（n＋1）2，x＝1，综上可得，Sn＝

x（1－xn）nxn＋1（1－x）2－1－x，x≠1且x≠0.

规律方法 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法. 【训练4】

n求数列2n的前n项和.

123n

解 设Sn＝2＋22＋23＋…＋2n， n－1112n

则有2Sn＝22＋23＋…＋2n＋，

2n＋111111

两式相减，得Sn－2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－111－2n21n1n

即2Sn＝－＝1－－

12n2n＋1. 2n＋11－2n＋2n

∴Sn＝2－－2n＝2－2n(n∈N*).

2n－1

1

一、素养落地

1.通过学习等比数列前n项和公式及其应用，提升数算和逻辑推理素养.

2.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中

8 / 15

n2n＋1

，

首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”.

3.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况. 二、素养训练

1.数列1，5，52，53，54，…的前10项和为( ) 1

A.5(510－1) 1

C.4(59－1)

1－510110

解析 S10＝＝(5－1).

1－54答案 B

S4

2.设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则a2等于( ) A.2 15C.2

B.4 17 D.2 1

B.4(510－1) 1

D.4(511－1)

a2S41

解析 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝q＋a2＋a2q＋a2q2，得a2＝q＋1＋q＋15q2＝2. 答案 C

3.等比数列{an}中，a3＝8，a6＝，则{an}的前5项的和是________. 2（1－25）a6

解析 ∵q＝a3＝8，∴q＝2，从而a1＝2.∴S5＝＝62.

1－2

3

答案 62

4.已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝________. 2（1－2n）解析 Sn＝＝126，即2n＋1＝128，故n＋1＝7，n＝6.

1－2答案 6

5.在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 解 由题意，得若q＝1， 则S3＝3a1＝6，符合题意.

9 / 15

此时，q＝1，a3＝a1＝2.

若q≠1，则由等比数列的前n项和公式， a1（1－q3）2（1－q3）得S3＝＝＝6，

1－q1－q解得q＝－2.

此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.

综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.

基础达标

一、选择题

1.设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于( ) A.C.

n[（－1）n－1]

2

2

B.

（－1）n＋1＋1

2

（－1）n＋1

D.

（－1）n－1

2

解析 Sn＝答案 D

（－1）[1－（－1）n]（－1）n－1

＝. 21－（－1）2.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于( ) A.33 C.84

B.72 D.1

解析 由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3， 得q2＋q－6＝0.∵q>0，∴q＝2.

∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝q2·S3＝22×21＝84. 答案 C

3.等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝( ) A.2n－1 C.

1－（－4）n

3

B.4n－1

3 1－（－2）n

3

D.

10 / 15

解析 由a1a2a3＝1得a2＝1，又a4＝4，故q2＝4，a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝4n－13. 答案 B

1－4n

＝1－4

4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4－a1＝78，S3＝39，设bn＝log3an，那么数列{bn}的前10项和为( ) A.log371 C.50

69 B.2 D.55

解析 由a4－a1＝78得a1(q3－1)＝78，又S3＝a1(1＋q＋q2)＝39，解得a1＝q＝3，故an＝3n，bn＝n，所以数列{bn}的前10项和为55. 答案 D

5.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于( ) 15A.8或5 31C.16

31

B.16或5 15 D.8 9（1－q3）1－q6

＝，解得q＝2，

1－q1－q

1an解析 设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由已知得

11

∴数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，前5项和为

151×1－231

11－2

＝16. 答案 C 二、填空题

763

6.等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝4，S6＝4，则a8＝________.

解析 由题意设数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠1)，

11 / 15

a1（1－q3）7S3＝＝4，11－qa1＝，4 则解得a1（1－q6）63q＝2，S6＝＝4，1－q1

所以a8＝a1q7＝4×27＝32. 答案 32

7.已知正项数列{an}满足a解析 ∵a2n＋1－6a2n＝an＋1an， ∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0. ∵an>0，∴an＋1＝3an. 又a1＝2，

∴{an}是首项为2，公比为3的等比数列， 2（1－3n）∴Sn＝＝3n－1.

1－3答案 3n－1

m

8.若等比数列{an}的前n项和为Sn＝m·4n－1＋t(其中m，t是常数)，则t＝________. 解析 法一 a1＝S1＝m＋t， a2＝S2－S1＝3m，a3＝S3－S2＝12m， 则a2＝a1a3，所以9m2＝12m(m＋t)， m

即m＝－4t，故t＝－4.

1

法二 Sn＝m·4n－1＋t＝4m·4n＋t，

1m

因为{an}是等比数列，故4m＝－t，则t＝－4. 答案 －4 三、解答题

9.在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和.

解 设数列{an}的公比为q(q≠0).

12 / 15 n＋12

－6a

n2

＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝________.

a1q－a1＝2，由已知可得

4a1q＝3a1＋a1q2，a1（q－1）＝2， ①所以

q2－4q＋3＝0， ②解②得q＝3或q＝1. 由于a1(q－1)＝2，

因此q＝1不合题意，应舍去. 故公比q＝3，首项a1＝1.

a1（1－qn）1×（1－3n）3n－1所以数列{an}的前n项和Sn＝＝＝2(n∈N*).

1－q1－3

Sn10.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列n是公差为1的等差数列，且a2＝3，a3＝5.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解 ∴

Sn(1)数列n是公差为

1的等差数列，

Sn

＝a1＋n－1， n

可得Sn＝n(a1＋n－1)，∴a1＋a2＝2(a1＋1)，a1＋a2＋a3＝3(a1＋2)，且a2＝3，a3＝5.解得a1＝1.∴Sn＝n2. ∴n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n＝1时也成立). ∴an＝2n－1.

(2)bn＝an·3n＝(2n－1)·3n，∴数列{bn}的前n项和 Tn＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n，

∴3Tn＝32＋3×33＋…＋(2n－3)×3n＋(2n－1)×3n＋1， ∴－2Tn＝3＋2×(3＋3＋…＋3)－(2n－1)×31)×3n＋1，

可得Tn＝3＋(n－1)×3n＋1.

能力提升

2

3

n

n＋1

9（3n－1－1）＝3＋2×－(2n－

3－1

13 / 15

11.数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a

n＝________.

解析 an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，

a3－a2＝22，即

…

an－an－1＝2n－1.

各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2， 故an＝a1＋2n－2＝2n－1(n∈N*). 答案 2n－1

12.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上. (1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？

(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn. 解 (1)因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上， 所以an＋1＝3Sn＋1， 当n≥2时，an＝3Sn－1＋1.

于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)⇒an＋1－an＝3an⇒an＋1＝4an. 又当n＝1时，a2＝3S1＋1⇒a2＝3a1＋1＝3t＋1， 所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列. (2)由(1)，可得an＝4n－1，an＋1＝4n， 所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n， 那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn

＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n) ＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n) 4n－1n（n＋1）＝3＋. 2

创新猜想

13.(多选题)已知等比数列{an}的前n项和是Sn，则下列说法一定成立的是( ) A.若a3>0，则a2 021>0 B.若a4>0，则a2 020>0 C.若a3>0，则S2 021>0

14 / 15

a2－a1＝2，D.若a3>0，则S2 021<0

解析 设数列{an}的公比为q， 当a3>0时，a2 021＝a3q2 018>0，A正确； 当a4>0时，a2 020＝a4·q2 016>0，B正确. a1（1－q2 021）又当q≠1时，S2 021＝，

1－q当q<0时，1－q>0，1－q2 021>0，∴S2 021>0， 当00，1－q2 021>0，∴S2 021>0， 当q>1时，1－q<0，1－q2 021<0，∴S2 021>0. 当q＝1时，S2 021＝2 021a1>0，故C正确，D不正确. 答案 ABC 14.(

多

空

题)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且公比q>1，若a2＝2，S3＝7.则数列{an}的通项公式an＝________，a21＋a2＋…＋a2n＝________. 2

解析 ∵a2＝2，S3＝7，由S3＝q＋2＋2q＝7， 1

解得q＝2或q＝2，又∵q>1，∴q＝2， 故a1＝1，所以an＝2n－1 ∴a2n＝4n－1， ∴a21＋a2＋…＋a2n＝答案 2

n－1

1（1－4n）4n－1

＝3. 1－4

4n－1

3 15 / 15